關(guān)鍵詞： 滬深300指數(shù)；股指期貨；收益率；相關(guān)關(guān)系；Copula函數(shù)

摘 要： 滬深300股指期貨推出后，其與滬深300指數(shù)的關(guān)系就引起投資者和研究者的關(guān)注。以滬深300指數(shù)和滬深300股指期貨的日收益率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，運(yùn)用Copula函數(shù)建立CopulaGARCH(1，1)GED模型對(duì)兩者進(jìn)行相關(guān)性分析，結(jié)果表明：滬深300指數(shù)與股指期貨收益率序列之間相關(guān)程度非常高，而通過(guò)比較秩相關(guān)系數(shù)的擬合情況，二元正態(tài)Copula函數(shù)更接近實(shí)際情況；在平方歐式距離的標(biāo)準(zhǔn)下，二元tCopula模型能夠更好地描述滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)；兩序列的尾部相關(guān)程度非常高，表明當(dāng)股票市場(chǎng)大幅度波動(dòng)時(shí)，滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨的相關(guān)程度顯著提高。

中圖分類號(hào)： F830.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1009－4474(2012)05－0014－06

一、 前言 2010年4月16日，我國(guó)正式推出以滬深300指數(shù)為標(biāo)的的滬深300股指期貨，這標(biāo)志著我國(guó)在金融創(chuàng)新方面又邁出了堅(jiān)實(shí)的一步，給證券市場(chǎng)帶來(lái)了新的活力。而股指期貨與滬深300指數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，很快就成為投資者和研究者關(guān)注的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。相關(guān)性分析是多變量分析中的一個(gè)重要課題。根據(jù)相關(guān)理論，多個(gè)金融序列之間的相關(guān)關(guān)系是多變且非常復(fù)雜的，高維情況下的相關(guān)性分析更是如此。因而，對(duì)于多個(gè)變量之間的相關(guān)研究很難做出全面的分析，早期的多變量相關(guān)關(guān)系的研究就都存在著一定的局限性且都不完整〔1〕。而Copula函數(shù)的提出，為多變量相關(guān)關(guān)系研究提供了一種新的、更加穩(wěn)健的、靈活的分析方法，因?yàn)镃opula函數(shù)能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量各自單獨(dú)的邊緣分布函數(shù)與它們共同的聯(lián)合分布函數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。

國(guó)內(nèi)已有一些學(xué)者運(yùn)用Copula函數(shù)進(jìn)行多變量的相關(guān)性研究。如史道濟(jì)、姚慶祝運(yùn)用Copula函數(shù)對(duì)變量之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)系數(shù)這三個(gè)主要相關(guān)關(guān)系指標(biāo)進(jìn)行了推導(dǎo)〔2〕。韋艷華、張世英在對(duì)上海股票市場(chǎng)中各個(gè)板塊指數(shù)的收益率序列的不同邊緣分布模型比較的基礎(chǔ)上，建立了CopulaGARCHt模型，并對(duì)不同板塊之間的條件相關(guān)關(guān)系進(jìn)行實(shí)證研究，實(shí)證結(jié)果表明，不同板塊指數(shù)的收益率序列應(yīng)建立不同的邊緣分布模型，且結(jié)合Copula函數(shù)，各板塊之間有較強(qiáng)的正向相關(guān)關(guān)系〔3～4〕。李秀敏、史道濟(jì)構(gòu)造CopulaGARCHGPD模型研究了深圳、上海兩股票市場(chǎng)的相關(guān)模式，實(shí)證結(jié)果顯示ClaytonGARCHGPD模型能夠更好反映兩市場(chǎng)的相關(guān)模式，在較高置信水平下，Copula模型得到的結(jié)果更為安全〔5〕。魏平、劉海生在AR(4)GARCH(1，1)T邊緣分布模型的基礎(chǔ)上結(jié)合Copula函數(shù)，發(fā)現(xiàn)tCopula能夠更好地刻畫滬深股市的相關(guān)性〔6〕。劉瓊芳、張宗益、運(yùn)用地產(chǎn)與金融行業(yè)的股票收益率數(shù)據(jù)，引入Copula方法定量研究了兩個(gè)行業(yè)股票之間的相關(guān)關(guān)系〔7〕。

以上研究文獻(xiàn)說(shuō)明，Copula函數(shù)能較好地用于描述多個(gè)金融序列之間的相關(guān)關(guān)系。鑒于國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有文獻(xiàn)對(duì)股指期貨與現(xiàn)貨指數(shù)收益率序列之間的相關(guān)關(guān)系及相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，本文即運(yùn)用Copula函數(shù)構(gòu)建CopulaGARCHGED模型來(lái)研究?jī)烧叩南嚓P(guān)關(guān)系。

二、基于Copula理論的相關(guān)系數(shù) 對(duì)兩個(gè)變量之間的相關(guān)性進(jìn)行研究時(shí)，最廣泛使用的方法就是檢驗(yàn)變量之間的變化趨勢(shì)是否相同。如果隨機(jī)變量（X，Y）有兩個(gè)觀測(cè)值（x1，y1）和（x2，y2），如兩個(gè)觀測(cè)值變化的方向是一致的，則(x1-x2)(y1-y2)>0；若觀測(cè)值是不一致的，則(x1-x2)(y1-y2)<0。

西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版） 第13卷第5期

萬(wàn)云波 股指期貨與現(xiàn)貨指數(shù)收益率序列相關(guān)性研究1.Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ

Hollander and Wolfe給出了Kendall秩相關(guān)系數(shù)的定義，文獻(xiàn)〔8〕令隨機(jī)變量（x1，y1），（x2，y2）為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，則

τ=P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-P［（x1-x2）（y1-y2）<0］，

τ是Kendalls τ系數(shù)?？梢宰C明，

τ=2P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-1。

引入Copula函數(shù)，假設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)的表達(dá)式分別為F(x)、G（y），相對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)表示為C(U，V)，其中u=F(x)，v=G(y)，u，v∈［0，1］，則Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ可以由Copula函數(shù)表示為，

τ=41010C(u，v)dC(u，v)-1。

2.Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ

另一類基于一致性的變量相關(guān)性測(cè)度的指標(biāo)為Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs，Lehmann在文獻(xiàn)〔10〕中定義了Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs〔9〕。令（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，則

ρ=3{P［（x1-x2）（y1-y3）>0］-P［（x1-x2）（y1-y3）<0］}。

引入Copula函數(shù)，假設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)的表達(dá)式分別為F(x)、G（y），相對(duì)應(yīng)它們的Copula函數(shù)表示為C(U，V)，其中u=F(x)，v=G(y)，u，v∈［0，1］，則Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs可以由Copula函數(shù)C(u，v)給出，

ρ=121010uvdC(u，v)-3=121010C(u，v)duv-3。

3.尾部相關(guān)系數(shù)τ

對(duì)金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分析，投資者更關(guān)心的是金融資產(chǎn)的尾部相關(guān)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)取值較大或者取值較小時(shí)，它對(duì)另一個(gè)金融資產(chǎn)的價(jià)格的影響如何。尾部相關(guān)關(guān)系包括上尾的相關(guān)關(guān)系和下尾的相關(guān)關(guān)系，當(dāng)連續(xù)隨機(jī)向量（X，Y）的邊緣分布分別為F(x)和G(y)，則

λ上尾=limu→1-P［Y>G-1(u)|X>F-1(u)］，

λ下尾=limu→0+P［Y 同理，得到相對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)表達(dá)式為，

λ上尾=limu*→1P［Y>G-1(u*)|X>F-1(u*)］=

limu*→1C＾(1-u*，1-u*)1-u*，

λ下尾=limu*→0P［Y limu*→0C＾(u*，u*)u*。 三、實(shí)證分析 （一）數(shù)據(jù)選擇及描述性統(tǒng)計(jì)

本文實(shí)證數(shù)據(jù)選取滬深300指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)和以滬深300指數(shù)為標(biāo)的的滬深300股指期貨當(dāng)月連續(xù)日收盤數(shù)據(jù)（以下簡(jiǎn)稱股指期貨）為研究對(duì)象，研究期間為2010年4月16日至2011年10月21日，共計(jì)368個(gè)交易日。

用Pt表示第t日的收盤價(jià)，用γt=100×(InPt-InPt-1)表示第t日的對(duì)數(shù)收益率。因?yàn)楣芍钙谪洰?dāng)月數(shù)據(jù)在最后3個(gè)交易日交易量急劇萎縮，而下個(gè)月的期貨交易量則迅速放大，當(dāng)月期貨數(shù)據(jù)不再具有代表性，為了保證股指期貨數(shù)據(jù)的連續(xù)性，股指期貨當(dāng)月最后3個(gè)交易日的數(shù)據(jù)用下月連續(xù)的數(shù)據(jù)代替（描述性分析結(jié)果如圖1和表1所示）。

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，股指期貨和現(xiàn)貨指數(shù)的日收益率主要分布在-2%～2%的區(qū)間內(nèi)，而且具有厚尾的特征。

由表1可知，滬深300指數(shù)與股指期貨的收益率均值都比較??；標(biāo)準(zhǔn)差比較大，峰度都大于4，表明滬深300指數(shù)與股指期貨都具有“尖峰厚尾”特征；通過(guò)JB統(tǒng)計(jì)量假設(shè)檢驗(yàn)，兩市的股票收益率均不服從正態(tài)分布；對(duì)收益率序列做平穩(wěn)性ADF檢驗(yàn)，滬深300指數(shù)與股指期貨的收益率序列的ADF統(tǒng)計(jì)量分別為-1811和-1887，表明都是平穩(wěn)時(shí)間序列。

（二）邊緣分布模型及Copula模型構(gòu)建

根據(jù)兩序列的以上統(tǒng)計(jì)特征，作者選擇能夠很好描述金融時(shí)間序列偏斜、波動(dòng)集群、尖峰、厚尾特性的GARCH簇模型來(lái)描述兩序列的邊緣分布模型，分別運(yùn)用GARCH、GARCHt、GARCHGED擬合樣本數(shù)據(jù)；而根據(jù)樣本的顯著性、AIC、SC準(zhǔn)則以及對(duì)數(shù)似然值進(jìn)行模型比較，發(fā)現(xiàn)GARCH(1，1)GED能夠更好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)。因此，本文對(duì)滬深300指數(shù)及股指期貨建立GARCH(1，1)GED模型，其參數(shù)如表2所示。

*表示5%水平下顯著，**表示在10%水平顯著，括號(hào)內(nèi)為均值。

KS統(tǒng)計(jì)量及其概率值是根據(jù)估計(jì)得到的條件邊緣分布，對(duì)原序列做概率積分變換，再運(yùn)用KS檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)變換后的序列是否服從（0，1）均勻分布。表2中的KS統(tǒng)計(jì)量表明變換后的序列服從（0，1）均勻分布，因此可以建立CopulaGARCH（1，1）GED模型，模型的表達(dá)式為，

st=μst+εst f1=μft+εft

εst=h1/2stζst εft=h1/2ftζst

hst=ωs+αsε2s，t-1+βshs，t-1 hft=ωf+αfε2f，t-1+βfhf，t-1

(ζst，ζft)～Cζt［Φ(ζst)，Φ(ζft)］。

其中Cζt(·，·)，為任意的二元Copula函數(shù)，Φ（·）為（0，1）均勻分布。

（三）Copula模型及參數(shù)估計(jì)

1.橢圓Copula函數(shù)

橢圓Copula函數(shù)來(lái)源于橢圓分布函數(shù)，因此它秉承了橢圓分布函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)，是研究金融資產(chǎn)相依結(jié)構(gòu)的基本模型，其中正態(tài)Copula函數(shù)和tCopula函數(shù)是橢圓Copula函數(shù)的典型代表。

在GARCH(1，1)邊緣分布模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步求得二元正態(tài)Copula函數(shù)中的線性相關(guān)參數(shù)ρ＾的估計(jì)值為ρ＾norm=095，得到二元正態(tài)Copula分布函數(shù)的表達(dá)式為，

C＾Ga=φ-1(u＾)-∞φ-1(v＾)-∞12π1-0.952×

exp［-s2-2×095st+t22×(1-0952)］dsdf。

基于二元正態(tài)Copula函數(shù)得到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τnorm=07979，Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρnorm=09454。根據(jù)計(jì)算得到的二元正態(tài)Copula函數(shù)線性相關(guān)系數(shù)ρ＾norm和二元tCopula中的線性相關(guān)參數(shù)ρ＾t以及自由度k＾，可以畫出滬深300指數(shù)與股指期貨之間二元正態(tài)和二元tCopula的概率密度函數(shù)圖（見(jiàn)圖2）。

二元tCopula中的線性相關(guān)參數(shù)ρ＾和自由度k的估計(jì)值分別為：ρ＾t=09531，k＾=59，得到二元tCopula分布函數(shù)的表達(dá)式為，

C＾t=59-1(u＾)-∞59-1(v＾)-∞12π1-016012×

exp［1+s2-2×09531st+t221×(1-095312)］-(59+2)/2dsdf。

基于二元tCopula函數(shù)得到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τt=08043，Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρt=09487。

根據(jù)滬深300指數(shù)及股指期貨的日收益觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)分別τe=07769、ρe=09244，將Kendall、Spearman秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，基于二元正態(tài)Copula函數(shù)和二元tCopula函數(shù)得到的Kendall、Spearman秩相關(guān)系數(shù)明顯優(yōu)于基于原始數(shù)據(jù)得到的Kendall、Spearman秩相關(guān)系數(shù)，其中二元正態(tài)Copula函數(shù)計(jì)算出的秩相關(guān)系數(shù)更接近實(shí)際情況，說(shuō)明二元正態(tài)Copula函數(shù)更好地反映了滬深300指數(shù)與股指期貨日收益之間的秩相關(guān)關(guān)系。

通過(guò)經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)，可以得到二元正態(tài)Copula函數(shù)C＾Ga(u，v)和二元tCopula函數(shù)C＾t(u，v)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)C＾n(u，v)的平方歐式距離(歐氏距離Euclidean distance也稱歐幾里德距離，它是一個(gè)通常采用的距離定義，是在m維空間中兩個(gè)點(diǎn)之間的真實(shí)距離)，

d2Gd=∑n1C＾n(ui，vi)-C＾Ga(ui，vi)2=00171，

d2t=∑n1C＾n(ui，vi)-C＾t(ui，vi)2=00166。

在平方歐式距離的標(biāo)準(zhǔn)下，可以認(rèn)為二元tCopula函數(shù)能夠更好地?cái)M合滬深300指數(shù)和股指期貨日收益的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

圖2 二元正態(tài)和二元tCopula概率密度函數(shù)分布從圖2來(lái)看，相比二元正態(tài)Copula函數(shù)，二元tCopula函數(shù)具有更厚的尾部，因此在尾部相關(guān)關(guān)系的刻畫上要強(qiáng)于二元正態(tài)Copula函數(shù)，由二元tCopula函數(shù)計(jì)算得到的尾部相關(guān)系數(shù)為，

λ上尾=λ下尾=2-2tk+1k+11-ρt1+ρt=0633。

其中，k和ρt分別為二元tCopula函數(shù)的自由度和線性相關(guān)參數(shù)。

2.阿基米德Copula

Clayton、Gumble和Frank Copula函數(shù)是三類常用的二元阿基米德Copula函數(shù)，下文運(yùn)用這三個(gè)函數(shù)分析滬深300指數(shù)與股指期貨之間的關(guān)系，參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3所示。

概率密度函數(shù)分布從參數(shù)估計(jì)結(jié)果以及概率密度函數(shù)圖可以發(fā)現(xiàn)，Claton、Gumbel Copula函數(shù)具有非對(duì)稱性，能夠分別描述序列間上尾和下尾的相關(guān)關(guān)系，而且尾部比較陡峭且敏感性較強(qiáng)；計(jì)算結(jié)果顯示Claton Copula上尾相關(guān)系數(shù)0882，Gumbel Copula下尾相關(guān)系數(shù)為0841，對(duì)單一尾部相關(guān)關(guān)系的刻畫要強(qiáng)于tCopula函數(shù)的計(jì)算結(jié)果0633；滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨的尾部相關(guān)程度從圖3中看來(lái)都很陡峭且估計(jì)值也比較大，說(shuō)明當(dāng)股票市場(chǎng)大幅度波動(dòng)時(shí)，兩者間的相關(guān)程度顯著提高。

四、結(jié)論 本文運(yùn)用Copula函數(shù)建立CopulaGARCH(1，1)GED模型研究了滬深300指數(shù)日收益率序列與滬深300股指期貨日收益率序列之間的相關(guān)關(guān)系。

通過(guò)原始數(shù)據(jù)可以計(jì)算出滬深300指數(shù)與股指期貨日收益序列之間的線性相關(guān)系數(shù)為：rp=09451，這說(shuō)明滬深300指數(shù)與股指期貨的日收益率序列的相關(guān)程度非常高；從秩相關(guān)系數(shù)角度，二元正態(tài)Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τnorm=07979，Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρnorm=09454，相比二元tCopula函數(shù)，二元正態(tài)Copula函數(shù)計(jì)算出的秩相關(guān)系數(shù)更接近實(shí)際情況，說(shuō)明了二元正態(tài)Copula函數(shù)更好地反映了滬深300指數(shù)與股指期貨日收益之間的秩相關(guān)關(guān)系，且兩收益率序列之間的變化趨勢(shì)是基本一致的。

從尾部相關(guān)的角度，由二元tCopula函數(shù)計(jì)算得到的尾部相關(guān)系數(shù)為：λ上尾=λ下尾=0633；Claton Copula和Gumbel Copula函數(shù)具有非對(duì)稱性，分別能夠描述序列間上尾和下尾的相關(guān)關(guān)系，計(jì)算結(jié)果Claton Copula上尾相關(guān)系數(shù)為0882，Gumbel Copula下尾相關(guān)系數(shù)為0841，對(duì)單一尾部相關(guān)關(guān)系的刻畫要強(qiáng)于二元tCopula函數(shù)的計(jì)算結(jié)果0633；而當(dāng)股票市場(chǎng)大幅度波動(dòng)時(shí)，滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨的相關(guān)程度會(huì)顯著提高。

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（責(zé)任編輯：葉光雄）