楊玉明

（撫順市技師學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，遼寧 撫順 113123）

前言

在數(shù)學(xué)教學(xué)中三角函數(shù)是學(xué)習(xí)章程中獨立的一章，也是在歷年的考試中重要的考點之一，要想把三角函數(shù)學(xué)好，首先必須要對之前所學(xué)的三角公式靈活運(yùn)用，能快速的看出需要變形的恒等。三角函數(shù)的最值運(yùn)算是結(jié)合了許多數(shù)學(xué)知識和運(yùn)算方法，所以在解題的過程中很可能會因為變形錯誤、問題理解錯誤等諸多問題而最后影響了運(yùn)算結(jié)果。所以在學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值的時候，同學(xué)們應(yīng)有針對性的學(xué)習(xí)，對教學(xué)的重點、難點提前預(yù)習(xí)，理解滲透三角函數(shù)的應(yīng)用公式，學(xué)習(xí)的時候注意聽老師的思維方法和解題步驟，這樣會對學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值有很大的幫助。

在求最值的問題的時候首先要了解求什么類型的最值，其中三角函數(shù)的的最值是利用三角函數(shù)性質(zhì)來解決，如果是求一般的最值問題，現(xiàn)在普遍運(yùn)用的方法一種是利用函數(shù)的單調(diào)性，另一種是利用導(dǎo)數(shù)，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前可以把曾經(jīng)做過的有關(guān)最值問題進(jìn)行細(xì)致總結(jié)，分析題目中所給出的幾個方向，方向的選擇是通過讀題，如果出現(xiàn)多套思路，只要靈活運(yùn)用所學(xué)到的數(shù)學(xué)方法去處理問題就行。

1 求三角函數(shù)最值的方法

求三角函數(shù)最值的方法有很多，其中最常用的有配方法、反求法、分離常數(shù)法、輔助角法、換元法、不等式法等方法，但是在學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值的時候，如果讓學(xué)生學(xué)習(xí)如此多的方法，會使他們造成公式混亂更加難以理解學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)到最后連最基本的方法都沒有掌握，出現(xiàn)“丟西瓜撿芝麻”的情況。所以在學(xué)習(xí)三角函數(shù)最值的時候，重點掌握三種方法，它們是所有方法當(dāng)中最基本也是最常用的，有配方法、反求法、輔助角法，其中反求法的應(yīng)用范圍與分離常數(shù)法是異曲同工之妙，它們都要在掌握變形的是同時又需要靈活運(yùn)用，這種方法通俗易懂、化繁為簡，但是分離常數(shù)法不能像反求法一樣作為重點學(xué)習(xí)。

在對運(yùn)算公式和方法融會貫通之后，就要運(yùn)用實例來測試自己的學(xué)習(xí)成果，但不是所有的例題都能反映出學(xué)習(xí)效果，要做有特點的例題，因為這種例題能夠很好的反映和體現(xiàn)三角函數(shù)最值的求法和變形，還能通過這種例題反映出在做題過程中應(yīng)注意的細(xì)節(jié)問題和容易出錯的地方，通過做題更深入的了解這三種運(yùn)算三角函數(shù)最值的方法。三角函數(shù)最值的學(xué)習(xí)還是要通過老師得講解和同學(xué)的實際運(yùn)算相結(jié)合，因為三角函數(shù)最值的方法是固定的，只有在老師講解完學(xué)生理解之后才能自己獨立做練習(xí)題，只有充分發(fā)揮這三種方法，并多加練習(xí)，才能提高三角函數(shù)最值的學(xué)習(xí)效率。

2 三角函數(shù)最值的解題思路

如果是屬于三角函數(shù)方向的題目，在解題思路上不應(yīng)該出現(xiàn)不容易把握的狀況，那么在三角變換這個方向上，三角題目的解題方向有的同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中把握不好，其中有很多原因，比如在答題時看到題目，套用一個公式寫上去，答完之后發(fā)現(xiàn)所用的公式不對，然后重新再換一個公式答題?？偸沁@樣的反復(fù)套用，就顯得思路混亂，對公式的掌握程度不夠，往往有的時候，第一次考慮一個公式往上一用，題目解的很順，就會認(rèn)為已經(jīng)對三角函數(shù)掌握的很好，但是當(dāng)下一次依然運(yùn)用這個公式的時候，問題沒有解開，然后又選擇第二個甚至第三個公式，依舊解不開，于是會對心里就會產(chǎn)生影響，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)三角變換中很常見的現(xiàn)象。主要原因就是因為三角函數(shù)的公式很多，變換的形式多變，這就好像走到了十字路口，然后站在中間，接下來還有許多條路，但是我們只需要選擇最短最快的一條路，而我們站在路中間看不清楚，這跟解答三角函數(shù)最值問題是相似的，所以就要求在解答三角函數(shù)最值的時候?qū)σ阎獥l件仔細(xì)研究，準(zhǔn)確分析，根據(jù)具體的題目，考慮是先從和角公式還是差角公式著手，然后在分析兩角之間存在的必然關(guān)系，函數(shù)與函數(shù)的關(guān)聯(lián)，題目分析準(zhǔn)確之后掌握好解題方向，把應(yīng)該用到的公式結(jié)合起來，按照解題步驟一步一步的解答。只有按照以上方法進(jìn)行分析三角函數(shù)最值才是合理的、準(zhǔn)確的。

2.1 給角求值

三角函數(shù)中最值問題應(yīng)熟練掌握三角函數(shù)中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式，還要具有逆向思維的頭腦，將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角例如：30°、60°、90°，寫明求值的過程，然后進(jìn)行解析，總體來講就是先將角度轉(zhuǎn)換在利用切割化弦運(yùn)算依次是化為特殊角最后是約去部分，解決這類問題的關(guān)鍵就是特殊角轉(zhuǎn)換，然后約去非特殊角。

2.2 給值求值

給值求值這種三角函數(shù)求值法的運(yùn)算過程中，經(jīng)常會遇到同角之間的運(yùn)算關(guān)系和推論方法，給值求值的關(guān)鍵就在于利用已經(jīng)給出的條件與要求得的值之間角的運(yùn)算，對于已知條件和未知條件之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換或者是變形，達(dá)到求解的目的。

3 三角函數(shù)問題中常見錯誤分析

三角函數(shù)作為數(shù)學(xué)章程中獨立的一部分，它的特點鮮明，其中需要熟悉掌握的公式比較多，需要靈活的變換公式，往往一道問題會有多個答案出現(xiàn)的情況，所以導(dǎo)致了在解題的過程中會因為思維混亂而陷入誤區(qū)，但還是因題而異。

3.1 定義域

三角函數(shù)中的恒等之間變換必須要使三角函數(shù)是有意義的，在區(qū)間內(nèi)的任意角范圍不能改變的情況下，對于切角和割角的定義域范圍就顯得尤為重要，要仔細(xì)分析研究切割角兩類函數(shù)，否則很容易造成運(yùn)算失誤，最終導(dǎo)致答案錯誤。

3.2 單調(diào)性

三角函數(shù)運(yùn)算過程中會給出一部分已知條件，利用已知條件去求某一項，這個時候很多人在答題時經(jīng)常性的忽略單調(diào)性，如果是在某一區(qū)間上的角，這樣就會使答案增加。

4 三角函數(shù)求值域的類型

在解決三角函數(shù)的時候，還有可能會遇到求值域的問題，在解決值域問題的時候，一定要熟練運(yùn)用三角之間的代換，看到題目的時候不要急于解答，要先仔細(xì)觀察，分析研究給出的已知條件，大多情況下都是利用數(shù)形結(jié)合的運(yùn)算技巧。

例如：f(x)=asinx+b，這種函數(shù)我們可以把它看作是定義中的某個函數(shù)，那么這種函數(shù)的最值就是[f(x)]max=+b；[f(x)]min=+b

4.1 雙曲線型

例如：f(x)，這樣的函數(shù)就可以把它看作是雙曲線函數(shù)在某個區(qū)間上的圖形，函數(shù)值有可能在雙曲線的一支上，也有可能函數(shù)值分別在雙曲線的兩支上。

4.2 拋物線型

例如：f(x)=asin2x+bsinx+c(a≠0)，這樣的函數(shù)可以把它看成是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在 x（-1，1）時的函數(shù)值范圍，當(dāng)這個函數(shù)值在一定區(qū)間下，達(dá)到一個最值，而另一個最值，在另一個區(qū)間，如果函數(shù)是在某個區(qū)間上單調(diào)，那么它的最值應(yīng)該是在兩端點處。

結(jié)論

綜上所述，三角函數(shù)在慣例考試中是經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)題目，通常試卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函數(shù)之間的關(guān)系，還有三角函數(shù)的恒等變形的靈活運(yùn)用程度。三角函數(shù)覆蓋了豐富的數(shù)學(xué)公式，復(fù)雜的運(yùn)算步驟，需要注意的是在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時候，必須要準(zhǔn)確的牢記三角函數(shù)所有公式，熟練的使用變換方法，根據(jù)不同的問題思維要靈活，把所學(xué)到的公式融會貫通，這樣就會順利的解決問題。

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[3]薛金星.中學(xué)數(shù)學(xué)教材全解[M].