摘要：本文對(duì)“博弈”這個(gè)概念有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，概括來(lái)講，學(xué)術(shù)界對(duì)“博弈”有三種不同的理解，分別是“游戲”、“技藝”和“過(guò)程”。本文同時(shí)剖析了“田忌賽馬”博弈的具體類(lèi)型，應(yīng)是非完全信息動(dòng)態(tài)博弈，最后對(duì)它的一般擴(kuò)展式即序列均衡問(wèn)題做了簡(jiǎn)要的概述。

關(guān)鍵詞：博弈論；田忌賽馬；一般擴(kuò)展式

一、什么是“博弈”

博弈論的思想最早可以追溯到18世紀(jì)，但真正作為一種理論研究則始于20世紀(jì)20年代，公認(rèn)的開(kāi)山之作是1944年出版的由科學(xué)家馮諾依曼和經(jīng)濟(jì)學(xué)家?jiàn)W斯卡摩根斯坦恩合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為的理論》一書(shū)。此時(shí)，“博弈論”才作為一個(gè)完整的新名詞被提了出來(lái)。此后，國(guó)內(nèi)外對(duì)博弈論有了廣泛的研究，博弈論取得了長(zhǎng)足的發(fā)展。國(guó)內(nèi)方面，關(guān)于博弈論的文章、專(zhuān)著不勝枚舉，各位學(xué)者對(duì)“博弈”一詞的認(rèn)識(shí)或定義也存在偏差。

按照《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》的解釋?zhuān)安笔秦S富多彩的意思，而“弈”則指下棋、打牌等對(duì)抗性游戲，因而“博弈”就是指豐富多彩的對(duì)抗性游戲。①在英文中，“博弈”一詞是“game”的復(fù)數(shù)，表示各種各樣的游戲。因此，漢語(yǔ)中的“博弈”與英語(yǔ)中的“game”意思完全一致。“博弈”與“游戲”有這密不可分的聯(lián)系。

學(xué)者王俊冰對(duì)“博弈”一詞有著不同的理解。他指出：博弈的“博”字是競(jìng)爭(zhēng)的意思，“弈”是對(duì)弈，是一種關(guān)于在競(jìng)爭(zhēng)中選擇策略，爭(zhēng)取最好結(jié)果的技藝。②概括來(lái)講，博弈是一種技藝。學(xué)者郭磊認(rèn)為：博弈的基本意思是弈棋，博弈本身是一種游戲，但博弈更強(qiáng)調(diào)謀略……博弈則可能是一系列策略與行動(dòng)的組合體，并且是一個(gè)由始而終并產(chǎn)生結(jié)果的完整過(guò)程。③可以理解為博弈是一個(gè)過(guò)程。還有學(xué)者認(rèn)為：博弈即一些個(gè)人、隊(duì)組或其他組織，面對(duì)一定的環(huán)境條件，在一定的規(guī)則下，同時(shí)或先后，一次或多次，從各自允許選擇的行為或策略中進(jìn)行選擇并加以實(shí)施，各自取得相應(yīng)結(jié)果的過(guò)程。④

二、“田忌賽馬”概述

忌數(shù)與齊諸公子馳逐重射。孫子見(jiàn)其馬足不甚相遠(yuǎn)，馬有上、中、下輩。于是孫子謂田忌曰：“君弟重射，臣能令君勝?！碧锛尚湃恢?，與王及諸公子逐射千金。及臨質(zhì)，孫子曰：“今以君之下駟彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟?！奔锐Y三輩，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金。于是忌進(jìn)孫子于威王。威王問(wèn)兵法，遂以為師?！雹葸@是我國(guó)“田忌賽馬”故事的原型。這個(gè)故事可謂是眾所周知了，該故事發(fā)生在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊威王和大將田忌賽馬，根據(jù)馬跑的速度雙方各有上、中、下三種等級(jí)馬各一匹，其中田忌的馬比同一等級(jí)齊王的馬跑得慢，但比齊王低一級(jí)的馬跑得快。比賽規(guī)則為三局兩勝制，每局比賽各出一匹馬，負(fù)者向勝者支付黃金⑥一千，顯然相比之下齊王的馬占優(yōu)勢(shì)。在第一次比賽中，田忌以上等馬對(duì)齊王的上等馬，以中等馬對(duì)齊王的中等馬，以下等馬對(duì)齊王的下等馬，結(jié)果連負(fù)三局。在第二次比賽中，田忌采納孫臏的建議，以下馬對(duì)齊王的上馬，以中馬對(duì)齊王的下馬，以上馬對(duì)齊王的中馬，結(jié)果勝兩局負(fù)一局，贏齊王一千金，而自以為勝券在握的齊王反而輸?shù)粢磺Ы稹?/p>

首先要從語(yǔ)言上分析一下這個(gè)典故?！皩O子見(jiàn)其馬足不甚相遠(yuǎn)”這一句是前提，否則這個(gè)故事就不會(huì)發(fā)生。我們可以這樣理解這句話，即“齊威王和田忌的馬根據(jù)速度劃分各有上、中、下三種等級(jí)各一匹，其中田忌的馬比同一等級(jí)齊王的馬跑得慢，但比齊王低一級(jí)的馬跑得快”。假如齊威王的馬按速度由快到慢分為A1、A2、A3，田忌的馬由快到慢分為B1、B2、B3，那么這六匹馬由快到慢依次是A1、B1、A2、B2、A3、B3。另外，還有一處是學(xué)者研究中普遍遺漏的，即“及臨質(zhì)”三個(gè)字，這一句起到了至關(guān)重要的作用。這句話在這個(gè)故事中應(yīng)該翻譯為“等到將要開(kāi)始比賽的時(shí)候”，那么這句話告訴我們一個(gè)什么訊息呢？我認(rèn)為是說(shuō)孫臏獻(xiàn)計(jì)田忌改變馬的出場(chǎng)順序這一情況并不為齊威王所知，這也成就了田忌在第二輪賽馬中能夠勝出的重要因素?！巴鯁?wèn)兵法，遂以為師?！边@一句也是關(guān)鍵所在，通過(guò)這一句話得知，齊威王并不知道自己是怎么輸?shù)?，所以?qǐng)教孫臏。假設(shè)如果齊威王知道其中玄機(jī)的話，那么田忌將必輸無(wú)疑。以上三點(diǎn)是“田忌賽馬”故事得以出現(xiàn)的基本前提。

而我國(guó)關(guān)于“田忌賽馬”博弈論研究的相關(guān)論著可謂不少，但鮮有人認(rèn)真透徹地分析這個(gè)故事的原型，殊不知這關(guān)系到“田忌賽馬”是不是博弈、是怎樣的博弈等問(wèn)題。在以往的文獻(xiàn)中，王俊冰在《白話博弈論》一文中指出“田忌賽馬”是一個(gè)非合作博弈；詹國(guó)樞在《博弈處處有，幾人能識(shí)之》中指出“田忌賽馬”是博弈論的實(shí)際運(yùn)用，是典型的博弈案例；周瀚光認(rèn)為“田忌賽馬”是一個(gè)“二人有限零和博弈”，⑦但他并沒(méi)有首先從語(yǔ)言學(xué)的角度分析這個(gè)故事的前提；此外學(xué)者袁國(guó)強(qiáng)、和蔚、逯彥彥、郭鵬等等均指出“田忌賽馬”是一個(gè)博弈，但沒(méi)有深入分析它到底屬于什么類(lèi)型的博弈，是怎樣博弈的等問(wèn)題。

三“田忌賽馬”的博弈論分析

前文分析了該故事的三個(gè)前提，一、田忌的每等級(jí)的馬均次于齊威王同等級(jí)的馬，但強(qiáng)于齊威王下個(gè)等級(jí)的馬；二、齊威王事先不知道田忌臨陣改變了馬的出場(chǎng)順序；三、齊威王不知道改變馬出場(chǎng)順序其中的玄機(jī)。本文以下的分析均基于此三前提。

首先要從博弈論定義上理解“田忌賽馬”。很明顯，“田忌賽馬”確實(shí)符合“博弈”的定義，但現(xiàn)在言“田忌賽馬”就是博弈還為時(shí)尚早。

其次需要分析“田忌賽馬”是否具備博弈理論的基本要素。國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)界對(duì)博弈論基本構(gòu)成要素有分歧，基本分為兩派。一派認(rèn)為博弈論要素有四方面，即博弈的參加者、策略、進(jìn)行博弈的次序、博弈的信息。但是主張博弈理論四要素這一派內(nèi)部也有分歧，學(xué)者胡靜認(rèn)為博弈理論的第四個(gè)構(gòu)成要素是“博弈方的得益”，⑧而不是博弈的信息；另一派認(rèn)為博弈理論具有五方面的要素，即博弈的參加者、策略、進(jìn)行博弈的次序、博弈的信息、博弈方的得益?？梢郧逦乜闯龊笳邔?duì)博弈理論的要素有了一個(gè)完整的歸納。那么“田忌賽馬”是否具備五個(gè)要素呢？齊威王和田忌是博弈的參加者；策略選擇按照排列組合來(lái)計(jì)算共有六種（這里不詳細(xì)敘述）；博弈的次序是雙方非同時(shí)決策，齊威王是先手；博弈的信息是不完全的，齊威王不知道田忌策略的變化；得益是每勝一局有一千金的獎(jiǎng)勵(lì)。通過(guò)分析這些要素，我們得出一個(gè)結(jié)論，即“田忌賽馬”是一個(gè)完整的博弈。

最后要弄清楚“田忌賽馬”到底屬于什么類(lèi)型的博弈。首先要了解一下博弈論的分類(lèi)情況。（1）合作博弈與非合作博弈。如果各博弈方能達(dá)成某種有約束力的契約或默契，以選擇共同的策略，此種博弈就是合作博弈。反之，就屬于非合作博弈。（2）零和博弈、常和博弈與變和博弈。這是按得益情況劃分的，一方得益必來(lái)自一方損失，這種博弈是零和博弈。常和博弈又叫非零和博弈，指博弈各方得益之和不為零。變和博弈中各方得益之和不確定，這是最一般的博弈，常和博弈和零和博弈是它的特例。（3）靜態(tài)博弈與動(dòng)態(tài)博弈。根據(jù)博弈的次序，即參加者策略選擇并行動(dòng)的先后次序博弈可以分為靜態(tài)博弈和動(dòng)態(tài)博弈。靜態(tài)博弈指參加者可同時(shí)決策并行動(dòng)的博弈，并不考慮決策的次序問(wèn)題。動(dòng)態(tài)博弈指參加者先后、依次決策并且后行動(dòng)者能夠觀察到先動(dòng)者所選擇的策略和行動(dòng)。⑨（4）完全信息博弈與不完全信息博弈。在前一種博弈中，每一個(gè)參與者都擁有全部的相關(guān)信息，只擁有部分相關(guān)信息的便屬于后一種博弈。⑩博弈理論按照不同的標(biāo)準(zhǔn)基本可分為以上四種情況。

“田忌賽馬”這個(gè)典故是非合作博弈，也是零和博弈，這在上文中已經(jīng)提到。同時(shí)，依據(jù)上文的三個(gè)前提，它同時(shí)也是一種不完全信息狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)博弈。

四“田忌賽馬”博弈的一般擴(kuò)展式及其序列均衡

上文我們提到“田忌賽馬”博弈是非完全信息動(dòng)態(tài)博弈，而這種博弈則是博弈論中最為復(fù)雜的模型，也稱(chēng)動(dòng)態(tài)貝葉斯博弈。序列均衡是非完全信息動(dòng)態(tài)博弈的核心概念。

一個(gè)動(dòng)態(tài)貝葉斯博弈的擴(kuò)展式為∟=﹛N，H，P，I，p，u﹜，其中N為參與者集合，N=﹛0，1，2，…，n﹜，0代表自然。B11H為全歷史集合，即從博弈開(kāi)始到博弈結(jié)束所有可能的行動(dòng)序列﹛a0，a1，…，am﹜，m為任一自然數(shù)，表示一個(gè)全歷史包含的行動(dòng)次數(shù)。P為參與者函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)子歷史h，P（h）將其映射成自然或是其他參與者。I為信息空間。p為自然的概率分布函數(shù)，其表示當(dāng)自然行動(dòng)時(shí)，自然以多大概率選擇某個(gè)行動(dòng)。u表示參與者的偏好，其定義是在全歷史結(jié)果上的收益函數(shù)。B12

在“田忌賽馬”博弈中，參與者集合N=﹛0，1，2﹜，0代表自然。H是全歷史集合，表示所有可能的行動(dòng)序列﹛上中下，上下中，中上下，下上中，下中上，中下上﹜，即共有六個(gè)可能的行動(dòng)。在此博弈中，由于是齊威王先行動(dòng)，所以無(wú)論馬出場(chǎng)順序如何，作為自然的孫臏總是可以幫助田忌，以下等馬對(duì)上等馬，以中等馬對(duì)下等馬，以上等馬對(duì)中等馬（順序無(wú)先后），這樣如果把三場(chǎng)全勝看做“1”的話，那么田忌總有“2/3”的收益。也就是說(shuō)田忌有100%的可能獲得2/3的收益。齊威王由于過(guò)分自信或者智商不高，未能識(shí)破此中玄機(jī)，所以敗下陣來(lái)。但在現(xiàn)實(shí)生活中，一方的決策是嚴(yán)格保密的，作為自然的“孫臏”并不可能事先知道“齊威王”的決策，而齊威王有六種行動(dòng)序列，相對(duì)應(yīng)，“田忌”也有六種，我們說(shuō)過(guò)，只有一種情況可以助“田忌”勝出，所以“田忌”獲勝的概率僅為1/6。P為參與者函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)子歷史h，P（h）將其映射成自然或是其他參與者。在此博弈中，假設(shè)一個(gè)子歷史“上中下”，那么P（h）作為一個(gè)映射將有六種；一共有六個(gè)子歷史，所以P（h）應(yīng)該有36種。I是信息空間。假設(shè)I1 是齊威王的信息空間，I1=﹛上中下，上下中，中上下，下上中，下中上，中下上﹜，I2同I1，因?yàn)樗瑯硬恢缹?duì)方的策略。

在“田忌賽馬”這個(gè)非完全信息動(dòng)態(tài)博弈中，還有一個(gè)很重要的因素需要我們注意，即參與者可能臨時(shí)改變策略，這也更帶來(lái)了決策的復(fù)雜性和不穩(wěn)定性。因?yàn)橐粓?chǎng)賽馬是由三局比賽構(gòu)成的（非同時(shí)進(jìn)行），假設(shè)第一局結(jié)束后，參與者肯定要根據(jù)這一局得結(jié)果變換策略，同時(shí)也能觀察到一部分對(duì)方的策略，這么說(shuō)來(lái)，雙方獲勝的概率就不是齊威王5/6，而田忌1/6的概率了，需要更復(fù)雜的計(jì)算。

客觀而言，直到今天理論界也沒(méi)有找到能適用所有非完全信息動(dòng)態(tài)博弈的均衡概念，也缺乏一個(gè)普遍的方法來(lái)求解動(dòng)態(tài)博弈的序列均衡。B13

結(jié)論

“田忌賽馬”博弈不是人們想象中的那么簡(jiǎn)單的一個(gè)博弈，反而是博弈類(lèi)型中最復(fù)雜的非完全信息動(dòng)態(tài)博弈，應(yīng)該對(duì)這個(gè)博弈有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)。并且，在這個(gè)博弈中，至少包含著兩個(gè)子博弈，這更加劇了此博弈的復(fù)雜性。博弈論思想雖然在實(shí)際生活中適用性差，但它教會(huì)我們一種思考問(wèn)題的方法，對(duì)合理規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，獲取最大收益還是有指導(dǎo)意義的。（作者單位：四川大學(xué)）

注解

①姚國(guó)慶：《博弈論》，北京：高等教育出版社，2007年，第1頁(yè)。

②王俊冰：“白話博弈論”，《理論學(xué)習(xí)》，2006年第6期，第63頁(yè)。

③郭磊：“博弈論簡(jiǎn)論”，《山東經(jīng)濟(jì)》，1999年第6期，第17頁(yè)。

④胡靜：“博弈論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用”，《商情》，2006年第4期，第213頁(yè)。

⑤《孫子吳起列傳第五》，《史記》卷六十五，中華書(shū)局，2007年4月。

⑥“黃金”在古代是一種貨幣，不同于現(xiàn)代意義上的黃金；“黃金一千”只一千兩黃金的意思。

⑦周翰光：“論孫臏的對(duì)策論和辯證法”，《齊魯學(xué)刊》，1984年第3期，第36頁(yè)。

⑧胡靜：“博弈論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用”，《商情》，2008年第5期，第213頁(yè)。

⑨逯彥彥：“博弈論前瞻探討”，《商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)》，2009年第1期，第33頁(yè)。

⑩胡靜：“博弈論在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用”，《商情》，2008年第5期，第213頁(yè)。

11“自然”指在動(dòng)態(tài)貝葉斯博弈中參與博弈，無(wú)收益，但可以決定不同歷史發(fā)生概率的參與者。

12姚國(guó)慶：《博弈論》，北京：高等教育出版社，2007年，第220頁(yè)。

13姚國(guó)慶：《博弈論》，北京：高等教育出版社，2007年，第218頁(yè)。