摘 要： 針對(duì)系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障和/或傳感器故障的情況，作者研究了含有狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)的故障診斷方法和故障的可診斷性問(wèn)題，提出了一種新穎的基于降維觀測(cè)器的故障診斷方法，并給出了故障可診斷性的判據(jù)。首先通過(guò)引入一種特殊的線性變換，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)。然后將故障診斷問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)觀測(cè)問(wèn)題，并證明了故障可診斷性的充分條件。最后通過(guò)構(gòu)造一種新的不利用殘差體現(xiàn)故障的故障診斷器，實(shí)現(xiàn)了故障的實(shí)時(shí)診斷。仿真實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。
　　關(guān)鍵詞： 時(shí)滯系統(tǒng) 故障診斷 狀態(tài)觀測(cè)器 無(wú)時(shí)滯變換
　　1.引言
　　在現(xiàn)代實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，由于受信息傳輸技術(shù)和測(cè)量技術(shù)的影響，時(shí)滯現(xiàn)象普遍存在。時(shí)滯通常會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定、性能惡化，甚至可能造成整個(gè)系統(tǒng)的癱瘓。因此，對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)的研究已引起人們的廣泛關(guān)注。同時(shí)，隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，工程設(shè)備變得越來(lái)越復(fù)雜，這樣使得故障診斷問(wèn)題的研究顯得尤為重要。所以，研究時(shí)滯系統(tǒng)的故障診斷問(wèn)題，提高系統(tǒng)的可靠性及穩(wěn)定性，具有十分重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。近些年來(lái)，有關(guān)時(shí)滯系統(tǒng)的故障診斷問(wèn)題的研究已成為控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，并取得了一定的成果［１－８］，但相對(duì)于無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)［９－１0］來(lái)說(shuō)還是較少。文獻(xiàn)［3］針對(duì)狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種故障檢測(cè)的未知輸入觀測(cè)器，依據(jù)Razumikhin定理，給出了該觀測(cè)器的存在條件及穩(wěn)定性和收斂性的證明；文獻(xiàn)［7］針對(duì)狀態(tài)時(shí)滯線性系統(tǒng)提出了一種基于觀測(cè)器的故障診斷器以及自修復(fù)容錯(cuò)控制律的設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)［8］研究了同時(shí)含有狀態(tài)時(shí)滯和測(cè)量時(shí)滯的線性時(shí)滯系統(tǒng)的故障診斷器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。以上文獻(xiàn)大都利用殘差診斷時(shí)滯系統(tǒng)的故障，殘差的存在會(huì)導(dǎo)致由于閾值選擇不當(dāng)而產(chǎn)生的漏報(bào)和誤報(bào)的情況。為了避免此類不利情況的發(fā)生，本文綜合考慮了系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障和/或傳感器故障的情況，針對(duì)含有狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)，研究了其基于觀測(cè)器而不利用殘差體現(xiàn)故障的故障診斷方法及其基于觀測(cè)器的故障診斷方法的故障可診斷性問(wèn)題，從而避免了故障誤報(bào)和漏報(bào)情況的發(fā)生，同時(shí)具有響應(yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)。
　　2.系統(tǒng)描述和無(wú)時(shí)滯轉(zhuǎn)換
　　2.1系統(tǒng)描述
　　考慮如下帶有故障的線性時(shí)滯控制系統(tǒng)：
　?。╰）=Ax（t）+Ax（t-d）+Bu（t）+Df（t），t＞0，
　　x（t）=x（t），t∈［-d，0］，（1）
　　y（t）=Cx（t）+Df（t）.
　　其中，x（t）∈R，u（t）∈R，y（t）∈R分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，控制輸入向量和輸出向量；f（t）∈R為故障信號(hào)向量且可以是不可測(cè)量的。A，A，B，C，D和D是具有適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣。d＞0為狀態(tài)滯后時(shí)間常數(shù)。
　　假定故障f（t）的動(dòng)態(tài)特性是已知的且可由下列外系統(tǒng)來(lái)描述：
　　（t）=Gφ（t），t≥t=min{t，t}，
　　φ（t）=φ，（2）
　　φ（t）=0，t∈［0，t），
　　f（t）=Fφ（t）.
　　其中，
　　φ（t）=φ（t）φ（t），f（t）=f（t）f（t），
　　G=G 0　0 G，F(xiàn)=F 0　0 F.
　　φ∈R（m≤r）為外系統(tǒng)（2）的狀態(tài)向量，故障的初始時(shí)刻t和初始狀態(tài)φ是未知的。G∈R和F∈R為常量矩陣。φ∈R和f∈R分別代表執(zhí)行器故障狀態(tài)向量和執(zhí)行器故障向量，執(zhí)行器故障的初始時(shí)刻為t；φ∈R和f∈R分別代表傳感器故障狀態(tài)向量和傳感器故障向量，傳感器故障的初始時(shí)刻為t。當(dāng)t＜t時(shí)有φ（t）=0，當(dāng)t＜t時(shí)有φ（t）=0。G，G，F(xiàn)和F是適當(dāng)維數(shù)的常量矩陣。
　　注1：外系統(tǒng)（2）是階躍故障、周期故障、衰減故障、發(fā)散故障等常見的連續(xù)變化故障的通用表達(dá)式。
　　2.2無(wú)時(shí)滯轉(zhuǎn)換
　　時(shí)滯項(xiàng)的存在使系統(tǒng)的故障診斷和容錯(cuò)控制律的設(shè)計(jì)變得較為困難，為此，我們引入線性變換把時(shí)滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)?？紤]依賴于矩陣A的線性變換:
　　z（t）=x（t）+?蘩eAx（θ）dθ（3）
　　A∈R是一個(gè)待定義矩陣，對(duì)（3）式微分并結(jié)合（1）可得
　?。╰）=Az（t）+Bu（t）-（A-A-eA）x（t）+Df（t）.（4）
　　令
　　A=A+eA，（5）
　　則（4）式變?yōu)?br/>　?。╰）=Az（t）+Bu（t）+Df（t）.（6）
　　故可將時(shí)滯系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為如下無(wú)時(shí)滯等價(jià)系統(tǒng)：
　　（t）=Az（t）+Bu（t）+Df（t），t＞0，
　　z（0）=z，（7）
　　η（t）=Cz（t）+Df（t）.
　　其中z（t）∈R為轉(zhuǎn)化后無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)變量。
　　假設(shè)1（C，A）能觀測(cè)，且式（5）有解。
　　系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（7）的變量關(guān)系為：
　　x（t）=z（t）-?蘩eAx（θ）dθ，y（t）=η（t）-C?蘩eAx（θ）dθ.（8）
　　3.故障的可診斷性
　　為了能利用成熟的觀測(cè)器理論進(jìn)行故障診斷，我們把原系統(tǒng)和故障構(gòu)成一個(gè)不顯含故障的增廣系統(tǒng)。令
　　ψ（t）=z（t）φ（t），
　　結(jié)合（2）和（7），則有
　　（t）=Aψ（t）+Bu（t），η（t）=Cψ（t）.（9）
　　其中
　　A=A DF0 G，B=B0，C=［C DF］.（10）
　　如果能觀測(cè)出故障的狀態(tài)，也就診斷出了故障，故對(duì)故障的診斷就轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)中故障狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)。
　　至此，我們已將含狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)的故障診斷問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)時(shí)滯系統(tǒng)（9）的可觀測(cè)性問(wèn)題，只要觀測(cè)出系統(tǒng)（9）的狀態(tài)即可診斷出系統(tǒng)中的故障。
　　記S（*）為*的特征值集合，λ∈S（A）為A的任意的特征值；λ∈S（A）為A的任意的特征值；λ∈S（G）為G的任意的特征值。
　　定理1：（C，A）完全能觀測(cè)，即故障可診斷的充分條件是：（（C（λI-A）DF+DF），G）、（DF，G）和（C，A）都是完全能觀測(cè)的。其中D=［D D］，λ∈（S（G）-S（A）∩S（G））為S（G）-S（A）∩S（G）的任意特征值。
　　證明:由于
　　|λI-A|=λI-A -DF 0 　 λI-G=|λI-A||λI-G|=0
　　故有
　　λ=λ∈S（A）或者λ=λ∈S（G），
　　S（A）=S（A）∪S（G）
　　令
　　v=vv，v∈R，v∈R，（11）
　　并令
　　Av=λv，Cv=0，（12）
　　將（10）和（11）代入（12）式，得
　　Av+DFv=λv，（13）
　　Gv=λv，（14）
　　Cv+DFv=0.（15）
　　下面我們根據(jù)特征值的不同，分三種情況討論。
　?。á瘢│?λ∈（S（A）-S（A）∩S（G）），即λ=λ≠λ時(shí)，
　　因?yàn)棣?λ≠λ，所以（14）式成立時(shí)必有
　　v=0.（16）
　　將（16）代入（13）和（15）式得
　　Av=λv，Cv=0.（17）
　　若（C，A）是能觀的，由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知（17）成立時(shí)必有
　　v=0.
　　即（12）式成立時(shí)必有
　　v=0.
　　由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知，（C，A）是能觀的。即當(dāng)λ=λ≠λ時(shí)，若（C，A）是完全能觀測(cè)的，則（C，A）是完全能觀測(cè)的。
　?。á颍│?λ∈（S（G）-S（A）∩S（G）），即λ=λ≠λ時(shí)，
　　因?yàn)棣?λ≠λ，故有rank［λI-A］=n，則由（13）式得
　　v=（λI-A）DFv. （18）
　　將（18）代入（15）式得
　?。–（λI-A）DF+DF）v=0.（19）
　　（19）結(jié)合（14）式有
　　Gv=λv（C（λI-A）DF+DF）v=0（20）
　　若（（C（λI-A）DF+DF），G）是能觀的，由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知（20）成立時(shí)必有
　　v=0.（21）
　　將（21）式代入（13）和（15）式得
　　Av=λvCv=0（22）
　　因?yàn)閞ank［λI-A］=n，則（22）成立時(shí)必有
　　v=0
　　即（12）式成立時(shí)必有
　　v=0
　　由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知（C，A）是能觀的。即當(dāng)λ=λ≠λ時(shí)，若（（C（λI-A）DF+DF），G）是完全能觀測(cè)的，則（C，A）是完全能觀測(cè)的。
　?。á螅│恕剩⊿（A）∩S（G）），即λ=λ=λ時(shí)，
　　若（C，A）是能觀的，又有λ=λ，由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知必有v=0使
　　Av=λvCv=0
　　同時(shí)成立。
　　將v=0代入（13）和（15）式，并結(jié)合（14）式得
　　DFv=0Gv=λvDFv=0（23）
　　令
　　D=DD
　　則（23）式變?yōu)?br/>　　Gv=λvDFv=0（24）
　　由于λ=λ，若（DF，G）是能觀的，由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知（24）成立時(shí)必有
　　v=0
　　即（12）式成立時(shí)必有
　　v=0
　　由能觀性的PBH特征向量判據(jù)知（C，A）是能觀測(cè)的。即當(dāng)λ=λ=λ時(shí)，若（C，A）和（DF，G）都是完全能觀測(cè)的，則（C，A）是完全能觀測(cè)的。
　　證畢。
　　注2：當(dāng)A和G沒(méi)有相同的特征值時(shí)，（C，A）完全能觀的充分條件就簡(jiǎn)化為：（C，A）和（（C（λI-A）DF+DF），G），λ∈S（G）都是完全能觀測(cè)的。
　　4.故障診斷
　　構(gòu)造一個(gè)非奇異矩陣
　　T=TC∈R，
　　并令
　　T=［H H］，H=HH，H=HH，
　　其中，H∈R，H∈R；H，H，H和H都是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，則關(guān)于由（1）和（2）描述的線性時(shí)滯系統(tǒng)的故障診斷器的設(shè)計(jì)，我們給出如下定理：
　　定理2：考慮由（1）和（2）描述的線性時(shí)滯系統(tǒng)，在滿足定理2的條件下，其故障診斷器可由下式描述：
　?。╰）=（T-LC）［AHx（t）+Bu（t）+A（H×L+H）y（t）+A（HL+H）CM（t）］，
　?。╰）=Hx（t）+（HL+H）y（t）+（HL+H）CM（t），（25）
　?。╰）=［I┆0］（t），
　?。╰）=［0┆I］（t）.
　　其中：M（t）=?蘩eA（θ）dθ，0和I為適當(dāng)維數(shù)的零陣和單位陣。（t）為診斷出的故障狀態(tài)，（t）為診斷出的執(zhí)行器故障，（t）為診斷出的傳感器故障，L為觀測(cè)器的反饋增益矩陣。
　　證明：令
　　（t）=Tψ（t）=ω（t）η（t），（26）
　　由（8）式求出η（t）代入（26）式，得
　　（t）= 　　 ω（t）y（t）+C?蘩eAx（θ）dθ.（27）
　　令
　　Q（t）=?蘩eAx（θ）dθ，（28）
　　則
　　ψ（t）=Hω（t）+H（y（t）-CQ（t））.
　　結(jié)合（9）式、（26）式和（27）式，則有
　?。╰）=TC（Aψ（t）+Bu（t））
　　= 　　　　　　　　　　　　 （t）（t）+CAQ（t）+CeAx（t）-CAx（t-d），
　　即
　?。╰）=TAHω（t）+TBu（t）+TAH（y（t）+CQ（t）），
　?。╰）=CAHω（t）+CBu（t）+CAH（y（t）+CQ（t））
　　-CAQ（t）-CeAx（t）+CAx（t-d）.（29）
　　由于（C，A）是完全可觀測(cè)的，則可證明（CAH，TAH）是完全可觀測(cè)的。故可構(gòu)造Luenberger觀測(cè)器如下：
　?。╰）=（T-LC）［AH（t）+AH（y（t）+CQ（t））+Bu（t）］+L［（t）+CAQ（t）+CeAx（t）-CAx（t-d）］.
　　其中：是狀態(tài)ω的估計(jì)值．
　　為了消除微分項(xiàng)（t），引入變量代換
　　x（t）=（t）-L（y（t）+CQ（t）），（30）
　　則有
　?。╰）=（T-LC）［AH（t）+Bu（t）+AH（y（t）+CQ（t））］，（31）
　?。╰）=Hx（t）+（HL+H）（y（t）+CQ（t））.
　　將H=［H H］，H=［H H］代入（31）式，并結(jié)合（8）式則有
　?。╰）=（T-LC）［AH（t）+Bu（t）+AH（y（t）+CQ（t））］，（32）
　?。╰）=Hx（t）+（HL+H）（y（t）+CQ（t）），
　?。╰）=Hx（t）+（HL+H）（y（t）+CQ（t））.
　　由（30）式求出（t）代入（32）式，結(jié)合（28）式，并令M（t）=?蘩eA（θ）dθ，則得（25）式。
　　注3：上述診斷器的優(yōu)點(diǎn)是響應(yīng)速度快，如果響應(yīng)速度要求不是太高，則可以構(gòu)造下列簡(jiǎn)單的基于全維觀測(cè)器的故障診斷器，因此關(guān)于故障的可診斷性的討論具有普遍性。
　?。╰）=（A-LC）（t）+Ly（t）+u（t），
　　（t）=［I┆0］（t），
　?。╰）=［0┆I］（t）.
　　5.仿真例子
　　考慮由（1）式描述的系統(tǒng)，其中
　　A= 0 1-1 -2，A= -1 1-0.6 0.5，B=１１
　　C=［１ 0］，D=2 02 0，D=［0 1］
　　x（0）=［0.3 0.1］，d=0.3
　　考慮（2）由描述的故障，其中
　　G= 0 1 0 0-1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -9 0，F(xiàn)=1 0 0 00 0 0 1
　　φ（0）=［1 0 0 1］
　　其中傳感器故障發(fā)生在t=20s，執(zhí)行器故障發(fā)生在t=30s，所以t=20s。
　　取故障診斷器的極點(diǎn)為-3、-3±j1、-1±j1。依照Ackermann公式，可得到故障診斷器的反饋增益矩陣L如下
　　L=［4.6452 -0.6767 1.8587 -0.0861 -1.1237］
　　采用式（33）所設(shè)計(jì)的故障診斷器，用MATLAB進(jìn)行仿真。圖1為系統(tǒng)的實(shí)際輸出，圖2為故障診斷器輸出的執(zhí)行器故障的診斷值和真實(shí)值的對(duì)比曲線圖，圖3為故障診斷器輸出的傳感器故障的診斷值和真實(shí)值的對(duì)比曲線圖。
　　由圖1可看出，在t=20s和t=30s時(shí)，系統(tǒng)中分別有故障發(fā)生。由圖2和圖3可看出，該故障診斷器診斷出的執(zhí)行器故障值和傳感器故障值均漸近趨近于它們各自的真實(shí)值，說(shuō)明本文所提出的故障診斷方法及故障可診斷性判據(jù)是有效的和可靠的。
　　6.結(jié)語(yǔ)
　　本文針對(duì)含狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)，研究了其故障診斷方法，給出并證明了基于觀測(cè)器的故障可診斷性的充分條件，進(jìn)而設(shè)計(jì)了無(wú)需殘差體現(xiàn)故障即可實(shí)時(shí)診斷故障的故障診斷器。仿真結(jié)果證實(shí)了本文提出的故障診斷方法及故障可診斷性判據(jù)的可行性和有效性。
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］Koenig D，Bedjaoui N，Litrico X.Unknown Input Observers Design for Time-Delay Systems Application to an Open-Channel［A］.Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control，and the European Control Conference［C］.Piscataway，United States:Institute of Electrical and Electronics Engineers Computer Society，2005: 5794-5799.
　　［2］Yang H L，Saif M.Observer Design and Fault Diagnosis for State-Retarded Dynamical Systems［J］.Automatica，1998，34（2）:217-227.
　　［3］馬傳峰，鐘麥英，何寧.線性時(shí)滯系統(tǒng)故障檢測(cè)濾波器設(shè)計(jì)H∞優(yōu)化方法［J］.控制與決策，2006，21（5）:550-554.
　?。?］Mao Z H，Jiang B.Fault Estimation and Accommodation for Networked Control Systems with Transfer Delay［J］.Acta Automatica Sinica，2007，33（7）:738-743.
　　［5］Tang G. Y，Li J. Optimal fault diagnosis for systems with delayed measurements［J］.IET Control Theory and Applications，2008，2（11）:990-998.
　?。?］Lv X，Li J.Fault Diagnosis and Self-Restore Fault-Tolerant Control for Systems with State Delays［A］.Proceedings of the 21st Chinese Control and Decision Conference ［C］.Guilin，China，2009:914-918.
　?。?］李娟，呂新麗.含兩類時(shí)滯的線性系統(tǒng)的故障診斷及故障可診斷性［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2009，20（1）:151-155.
　?。?］Wu L，Yao X，Zheng W X. Generalized H2 fault detection for two-dimensional Markovian jump systems［J］.Automatica， 2012，48（8）:1741-1750.
　?。?］Zhu Y，Jin X，Du Z. Fault diagnosis for senors in air handling unit based on neural network pre-processed by wavelet and fractal［J］.Energy and Building，2012，44:7-16.
　　［10］Paoli A，Sartini M，Lafortune S.Active fault tolerant control of discrete event systems using online diagnostics［J］.Automatica，2011，47（4）:639-64