摘要：地震殘余變形是結構可修復能力的重要指標，準確分析結構的殘余變形對于震后結構性能的評估與控制具有重要意義?；趯Σ煌瑔巫杂啥龋⊿DOF）體系的彈塑性地震響應的統(tǒng)計分析，研究了不同參數(shù)對地震殘余變形的影響，其中滯回特性、屈服后剛度、地面峰值加速度（PGA）以及最大彈塑性變形對殘余變形的影響較大；同時結合理論分析提出了分別適用于彈塑性Kinematic滯回模型和Takeda滯回模型的殘余變形簡化計算方法。該方法是以先獲得結構的最大彈塑性變形為基礎的，能與傳統(tǒng)的確定結構最大變形性能的抗震分析方法（Pushover方法）較好地結合。最后，以一鋼筋混凝土單柱橋墩為例，詳細闡述了所提出的方法進行單自由度體系結構的地震殘余變形計算及震后結構性能評估的過程，分析表明基于Takeda模型的結構殘余變形的計算結果偏于安全。

關鍵詞：殘余變形；最大彈塑性變形；滯回特性；屈服后剛度；地面峰值加速度

中圖分類號：TU375.3

文獻標志碼：A

文章編號：1674-4764（2013）03-0032-10

Post-earthquake Residual Deformation Prediction of SDOF System

Zhang Qin1， Zhu Jichao2， Gong Jinxin1

（1.Faculty of Infrastructure Engineering， Dalian University of Technology， Dalian 116024， Liaoning， P. R. China；

2.School of Civil Safety Engineering， Dalian Jiaotong University， Dalian 116028， Liaoning， P. R. China）

Abstract： Accurately predicting the residual displacement of reinforced concrete （RC） structures after an earthquake is of great significance in post-earthquake structural performance evaluation and control. To study the residual deformation of the structure， seismic time-history responses of single degree-of-freedom （SDOF） systems with different parameters were analyzed. Based on the analytical results， simplified models for estimating the likely residual deformations of structures characterized by Takeda and Kinematic hysteretic models were proposed respectively， and the residual deformation was found to be sensitive to hysteretic characteristics， stiffness ratio of structures， peak ground acceleration （PGA）， as well as maximum elasto-plastic deformation. A case study for RC single-column bridge pier was provided to illustrate the process of residual deformation calculation and post-earthquake performance evaluation by using the proposed methods. Calculation results indicate that the residual deformation of the single-column pier characterized by the Takeda model often is much larger than that of columns characterized by the Kinematic model.

Key words：

residual deformation； maximum elasto-plastic deformation； hysteretic characteristics； stiffness after yielding； peak ground acceleration

鋼筋混凝土結構在經歷強震作用后會產生一定的殘余變形（即不可恢復的塑性變形），殘余變形的大小反映了結構損傷的程度，同時也是震后結構可修復能力的重要指標[1-2]。殘余變形越大，進行修復的難度越大；當殘余變形超過容許殘余變形時，結構不能再修復，需拆除重建。1995年日本神戶地震后，由于部分橋墩的殘余變形較大，難以修復，因此不得不拆除約100根墩頂傾角大于1°（側移比為1.75%）的橋墩[3]。同樣，2008年汶川地震后，也有許多框架柱和橋墩由于殘余變形過大而無法修復繼續(xù)使用[4-5]。中國現(xiàn)有的建筑抗震設計規(guī)范側重于承載力和考慮最大彈塑性變形以及累積耗能，著眼于“小震不壞”、“中震可修”、“大震不倒”的設防目標，對于“中震可修”仍主要采用最大變形驗算（見《建筑抗震設計規(guī)范》[6]附錄M），對將殘余變形作為震后結構性能的評價指標雖有提及，但其中并沒有涉及殘余變形具體的計算和分析，在設計中不具有可操作性；中國橋梁抗震規(guī)范[7]也是如此，沒有震后可維修性方面的具體指標要求。實際上，這方面的研究本身涉及的很少[1-2，8-13]，尚不能為設計中的震后可維修性提供依據(jù)。只按彈塑性最大變形設計的結構總體上滿足“大震不倒”的要求，但強震作用下結構損傷嚴重，基本喪失使用功能且難以修復，不僅造成嚴重的經濟損失，也不利于震后救災與重建工作的開展。日本橋梁設計規(guī)范《道路橋梁示方書與解說》[14]給出了一種橋墩地震殘余變形的計算方法，并將殘余變形作為橋梁設計的重要指標，而中國抗震規(guī)范中對此還未涉及。鑒于此，本文采用65條標準化后的地震波對雙線性SDOF體系進行動力時程分析，基于對時程響應結果的統(tǒng)計分析，研究了不同參數(shù)（如滯回特性、剛度比、周期、地面峰值加速度）對體系殘余變形的影響，并重點分析了平均殘余變形與平均最大彈塑性變形、體系剛度比的關系；同時結合理論分析提出了分別適用于彈塑性Kinematic滯回模型和Takeda滯回模型的殘余變形計算公式。最后，以一鋼筋混凝土單柱橋墩為例，詳細闡述了采用本文提出的方法進行單自由度體系結構的地震殘余變形計算及震后結構性能評估的過程。

1SDOF體系的彈塑性地震響應

1.1計算模型

為得到結構的最大彈塑性變形以及殘余變形地震響應，對圖1所示的SDOF體系模型進行動力時程分析。模型中質點的高度H為3 000 mm，支撐質點的桿件截面尺寸為100 mm×100 mm，屈服荷載為Fy=329.616 kN，屈服位移為dy=0.021 8 m，體系的初始剛度（定義為屈服點處的割線剛度）為K1=1.512×107 N/m，阻尼比為ζ=0.05，體系自振周期按下式計算：

式中，M為體系的集中質量。給定質點質量M，則可由式（1）確定結構的自振周期 。分析中選取的周期T范圍為0.2～8.0 s，其中短周期范圍內（T<2 s）計算周期點選取的步長為0.2 s，長周期范圍內（T>2 s）計算周期點選取的步長為1 s。

1.2滯回模型

為研究不同的滯回模型對SDOF體系的最大彈塑性變形及殘余變形的影響，分別采用雙線性隨動硬化（Kinematic）滯回模型和Takeda滯回模型來模擬鋼筋混凝土單自由度體系的荷載變形特性，如圖2、3所示。圖2所示的雙線性模型未考慮體系卸載時剛度退化的影響，卸載剛度等于初始剛度K1，但由于其模型簡單、計算高效，因而被廣泛應用于鋼筋混凝土結構的動力時程分析中；圖3所示的改進Takeda模型，考慮了體系卸載時剛度退化的影響，能更真實地反映鋼筋混凝土結構的受力特性，其卸載剛度Ku與結構的最大彈塑性變形相關，按式（2）計算。

式中，μΔ為體系的相對位移延性系數(shù)；dm為體系的最大彈塑性變形；系數(shù)α取0.4。

由圖2、3的雙線性模型可見，體系屈服后的剛度為rK1，其中系數(shù)r為屈服后的剛度K2與初始剛度K1的比值，簡稱剛度比。文中分別選取了r=0.0，0.01，0.05，0.1，0.15，0.2，0.25，0.3共8種不同剛度比的雙線性模型進行分析，以研究剛度比r對體系殘余變形以及最大彈塑性變形的影響。

1.3輸入地震動及時程分析

為進行彈塑性時程分析，從美國太平洋地震工程研究中心（PEER）強震數(shù)據(jù)庫[15]及中國地震記錄中選取了不同場地條件下的共65條強震記錄作為地震動輸入，選擇時盡量避開同次記錄，各地震記錄的詳細信息如表1所列。分析中將每條地震波分別標準化為峰值加速度（PGA）為0.125，0.25和0.5 g的標準地震波，以研究不同PGA的地震波對體系平均最大彈塑性變形和平均殘余變形的影響。另外，分析中每條地震波數(shù)據(jù)后都添加了10 s以上持時的零加速度，以使震后結構的位移響應能自由衰減至某一穩(wěn)定值，進而方便地從時程響應曲線中讀取有效的殘余變形值。

采用SAP2000軟件對SDOF體系模型進行彈塑性時程分析，分析中體系的阻尼采用Rayleigh阻尼來表示，數(shù)值積分采用Newmark-beta方法。需要說明的是，分析中未考慮體系的樁土相互作用及PΔ效應。圖4給出了SDOF體系在El Centro波下的彈塑性時程分析實例。由圖4可看出，當體系的周期、剛度比給定后，在相同地震波下采用Takeda模型和Kinematic模型計算出的時程響應有很大差別，采用Takeda模型得出的殘余變形要明顯小于采用Kinematic模型的值，而由兩種模型計算出的相對位移延性需求μΔ則大致相當，這表明滯回特性對體系殘余變形的大小有著較為明顯的影響。

2計算結果分析

圖5、6分別給出了不同滯回模型（Takeda模型和Kinematic模型）下SDOF體系的最大彈塑性變形平均值dm和殘余變形平均值dR隨周期、剛度比以及地震波峰值加速度（PGA）變化的影響。其中，dm和dR為65條地震波時程分析的統(tǒng)計平均結果，統(tǒng)計中剔除了整個動力時程分析中結構始終保持彈性（未屈服）狀態(tài)和相對位移延性系數(shù) μΔ大于10的結果，這是因為地震中保持彈性的結構不會產生殘余變形，而位移延性系數(shù)μΔ大于10的結構則可能不滿足保證“大震不倒”的最大彈塑性變形要求。

由圖5可以看出，SDOF體系的最大彈塑性變形受周期及地震波峰值加速度（PGA）的影響較為明顯，而基本不受體系的剛度比和滯回模型特性的影響。對比圖5中Takeda模型（左圖）和Kinematic模型（右圖）的計算結果可以看出，2種模型得出的最大彈塑性變形平均值dm隨周期T變化的趨勢基本一致，而且相同周期下計算出的最大彈塑性變形值也非常接近。體系剛度比r的變化對計算結果幾乎無影響，不同剛度比下的dm-T變化曲線基本重合。周期對最大彈塑性變形的影響可分為兩個階段，在周期T<2.0 s的范圍內，最大彈塑性變形平均值dm隨周期T的增大急劇增大；而在周期T>2.0 s的范圍內，dm隨T增大的趨勢明顯變緩甚至保持水平直線。地面峰值加速度（PGA）對最大彈塑性變形有顯著影響，PGA越大，同周期下計算出的最大彈塑性變形平均值dm越大，dm的增大程度與PGA的增加幅度呈非線性關系。

由圖6可以看出，滯回模型特性、體系剛度比、地震波峰值加速度（PGA）以及周期（尤其是T<2.0 s的短周期）對SDOF體系的殘余變形均有較明顯的影響。由基于Takeda模型（左圖）和Kinematic模型（右圖）的計算結果對比可看出，2種模型得出的殘余變形平均值dR隨周期T變化的趨勢大致相同，但相同周期下采用Kinematic模型計算出的殘余變形平均值dR明顯大于Takeda模型的值。體系剛度比r對殘余變形有較大影響，剛度比越大殘余變形越小，但采用Kinematic模型計算時，當體系剛度比r增至0.15后，再增大剛度比，殘余變形減小幅度顯著減小甚至可忽略。周期對殘余變形的影響也可分為兩個階段，在周期T<2.0 s的范圍內，殘余變形平均值dR隨周期T的增大顯著增大；而在周期T>2.0 s的范圍內，dR隨T增大的趨勢變緩甚至出現(xiàn)波動或反彈，呈現(xiàn)較不規(guī)則的變化規(guī)律。地面峰值加速度（PGA）對殘余變形的影響顯著，PGA越大，相同周期下計算出的殘余變形平均值dR越大，dR的增大程度與PGA的增加幅度呈非線性關系。

Macrae等[8]的研究表明，SDOF體系的殘余變形與最大彈塑性變形沒有明確的關系，相對位移延性系數(shù)的大小對殘余變形的影響較小。這一結論是建立在分析中體系的位移延性需求預先給定以及少量地震波記錄分析結果統(tǒng)計的基礎上的，而實際上結構的殘余變形理論值很大程度上取決于最大彈塑性變形（或位移延性系數(shù)）的大小。Borzi等[6]的研究也表明，位移延性系數(shù)是影響殘余變形大小的重要參數(shù)，殘余變形與最大彈塑性變形比drm隨位移延性系數(shù)的增大而增大。為研究體系殘余變形與最大彈塑性變形的關系，圖7給出不同PGA下分別采用Takeda模型和Kinematic模型計算出的殘余變形平均值dR和位移延性系數(shù)平均值μΔ的關系。由圖7可看出，兩種模型下殘余變形平均值dR與位移延性系數(shù)平均值μΔ均大致呈線性遞增關系，且剛度比越小線性遞增斜率越大（越陡）；對于Kinematic模型，當剛度比r≥0.15時，dR隨μΔ遞增的趨勢明顯變緩，這進一步說明了剛度比對殘余變形的大小有著非常重要的影響。

3殘余變形簡化計算公式

結構在經歷地震作用后的最大可能殘余變形dR max是指結構由峰值位移處沿卸載路徑卸載至零恢復力處的位移，可由最大彈塑性變形求得。根據(jù)圖2、3所示的滯回模型，SDOF體系的最大可能殘余變形dR max可由下式計算：

式中，系數(shù)α取為0時對應于Kinematic模型，系數(shù)α取為0.4時對應于Takeda模型。

采用式（3）計算的殘余變形值往往大于彈塑性時程分析得到的值（即實際地震殘余變形值dR），造成這一差異主要原因是，動力時程分析中體系經歷最大變形后仍可能繼續(xù)振動，卸載并非由最大變形處開始，如圖4所示。為分析實際地震殘余變形dR與最大可能殘余變形dR max的關系，采用式（3）對不同剛度比和位移延性系數(shù)（如圖7所示）下體系的最大可能殘余變形dR max進行計算，并將其與相應時程分析的殘余變形平均值dR進行比較。圖8和圖9分別給出了基于Takeda模型和Kinematic模型的dR和dR max的關系。

由圖8、9可看出，基于2種模型的彈塑性時程分析的殘余變形平均值dR與最大可能殘余變形dR max均大致呈指數(shù)函數(shù)關系。對于Takeda模型，對應于峰值加速度（PGA）ag=0.5、0.25、0.125 g時的函數(shù)變化參數(shù)分別為0.024 3、0.030 6、0.037 6；對于Kinematic模型，對應于峰值加速度（PGA）ag=0.5、0.25、0.125 g時的函數(shù)變化參數(shù)分別為0.001 3、0.002 4、0.000 42?？紤]峰值加速度（PGA）的影響，基于2種模型的地震殘余變形dR可分別按下式計算：

式中，ag的單位為g（9.8m/s2）；dR max、dm和dy的單位均為m。需要說明是，式（4）和（5）是基于對不同SDOF體系彈塑性地震響應的平均值進行統(tǒng)計分析建立的，分析中體系的剛度比r的變化范圍為0.0～0.3，相對位移延性系數(shù)μΔ的變化范圍約為1.0～6.0（即結構的最大彈塑性變形dm的變化范圍約為dy～6dy），因而在進行殘余變形計算時需考慮公式的適用范圍。另外，由圖8、9還可看出，基于Takeda模型的計算結果的離散性要明顯小于基于Kinematic模型。

4實例分析

下面以圖10（a）所示的某一鋼筋混凝土單柱橋墩為例，詳細說明采用本文提出的方法進行單自由度體系結構的地震殘余變形計算及震后結構性能評估的過程。橋墩高H=6 m，上部結構的集中質量M=1.2×105 kg。柱墩的截面尺寸及配筋詳情如圖10（b）所示，具體參數(shù)如下：截面尺寸為1 000 mm×1 000 mm；混凝土軸心抗壓強度為30 MPa，柱周縱向對稱配置12

4.1最大彈性塑變形及剛度比

本文提出的地震殘余變形計算方法是以先獲得結構雙線性荷載變形曲線的剛度比以及最大彈塑性變形為基礎的。對于鋼筋混凝土結構，可采用截面分析及塑性鉸模型建立荷載變形曲線，再通過Pushover方法確定不同單滯回模型下（Takeda模型和Kinematic模型）結構的最大彈塑性變形（抗震性能點），進而得到近似雙線性荷載變形曲線的剛度比，如圖11所示。圖中Y點為結構的屈服點，D點為結構的抗震性能點（最大變形點）。

分析中，采用的鋼筋、混凝土材料的本構模型及塑性鉸模型參見文獻[17]。計算得到的墩柱荷載變形曲線如圖12所示，圖中Y點為墩柱的屈服點，屈服位移為34.668 mm，屈服剪力為323.439 kN；D點為假定的柱最大位移反應點。采用ATC-40建議的能力譜法對結構進行pushover分析，地震反應譜根據(jù)我國《建筑抗震設計規(guī)范》（GB 50011-2010）[6]確定，結構等效阻尼比ζeq基于對圖2、3所示的單滯回環(huán)DC′D′C′（Kinematic）和DRD′R′（Takeda）的分析分別按下式計算：

圖13示出了A-D格式下采用不同滯回模型得出的結構抗震性能點。由圖可看出，采用Kinematic模型進行分析時，結構的最大彈塑性變形dm=81.05 mm，位移延性系數(shù)μΔ=2.34，體系剛度比r=0.23，等效阻尼比ζeq=26.64%；而采用Takeda模型進行分析時，結構的最大彈塑性變形dm=111.73 mm，位移延性系數(shù)μΔ=3.22，體系剛度比r=0.17，等效阻尼比ζeq=16.81%。假定結構最大彈塑性變形位移角限值為1/30，而本文分析得到的最大變形位移角值θ=0.081 05/6≈1/74（Kinematic）、θ=0.111 73/6≈1/54（Takeda），均小于規(guī)定的限值，滿足8度罕遇地震下最大變形性能的要求。

4.2殘余變形計算及震后修復性能評估

采用pushover方法確定結構最大變形的同時也可得到結構屈服后的有效周期Td=0.95（Kinematic）、Td=1.09（Takeda），結合《建筑抗震設計規(guī)范》（GB 50011-2010）[6]給出的加速度反應譜計算公式，可求得基于不同滯回模型的反應譜加速度ag=0.33 g（Kinematic）、ag=0.34 g（Takeda）。將相關參數(shù)分別代入式（4）和式（5）即可求得結構的地震殘余變形dR=4.74 mm（Kinematic）、dR=11.68 mm（Takeda），對應的殘余變形位移角θR=0.08%（Kinematic）、θR=0.19%（Takeda）。根據(jù)日本《道路橋梁示方書與解說》（2002）[14]中結構殘余變形位移角不超過1%的限定，則該單柱橋墩具有良好的抗震及震后修復能力。

值得注意的是，基于Kinematic模型和Takeda模型的殘余變形計算結果有較大差異，Kinematic模型高估了結構的滯回耗能能力，抗震性能分析結果偏于不安全；而Takeda模型的計算結果則相對趨于安全。在對實際結構進行設計和震后性能分析時，應根據(jù)需要選擇合理的計算模型，即根據(jù)實際結構本身的特性、重要性以及用途等確定采用的分析模型，在一定程度上實現(xiàn)基于性能的抗震設計方法。

5結論

地震殘余變形作為震后結構性能控制的重要指標，應在結構抗震設計中予以考慮。本文基于對SDOF體系彈塑性地震響應的統(tǒng)計分析，系統(tǒng)研究了不同參數(shù)對體系殘余變形的影響，其中滯回模型特性、體系剛度比、地面峰值加速度（PGA）以及最大彈塑性變形對殘余變形的影響較大；同時結合理論分析提出了分別適用于彈塑性Kinematic滯回模型和Takeda滯回模型的殘余變形計算方法。該方法是以獲得結構的最大彈塑性變形為基礎的，能與傳統(tǒng)的基于結構最大變形性能的抗震分析方法（Pushover方法）很好地結合，強調首先保證結構的最大地震變形性能再考慮其震后可修復性，這與當前的結構抗震評估及設計理念也可以較好地適應。需要說明是，基于不同滯回模型的殘余變形計算結果有較大差異，其中基于Takeda模型的結構殘余變形的計算結果偏于安全。

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