【摘 要】新的課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)應(yīng)當(dāng)開發(fā)信息技術(shù)資源為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)。將計算機輔助數(shù)學(xué)實驗引入初中數(shù)學(xué)教學(xué)是一種全新而有益的嘗試。它能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，有助于理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，同時為學(xué)生提供探究性活動平臺。本文從具體實驗設(shè)計案例出發(fā)，介紹了計算機輔助數(shù)學(xué)實驗在初中數(shù)學(xué)教育中的運用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實驗 初中數(shù)學(xué) 信息技術(shù) 幾何畫板

【中圖分類號】G632 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674—4810（2012）16—0130—02

一 導(dǎo)論

2011年教育部最新修訂版《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在其基本理念部分明確提出，現(xiàn)代信息技術(shù)已對數(shù)學(xué)教育方式產(chǎn)生重大的影響，初中數(shù)學(xué)課程設(shè)計應(yīng)將其作為強有力的工具并充分運用。數(shù)學(xué)實驗作為基于計算機和軟件技術(shù)發(fā)展起來的新的教學(xué)手段，正是信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的理想工具。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將一部分內(nèi)容（如函數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計等），組織成數(shù)學(xué)實驗課的形式，不僅可以提高學(xué)生實踐和參與數(shù)學(xué)活動的積極性，同時更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，提高自主探索能力的有效方式。

二 計算機輔助數(shù)學(xué)實驗：一種新的學(xué)習(xí)方式

自20世紀(jì)40年代計算機在數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)上被創(chuàng)立起，之后整個計算機科學(xué)的歷史就是數(shù)學(xué)與之不斷融合、相互促進的歷史。數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)的核心，而計算機技術(shù)又反過來推動數(shù)學(xué)的發(fā)展：計算圓周率、證明四色定理等不一而足，兩者聯(lián)系之緊密甚至超過了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)。計算機科學(xué)的許多奠基性工作由數(shù)學(xué)家完成，如被稱作計算機科學(xué)之父的馮諾依曼（J. von Neumann）與圖靈（A. M. Turing）。在許多高等院校的建制中，數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)隸屬于同一個院系。

生活在21世紀(jì)的人，對數(shù)學(xué)與信息科學(xué)之間的聯(lián)系有更為深刻的體會。中學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，同時學(xué)習(xí)信息科學(xué)，用Excel處理數(shù)據(jù)，用幾何畫板作三角形的全等變換，用Visual Basic編寫一元二次方程程序，兩門學(xué)科同時為對方服務(wù)。對于學(xué)生而言，從小學(xué)教育之后進入初中，在直觀的認(rèn)識上數(shù)學(xué)與信息科學(xué)便是相伴而來。當(dāng)他們升入高中、大學(xué)乃至工作以后，繼續(xù)使用數(shù)學(xué)的時候，大多的情況是用Office軟件處理表格和繪制函數(shù)，用Mathematica推導(dǎo)微積分，用Matlab做矩陣運算，用R語言作統(tǒng)計應(yīng)用，用有限元軟件進行工程數(shù)值模擬。新世紀(jì)中學(xué)生所面臨的事實是，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)的融合是自始至終，并且再沒有彼此分割的可能。

因此，新時期的教育者必將不能滿足于簡單地將一些多媒體技術(shù)引入教室，而必須從更深層次發(fā)掘數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，一方面，為了讓學(xué)生能對將來的應(yīng)用技術(shù)有更充分的準(zhǔn)備；另一方面，借助于計算機工具，為學(xué)生提供動手實踐、增進學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的平臺。正如新課程標(biāo)準(zhǔn)中所指出的：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶。”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是現(xiàn)實而有意義的，絕不是空泛的。學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)時，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能從生活中得到抽象或從知識經(jīng)驗中找到基礎(chǔ)。否則，認(rèn)知過程便會有一個階梯缺失，造成難以逾越的障礙。此時，幫助學(xué)生進行自主探索、獲取更廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的角色便應(yīng)由教師來完成。數(shù)學(xué)實驗正是教師提供給學(xué)生發(fā)揮主體精神、做數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主人翁的理想舞臺。數(shù)學(xué)是思維的藝術(shù)，計算機為之提供了動手的可能。傳統(tǒng)的教師板書學(xué)生抄筆記的教學(xué)方式變革為教師提出問題學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中解決問題，由此數(shù)學(xué)經(jīng)驗也得到了豐富。

數(shù)學(xué)實驗在許多大學(xué)中都已是十分成熟的課程，將其引入初中教學(xué)尚是全新的嘗試。通過精心的課程安排，完全可以不必借助于超出中學(xué)教學(xué)范疇的大型計算軟件而從計算機核心的數(shù)值處理和圖形能力出發(fā)，便能設(shè)計出高質(zhì)量的數(shù)學(xué)實驗課，正如計算機的使用淡化了花哨的計算技巧而使本質(zhì)和樸素的數(shù)學(xué)思想得到彰顯一樣。

三 計算機輔助實驗：獲取數(shù)學(xué)經(jīng)驗與認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)——以概率實驗為例

數(shù)學(xué)概念的形成是高度抽象的結(jié)果，這就意味著數(shù)學(xué)概念并不一定能從現(xiàn)實的具體的存在中得到經(jīng)驗；即或存在于生活經(jīng)驗，也常常不是直觀的，認(rèn)識它們需要辨析和洞察。初中數(shù)學(xué)所涉及的是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性概念，如何幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解其定義是教師所關(guān)心的問題。本文以概率為例介紹計算機輔助實驗對概念學(xué)習(xí)的幫助。

概率統(tǒng)計是數(shù)學(xué)的重要分支，在現(xiàn)代社會的各行各業(yè)都有廣泛的應(yīng)用。企業(yè)需要概率統(tǒng)計人才對市場和消費者行為作調(diào)研分析，為經(jīng)營決策提供建議；工廠需要概率統(tǒng)計監(jiān)控產(chǎn)品質(zhì)量，優(yōu)化生產(chǎn)流程。雖然概率統(tǒng)計與生活息息相關(guān)，但卻不如四邊形等概念那樣易于從生活經(jīng)驗中抽象出來。

課本對概率概念的引入是從重復(fù)投擲硬幣與骰子這兩個學(xué)生可以直接接觸的事物入手的，先介紹什么是隨機事件，繼而用大量重復(fù)實驗中事件A的頻率在某個常數(shù)p附近，來定義事件A的概率為p。不難發(fā)現(xiàn)，這個定義本身就是實驗性的。硬幣投擲是數(shù)學(xué)史上最廣為人知的實驗之一，操作簡單而意義卻深刻。除了在課堂上組織學(xué)生分組投擲硬幣并記錄結(jié)果之外，此次實驗與探究課還可以設(shè)計為上機實驗。

實驗1：創(chuàng)建一個N個步長的循環(huán)，每一步利用計算機生成一個0～1之間的隨機數(shù)x，當(dāng)?shù)玫降膞滿足0

數(shù)變量Q加1。循環(huán)結(jié)束，計算投擲結(jié)果正面頻率 與反面

頻率 。令N分別等于5，10，20，50，100，1000，10000，

重復(fù)實驗，記錄每次的頻率。

問題1：請預(yù)測，當(dāng)N增大時，得到的頻率有何種趨勢？用實驗結(jié)果檢驗此預(yù)測。

問題2：實驗得到的頻率有何種特征，請用頻率估計硬幣正反面出現(xiàn)的概率。

教學(xué)經(jīng)驗表明，組織一次實體硬幣投擲100次的實驗時長半小時，接近一次課的時間。而上機實驗在十分鐘之內(nèi)即可得到同樣的結(jié)果，而且可重復(fù)性強，只需要輸入?yún)?shù)N，即可即時得到新的實驗結(jié)果。學(xué)生的參與熱情非常高，會產(chǎn)生追求更多實驗次數(shù)的強烈好奇心，而不局限于教師提供的數(shù)字，并紛紛提出改進實驗的建議。至此讓計算機作為強大工具為教師所用和為學(xué)生所用的教學(xué)目的便達到了。同時，學(xué)生在初中三年級同期信息技術(shù)課學(xué)習(xí)的編程能力也得到了鍛煉，對數(shù)學(xué)和信息技術(shù)課的興趣都更加濃厚。學(xué)生在滿足好奇心這一天性的同時，對概率有了更直觀的認(rèn)識。同次課的下半節(jié)時間里，教師可安排另一個拓展實驗。課本在選學(xué)內(nèi)容中介紹的布豐投針實驗，作為深化的閱讀和思考。布豐對投針概率的證明并沒有直接給出，而投針因為安全的顧慮也不適宜在課堂上演示。此時計算機模擬數(shù)學(xué)實驗便顯示出了優(yōu)越性。筆者考察了概率論的著名案例，設(shè)計出以下實驗。

實驗2：正方形ABCD邊長為2，與邊長為1的⊙O相切，如圖1所示。向正方形ABCD投擲任意沙粒，假設(shè)沙粒落點Q在正方形任何位置的概率均等，則其落入⊙O之內(nèi)的概率為：

P= =

利用這個公式，可以用概率的方法得到圓周率π的近似值，并且證明過程簡單明了。

計算機輔助實驗的實現(xiàn)方法為：創(chuàng)建一個N個步長的循環(huán)，每一步產(chǎn)生兩個—1～1之間的隨機數(shù)x與y，代表沙粒落點的坐標(biāo)Q（x，y），當(dāng)Q距離圓心距離小于1時，此時落點在⊙O之內(nèi)，計數(shù)M加1，否則不予計數(shù)。當(dāng)循環(huán)結(jié)束，

計算頻率F= ，圓周率的近似值為4F。選擇步長令N從小

增大，觀察圓周率近似值的變化趨勢。

圖1 投擲實驗示意圖 圖2 投擲實驗結(jié)果圖

實驗結(jié)果如圖2所示，實線為圓周率的準(zhǔn)確值。由圖可見，當(dāng)N很小時，得到的頻率有較大振蕩，而當(dāng)N的數(shù)目增大后，頻率逐漸趨向理論概率，圓周率近似值逐漸向準(zhǔn)確值趨近。

同樣是寥寥數(shù)行代碼即可實現(xiàn)的實驗，能讓學(xué)生產(chǎn)生很大的參與感和成就感。數(shù)學(xué)實驗實現(xiàn)了它所擔(dān)負的“去陌生化”的使命，讓數(shù)學(xué)概念變得切實可感，不再遙遠，不再虛無縹緲。借助圓周率估計這一數(shù)學(xué)史的重要主題，學(xué)生仿佛置身于歷史發(fā)現(xiàn)的進程中，用更全局的觀點去觀察和感悟數(shù)學(xué)之美，這與新課標(biāo)所提倡的數(shù)學(xué)之發(fā)展性與體驗性正不謀而合。

四 計算機輔助實驗：發(fā)現(xiàn)規(guī)律與探究問題

新課程標(biāo)準(zhǔn)中將探究物體與圖形的關(guān)系列為創(chuàng)新和實踐能力的一部分，鼓勵有挑戰(zhàn)性的探究性活動和探究性課題。另外，觀察近年來的中考試題不難發(fā)現(xiàn)，探究性問題成為各個題型的普遍熱點，作為壓軸題出現(xiàn)。作為風(fēng)向標(biāo)和指揮棒，命題趨勢反映的是教育界鼓勵勇于探究精神的共識。無論是從培養(yǎng)實踐和思維能力，還是從備戰(zhàn)中考的角度，讓學(xué)生更多地參與探索性問題都是非常必要的。

計算機輔助實驗正是這樣一個讓學(xué)生參與探索性問題的理想平臺。借助于圖形處理軟件，讓數(shù)學(xué)問題直觀化、可視化是計算機的巨大優(yōu)點。探究性問題常見的動點、動線、動面問題，利用幾何畫板便可以非常形象地觀察到動態(tài)幾何的趨勢，并且能夠?qū)崟r測量長度、角度，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而解決問題。一次數(shù)學(xué)實驗課可設(shè)計為動態(tài)幾何的探索性問題專題。下面是根據(jù)一道中考試題改編的實驗：

實驗3：等腰直角三角形△ABC與△EFP位于直線l上，初始位置AC與EF重合（見圖3）?！鱁FP在直線l上向左平移，EP與AC相交于點Q，連接BQ，AP（見圖4）。在幾何畫板中作圖與平移，BQ與AP之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？證明此項結(jié)論。

圖3 動態(tài)幾何實驗 圖4 動態(tài)幾何實驗

在幾何畫板中做出平移之后的圖形，并測量BQ與AP的長度及它們所成的角度，記錄結(jié)果。進行多次平移重復(fù)測量?？傻弥狟Q=AP，BQ⊥AP。證明的思路是找出△BQC≌△APC。在實驗過程中，利用幾何畫板的圖形平移功能，△EFP的平移簡便且直觀，學(xué)生可以順利地找到規(guī)律和得出結(jié)論。

在直線l平移的過程中同

學(xué)們繼而提出：如果△EFP向

右平移，EP交AC的延長線于

Q，BQ與AP之間的數(shù)量與位

置關(guān)系是否能維持不變？

利用幾何畫板，將△EFP向

右平移多個位置進行測量，可知

BQ=AP，BQ⊥AP的結(jié)論仍然

不變。此次實驗中，同學(xué)們不僅

從問題中找出了規(guī)律，而且利用軟件功能對問題進行了探究，既鍛煉了動手能力，又享受了發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思維樂趣。

五 總結(jié)

為響應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)開發(fā)信息技術(shù)以服務(wù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的號召，將計算機輔助數(shù)學(xué)實驗引入初中課堂，是一項全新而有意義的嘗試。初中二年級和初中三年級的數(shù)學(xué)和信息技術(shù)在內(nèi)容上相互交融，數(shù)學(xué)實驗同時提高了兩門學(xué)科的教學(xué)效果，并為學(xué)生日后在語言和軟件工具中運用數(shù)學(xué)打下了基礎(chǔ)。

計算機輔助實驗?zāi)茇S富學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，幫助數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知和對概念本質(zhì)的理解，具有可重復(fù)性強和速度快的特點，保證了高教學(xué)效率。計算機實驗還提供了學(xué)生研究探究性問題的平臺，讓中考難點動態(tài)幾何問題成為了探索活動靈感的源泉。在精心構(gòu)思的實驗中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得愉快而妙趣橫生，帶動了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍熱情。

參考文獻

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〔責(zé)任編輯：王以富〕