高長玉

（淮南市第二中學，安徽 淮南232001）

探究立體幾何課程學習的有效方法

高長玉

（淮南市第二中學，安徽 淮南232001）

立體幾何是培養(yǎng)學生逐步形成空間想象能力的主要載體，在實踐的基礎上總結(jié)了立體幾何學習的九種方法。

立體幾何；學習方法

一、引言

立體幾何是培養(yǎng)學生逐步形成空間想象能力的主要載體。很多人在學習立體幾何時感到困難，主要是因為沒有掌握有效的學習方法?！肮び破涫?，必先利其器”。筆者在教學實踐基礎上提出九個方法，以供商槯。

二、學習立體幾何的有效方法

1.畫

對于一個空間幾何體，想象其空間圖形并畫出來，對學習立體幾何是非常有益的，要讓所畫（或所看到）的“立體”圖形，真正地在腦海中“立”起來。否則對于類似下面簡單的問題也會得到錯誤的答案。

如圖 1， α∩β=AB，AC?α，BD?β， 若∠1=∠2，則AC∥BD。這種讓人啼笑皆非的答案，正是缺乏空間觀念導致的。

圖1

圖2

2.拉

根據(jù)“長對正，高平齊，寬相等”，不難由幾何體畫出相應的三視圖，但往往難以由三視圖想象出相應的幾何體。如下面的問題：

某幾何體的三視圖如圖2（尺寸長度單位為m），則該幾何體的體積為＿＿m3。

事實上只要以俯視圖為突破口，抓住關鍵的點或線拉一拉，幾乎所有三視圖的問題甚至勿需畫圖即可解決。如本題中把俯視圖中A點沿著垂直于紙面方面拉一拉，拉起來的高度為2；并且俯視圖是底邊長為4，高度為3的三角形，求其體積便是一件很自然的事情。

3.記

概念、公理、定理自然要記，但一些重要的中間結(jié)論同樣也要記。只是不能死記，要在理解的基礎上去記。有時，利用這些結(jié)論可以很快地解決一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇題或填空題時。對于解答題雖然不能直接運用這些結(jié)論，但我們可以把這些結(jié)論先證出來再加以運用。如數(shù)一個幾何體有多少對異面直線，往往數(shù)一個幾何體有多少個四面體（因為四面體模型中有三對異面直線）就可以了。

4.辯

一個命題由平面過渡到空間，正確的要能證明，錯誤的要舉出反例。即便都是空間的命題，有些比較相近的內(nèi)容也容易混消，因此學習時一定要辯一辯，徹底地弄明白，不留死角，不留盲點。

如“平行于同一條直線的兩條直線平行”與“垂直于同一條直線的兩條直線垂直”；又如在證明一個幾何命題時，什么時候用判定定理，什么時候用性質(zhì)定理，都要用心辨別。一般而言，由未知，想判定；由已知，想性質(zhì)。

5.嵌

有沒有把一個非標準的幾何體嵌入到標準的幾何體（如：長方體）中的意識，涉及到我們有沒有轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想。如：

如圖3，正四面體ABCD的頂點A、B、C分別在兩兩垂直的三條射線上，則在下列命題中，錯誤的是（）

A.O-ABC是正三棱錐

B.OB∥面ACD

C.AD與OB成450

D.二面角D-OB-A為450

圖3

圖4

本題若直接計算，將費時費力。如果將所給的四面體嵌入到正方體OAEB-CFDG（如圖4）中，很快就會選出正確答案（B）。

6.猜

猜想能激發(fā)學生的求知欲，猜想正確時會感受到猜想的樂趣，享受到成功的喜悅，學生會以更大的熱情投入新知的探求中。在教學過程中通過適時、適度的引導，啟發(fā)學生猜想，可以將新知納入到整個知識體系之中。

7.變

有些學生時常滿足一知半解，做題時照葫蘆畫瓢，不能領會實質(zhì)，不能掌握解決該類題的通性通法，這與近幾年高考的要求是相左的。因此必須從題海中解脫出來，要學一題，得一法，會一類。如人教版數(shù)學課本《必修2》第二章復習參考題B組第2題：

如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

（1）B1D⊥平面 A1C1B；

（2）與平面 的交點H是△A1C1B的重心（三角形三條中線的交點）。

本題由兩問組成，顯然是為了控制難度，尤其是第一問證出以后，很容易得到H是△A1C1B垂心的結(jié)論，而△A1C1B又是正三角形，為第二問的解決鋪平了道路。但本題是課本復習參考題中的最后一題，作為本章的壓軸題，如果至此結(jié)束，對學生思維能力的提高以及空間想象能力的形成都是一種遺憾。我們不妨將其變一變：

圖5

圖6

如圖6，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，請問：

（1）B1D⊥平面 A1C1B 嗎？

（2）B1D與平面A1C1B的交點H是△A1C1B的重心嗎？

以上兩問，如果正確，給出你的證明；如果不正確，說明理由。

事實上，第（1）問是一個假命題，是想讓同學們知道如何說明一條直線與一個平面不垂直；而第（2）問正是基于通性通法而考慮的，怎樣正確作出B1D與平面A1C1B的交點H是解決本題的關鍵。我們可以這樣思考：點H一定要變成同一平面內(nèi)兩條直線的交點，那么就要在含B1D的面中尋求另一條直線。我們自然想到平面BDD1B1，如圖7，不難發(fā)現(xiàn)平面BDD1B1與平面A1C1B有兩個公共點B、O1（為了便于學生觀察，平面BDD1B1用紅色，平面A1C1B用藍色，姑且稱B、O1為雙色點），顯然B、O1是這兩個平面的交線，而易知點H是這兩個平面的公共點。因此，H?BO1且BO1∩B1D；接下來，BO1是△A1C1B的中線且BH=2HO1都是很顯然的。就這樣，從已知到未知，又從未知到已知，尋求正反兩方面知識銜接點之間的一個固有的或確定的數(shù)學關系，使問題得以順利解決。

圖7

8.換

波利亞指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程，對一個數(shù)學問題，改變它的形式，換一種敘述方式，變換它的結(jié)構，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是解題的一個重要原則?！崩缦旅嬉坏狼笾本€與平面所成角的問題：

如圖8，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求BB1與平面BC1D所成角的正切值。

圖8

思路一：可以利用VB1-BDC1=VD-BB1C1求點B1到平面BDC1的距離，把問題換成求直線與平面所成角的正弦值；

思路二：也可以把“求BB1與平面BC1D所成角的正切值”換成“求CC1與平面BC1D所成角的正切值”，這樣一來三棱錐C-BDC1正是長方體一角模型，由直角頂點向底面作高，同學們非常熟悉；

思路三：注意A1C到與平面BC1D垂直的事實，本題也可換成求異面直線BB1與A1C所成角的問題。

可以看出，通過不斷轉(zhuǎn)換命題的形式，把它轉(zhuǎn)化為一類已經(jīng)解決或是較容易解決的問題，可使問題由繁變簡，由難變易，由暗變明。

9.算

立體幾何計算題，單純的計算往往無濟于事，必須輔之必要的空間想象及必要的邏輯推理。

如圖9，設ABCD-A1B1C1D1是一個棱長為2的正方形，點 M 是 AB的中點，過 M、B1、C、D1四點作一個球，則該球的半徑為 。

如果能建立空間直角坐標系如圖10，設球心O 的坐標為（x，y，z），因為|OM|=|OB1|=|OC|=|OD1|，利用空間兩點之間的距離公式不難解決；但如果能注意到球心在 AC1上，故可設球心O的坐標為（t，t，t），則只需要利用|OM|=|OB1|即可解決。

圖9

圖10

三、結(jié)語

以上筆者提出了9個方法學習立體幾何這些方法已經(jīng)在長期的教學實踐中得到檢驗。當然，學好立體幾何還要注意與其它知識的有機聯(lián)系。不過九九歸一，學之道在于悟。只善于思考，善于總結(jié)，落實一個“悟”字，才能真正領會和掌握這些學習方法的精髓。

[1]鄭強，邱忠華.走進高中數(shù)學教學現(xiàn)場[M].北京：首都師范大學出版社，2008

G633.63

A

1009-9530（2012）03-0140-03

2012-03-17

高長玉（1962-），男，淮南市第二中學特級教師。