摘 要： 建立了玫瑰線軌跡模型，對(duì)模型進(jìn)行了理論證明并使用Mathematica軟件對(duì)其做了仿真實(shí)驗(yàn)。理論與實(shí)驗(yàn)均表明，當(dāng)模型中參數(shù)時(shí)，即可得到玫瑰線軌跡ρ=acosnθ。該模型從運(yùn)動(dòng)的角度揭示了玫瑰線的生成規(guī)則，為機(jī)械繪制玫瑰線提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 玫瑰線； 軌跡； 仿真實(shí)驗(yàn)； Mathematica軟件

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2013）04-01-03

Model of rose curve trajectory and simulation experiment

Wang Fugui1， Wang Jianwei2

（1. College of Arts and Sciences， Shanxi Agricultural University， Taigu， Shanxi 030801， China；

2. College of Information Science and Engineering， Shanxi Agricultural University）

Abstract： The model of rose curve trajectory is given in this paper in which it is proven theoretically. A simulation experiment has been done using mathematical software. Both the theory and experiment indicate that when ， ρ=acosnθ can be achieved. The formation rule of the rose curve is revealed based on motion. Theoretical evidence for related mechanical drawing is provided.

Key words： rose curve； trajectory； simulation experiment； Mathematical softwares

0 引言

玫瑰線的極坐標(biāo)方程為ρ（θ）=acosnθ，如ρ（θ）=acos3θ表示3葉玫瑰線，ρ（θ）=acos2θ表示4葉玫瑰線等[1，2]。由于玫瑰線的曲線美觀，所以使用玫瑰線可以設(shè)計(jì)出許多非常漂亮的幾何圖案[3]。許多學(xué)者對(duì)玫瑰線的幾何特性作了研究，熊作朝先生研究了玫瑰線的周長(zhǎng)[4]，潘陸益先生等研究了玫瑰線的花瓣數(shù)及周期性等[5，6]，李星秀先生等研究了逐點(diǎn)生成算法[7]。玫瑰線有許多實(shí)際應(yīng)用，如掃描瞬時(shí)視場(chǎng)[8]，安全底紋的設(shè)計(jì)[9]等。本文建立了玫瑰線的軌跡模型，并使用Mahtematica程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編寫了玫瑰線軌跡仿真程序[10，11]。

1 軌跡模型

1.1 模型描述

如圖1所示，設(shè)動(dòng)圓半徑為，動(dòng)圓圓心初始位置為A（，0），動(dòng)圓上的動(dòng)點(diǎn)Q的初始位置為B（a，0），動(dòng)圓的圓心P繞著原點(diǎn)O（0，0）勻速公轉(zhuǎn)，角速度為ω（ω>0時(shí)為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，ω<0時(shí)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)），同時(shí)動(dòng)圓上的動(dòng)點(diǎn)Q繞著動(dòng)圓的圓心勻速自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)的角速度為kω，即自轉(zhuǎn)角速度為公轉(zhuǎn)角速度的k倍，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡即為玫瑰線。

1.2 模型證明

由于P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角速度為ω，Q點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角速度為kω，故在t時(shí)刻時(shí)∠AOP=ωt，∠BPQ=kωt，如圖2所示。所以動(dòng)點(diǎn)Q在t時(shí)刻的直角坐標(biāo)為：

⑴

t時(shí)刻Q點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離平方為：

⑵

假設(shè)t時(shí)刻Q點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的極角為θ（t），則

⑶

當(dāng)t充分小時(shí)，與均位于第1或第4象限，故。

取，從而有：

⑷

下面驗(yàn)證對(duì)于任意的時(shí)刻t時(shí)，⑷式均成立?，F(xiàn)把⑷式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)。

⑸

⑹

由⑸式與⑹式可知，Q運(yùn)動(dòng)軌跡的極坐標(biāo)方程為

⑺

1.3 模型應(yīng)用

從⑺式知，模型中的參數(shù)k取不同的值，將得到不同的玫瑰線軌跡。令，得，故當(dāng)模型中的參數(shù)時(shí)，即得到模型中Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為玫瑰線ρ（θ）=acos（nθ）（n≠1）。

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 仿真程序

我們?cè)贛athematica7.0環(huán)境下編寫了模型仿真函數(shù)roseLineTrajectory，函數(shù)roseLineTrajectory輸出動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡。源代碼如下：

roseLineTrajectory[a_， k_， Dynamic[t_]] ：=

DynamicModule[{angleCalc， p， q， tt， g}，

g[] ：= （p = RotationMatrix[t].{a/2， 0}；

（*點(diǎn)P在t時(shí)刻位置*）

q=RotationMatrix[k t].{a/2， 0}；

（*點(diǎn)Q在t時(shí)刻相對(duì)于P點(diǎn)的偏移量*）

Show[Graphics[{{Dashed， Circle[{0， 0}， a/2]

（*P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡*）}，

{Dotted， Circle[p， a/2]}，

Circle[p， a/2， {Min[k t， 0]， Max[k t， 0]}]，

Circle[{0， 0}， a/2， {Min[0， t]， Max[0， t]}]，

PointSize[Medium]，

Point[p]，

Point[p+q]，

Arrow[{{0， 0}， p}]， Arrow[{p， p + q}]}，

PlotRange->{{-a-0.1， a+0.1}，{-a-0.1，a+0.1}}，

Axes -> True，

AxesLabel -> {x， y}]，

ParametricPlot[

RotationMatrix[u].{a/2， 0} +

RotationMatrix[k u].{a/2， 0}， {u， -10^-8， t}，

PlotStyle -> Thick，

PerformanceGoal -> \"Quality\"]]）；

LocatorPane[Dynamic[tt，

（angleCalc @@ Normalize /@ {#， tt}） ]，

Dynamic[g[]]， Appearance -> None]，

Initialization ：> （tt = {1， 0}； t = 0；

angleCalc[newp_， oldp_] ：= （t = t +

ArcCos[newp.oldp] Sign[Cross[newp].（newp-oldp）]；

tt={Cos[t]， Sin[t]}））

]

2.2 仿真程序測(cè)試

要得到3葉玫瑰線軌跡，可取參數(shù)k=-2，故調(diào)用模型仿真函數(shù)如下：

roseLineTrajectory[1， -2， Dynamic[t]]

輸出仿真交互界面如圖3所示。

使用鼠標(biāo)在圖3中拖動(dòng)點(diǎn)P，可使點(diǎn)P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，程序?qū)?dòng)態(tài)地輸出動(dòng)點(diǎn)Q所劃過(guò)的軌跡，如圖4所示。

當(dāng)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周以上時(shí)，得到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條封閉的3葉玫瑰線ρ（θ）=cos（3θ），如圖5所示。

取參數(shù)時(shí)，輸入：

roseLineTrajectory[1， -4/3， Dynamic[t]]

可得到如圖6所示的7葉玫瑰線。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了玫瑰線的軌跡模型，對(duì)模型進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論的正確性。通過(guò)調(diào)整模型中參數(shù)k的值，可以得到不同的玫瑰線軌跡，故該模型可以應(yīng)用于機(jī)械繪制任意玫瑰線，可使玫瑰線的應(yīng)用更加廣泛。

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