《普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）》第101頁(yè)“復(fù)習(xí)參考題B組”第7題（1）：筆者在上第四章《三角函數(shù)》的習(xí)題課時(shí)，給學(xué)生講了這道題。結(jié)果出了些“意外”，一節(jié)大課僅講了這么一道小題。但在這大小之間，我和我的學(xué)生都得到了一次難得的“人生經(jīng)歷”。

我和同學(xué)們首先共同完成了這道題的常規(guī)證法：證法一（左—右=0）、證法二（右→左）。然后賣(mài)關(guān)子，“大家還有沒(méi)有其他的證法呢？”學(xué)生七嘴八舌地談起了自己的高見(jiàn)，其中也包括我想介紹給他們的證法三：

因?yàn)樯鲜斤@然成立，所以原等式成立。

這時(shí)，我故弄玄虛地說(shuō)道：“大家看這個(gè)證法的第二步，是不是一個(gè)分式在它的分子、分母上分別減去一個(gè)三角函數(shù)值，整個(gè)分式的值不變。”同學(xué)們看了看，驚訝地說(shuō)：“還真是的，這個(gè)分式不就是嗎？”這時(shí)，我乘勝追擊，總結(jié)道：“從這一點(diǎn)上我們要意識(shí)到，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，不能只是就題論題，為了做題而做題，而要在做完題后，再反思一下，再觀察一下，再思考一下，看看通過(guò)這道題我們學(xué)到了什么？還獲得了什么？只有這樣，我們才能做到‘做了一道題，會(huì)了一類(lèi)題，從而達(dá)到減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)’的目的?！比缓笮睦锩雷套痰卮蛩阒v第2小題。

但我的話音剛落，一位學(xué)生就猛地站了起來(lái)，“老師，第三步到第四步要是只提出和，就給這道題降次了。”我仔細(xì)看了看，還真是這樣。

看到了最后的這個(gè)結(jié)論，我的第一反應(yīng)就是這個(gè)結(jié)果很有探究?jī)r(jià)值，于是便引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)看這個(gè)問(wèn)題，看看再有沒(méi)有其他的發(fā)現(xiàn)。

同學(xué)們有的做沉思狀，有的拿起了紙筆開(kāi)始運(yùn)算，有的干脆和周?chē)耐瑢W(xué)展開(kāi)了激烈的討論。

接著，一位學(xué)生發(fā)言道：“老師，中的2可以換成任意實(shí)數(shù)x，這一點(diǎn)可以從黑板上的證明過(guò)程中得到?！?/p>

我和其他同學(xué)經(jīng)過(guò)短暫的思考，對(duì)這位同學(xué)報(bào)以了贊同的掌聲?！昂芎?，xxx同學(xué)得到了一個(gè)很有意義的結(jié)論，給分式的分子、分母分別減去任意實(shí)數(shù)倍的sinA和cosA，所得分式的值不變。我看這個(gè)結(jié)論可以叫做xxx公式了?！?/p>

聽(tīng)到這個(gè)叫法后，同學(xué)們更是群情振奮，都躍躍欲試地想獲得以自己名字命名的公式。我及時(shí)地把握住時(shí)機(jī)，向?qū)W生拋出了一個(gè)信號(hào)：“我們總共學(xué)過(guò)多少種三角函數(shù)？其他三角函數(shù)有沒(méi)有類(lèi)似的性質(zhì)呢？”

大家恍然大悟，都停止了討論，提筆埋頭苦算。結(jié)果我們一共得到了12個(gè)類(lèi)似的三角恒等式，一一列舉如下：

這真是一筆意外的財(cái)富?。∥覐男睦锔锌?！

這時(shí)，又有一位學(xué)生說(shuō)話了：“老師，我發(fā)現(xiàn)這些恒等式和我們學(xué)過(guò)的‘三角六邊形’好像有些關(guān)系。”

“三角六邊形”就是大家熟知的同角三角函數(shù)基本關(guān)系的記憶圖。

她說(shuō)不清楚，就干脆上黑板自己畫(huà)了起來(lái)。

這時(shí)第一個(gè)恒等式對(duì)應(yīng)的圖：

這是第二個(gè)恒等式對(duì)應(yīng)的圖：

我的心被震撼了，我完全相信了一句教育界常說(shuō)的話：不管是怎樣的學(xué)生，都蘊(yùn)藏著無(wú)限的潛能。

我和同學(xué)們一起給這個(gè)陰影起了個(gè)名字，叫做“三角六邊形的對(duì)角矩形”。

于是，我們得到了這樣一個(gè)定理：在三角六邊形的對(duì)角矩形中任取相鄰的兩個(gè)三角函數(shù)，組成一個(gè)分式，分子、分母同減（加）任意實(shí)數(shù)倍的相鄰三角函數(shù)，所得分式的值不變。

有同學(xué)提議把這個(gè)性質(zhì)叫做三角分式的不變性，也有同學(xué)說(shuō)，我們以前研究過(guò)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)該叫三角分式的不動(dòng)性，這樣顯得專(zhuān)業(yè)些。

于是，同學(xué)們有了自己有生以來(lái)第一個(gè)參與研究并命名的定理——三角分式的不動(dòng)性定理。

（作者單位 甘肅省蘭州市第六十六中學(xué)）