朱大昌， 嚴智敏， 崔祥府， 李 培

（江西理工大學機電工程學院，江西 贛州 341000）

3-RPS并聯機器人位置分析及控制仿真

朱大昌， 嚴智敏， 崔祥府， 李 培

（江西理工大學機電工程學院，江西 贛州 341000）

應用坐標變換法和封閉解法，基于3-RPS并聯機器人位置分析，采用Matlab建立3-RPS型并聯機器人仿真模型，給定不同狀態(tài)下的參考輸入，通過合理設置PID控制器各項參數進行運動學仿真比較.仿真結果表明：在不同的參考輸入的條件下，動平臺的位置變化幾乎相同，實現了PID控制調平作用，驅動桿實際輸出與參考值的偏差在允許范圍內波動，控制效果明顯，為研究基于并聯機器人自動調平提供參考.

3-RPS型并聯機器人；位置正/反解；Matlab仿真；PID控制

0 引 言

并聯機構的位置分析在并聯機器人的研究中具有十分重要的意義，通過位置分析可以求解機構的輸入與輸出構件之間的位置關系，是機構運動分析最基本的任務，以及是機構受力分析、速度、加速度、誤差分析、機構綜合分析等的基礎[1].由于并聯機器人機構具有剛度高，承載能力強，結構緊湊等優(yōu)點，因此它在工業(yè)生活中具有廣闊的應用前景.少自由度并聯機器人機構運動學、動力學研究相對簡單，具有很強的靈活性，制造相對容易，有其諸多優(yōu)越性，在各個領域中更具有應用潛力，因而成為國內外學者研究較多的一類機構.在串聯機器人的機構位置分析中，正解比較容易，反解比較困難，相反在并聯機構位置分析中反解相對簡單，而位置正解比較復雜.

目前，國內外對并聯機器人機構位置正解主要有解析法和數值法.它們各有自己的優(yōu)缺點：數值法數學模型相對簡單，能夠適用于大多數的并聯機構，但它不能求出全部位置的解，國內外學者對此作了大量的研究.例如Innocentit提出了位置正解的一維搜索法，Dagupta提出了預測校正法，該方法采用3維搜索法從純幾何角度求解位置正解，有學者提出一種逐次逼近法；解析法，即利用各種數學消元法逐一消去未知數，最終求解一個一元多項式.雖能求出全部位置的解，但求解過程比較繁瑣，國內對位置正解解析法的研究主要是北京郵電大學機械學研究所進行的，至今，他們分別獲得了3-TPS、3-6SPS、5-4型、6-4型機構、6-4臺體機構、6-5型機構、5-5型、6-5型機構的位置正解，并驗證了機構解的數目[2].

在控制領域中，控制方法很多，有PID控制、滑模變結構控制、自適應控制法、模糊控制、神經元控制等，其中PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一，由于其算法簡單、魯棒性好、可靠性高等特點，因而在控制領域中得到廣泛的應用[3].

本文在借鑒前人的基礎上，以3-RPS并聯機器人為例，應用坐標變換法和封閉方法對并聯機器人機構位置作了初步的分析，并運用Matlab建模與PID控制進行仿真.

1 機構描述

3-RPS并聯機構的上下平臺以3個分支相聯，每個分支由3個運動副連接而成，固定平臺的每個頂點各自連接一個轉動副，轉動副通過一個移動副連接一個球副，每個球副分別連接在移動平臺的各個頂點，上下平臺都是由2個正三角形組成，如圖1所示.

圖1 3-RPS機構模型

在機構的上下平臺上各建立坐標系，動坐標系P-UVW建立在上平臺，下平臺建立定坐標系OXYZ，P、O分別在上下平臺的中心.上下平臺分別記為 B1B2B3，A1A2A3， 其中 PBi,OAi,OBi分別記為 bi,ai,qi，bi,ai的長度分別記為h、g，di表示驅動桿AiBi之間的桿長，φi分別為連桿AiBi與下平臺之間的傾斜角，θi分別表示轉動副軸線ui與X軸之間的夾角，L為上平臺三角形的邊長，如圖2所示.

圖2 3-RPS機構示意圖

2 位置分析

2.1 位置反解

位置反解，即給定上平臺在空間的位置和姿態(tài)，求各個桿長，即各移動副的位移[4].如圖2可知，Ai在O-XYZ中的坐標為：取 Z-Y-X 型歐拉角(α,β,γ)，則動坐標系相對固定坐標系的方向余弦為：

式(3)中：cα=cosα,sα=sinα,其它同理.

球鉸在固定坐標系中的坐標為：

式(4)中 P=[PXPYPZ]T，表示動平臺中心點在固定坐標系中的位置矢量.

由上可求出桿長：

從而求出該并聯機器人的位置反解.

2.2 位置正解

并聯機構的位置正解即給定各分支的驅動長度di，求動平臺中心點P在固定坐標系中位置坐標PX、PY、PZ和動坐標系對定坐標系的方向余弦，即T.根據3-RPS并聯機構的結構特點，動平臺由一個正三角形組成，由此可以運用梁崇高教授所提出的位置封閉解的方法來求解該并聯機構的位置正解[5-6].

u1、u2、u3分別是3個轉動副的軸線方向，假設將球鉸B1與動平臺B1B2B3解除約束，由于與下平臺連接的轉動副的轉動作用，顯然桿B1A1會繞轉動副的軸線u1轉動，形成以A1為圓心，半徑為d1的圓.同理，球鉸 B2、B3在相同的條件下也作相同的運動.假設 u1、u2、u3與 X 軸夾角分別為：θ1=90°、θ2=210°、θ3=330°，則上平臺上的3個球鉸的位置分別用 φ1、φ2、φ3表示為：

動平臺的三個頂點坐標表示上平臺三角形的邊長，邊長為L，則有如下關系式：

將式（6）代入（7）中整理得到以φi為參數的超越方程：

式（8）中，Ai、Bi、Di、Ei、Fi均為已知量的函數.

化簡得：

式(10)中，ai、bi、ci為各階變量 x2和 x3的系數.對上式進行化簡消去 x3，由于 ai、bi、ci本身只含有 x1、x2，則可以得到只關于x1、x2的方程：

將上式寫成只關于x2的方程有：

式(12)中 ki僅是關于 x1的函數，再由式(10)，式(12)可以寫成如下矩陣方程：

由于 [x25x24x23x22x21]T≠0， 因此該齊次方程有非零解的充分必要條件是系數行列式等于零，從而求出 x1，同理求出 x2、x3，從而求得 φi，求得的值代回式（6）中，得出平臺3個頂點的坐標，因為上平臺是一個等邊三角形，3個球鉸在三角形的頂點上，所以根據三角形的幾何性質可以求出動坐標系原點P的坐標：

假設動坐標系對固定坐標系的3個轉角分別為θU，θV，θW，則根據如下關系式求出方向余弦：

式中：

3 Matlab建模

根據控制原理與3-RPS并聯機器人的結構連接關系，運用Matlab中SimMechanics模塊集，建立圖3、4、5、6 的仿真模型[7-10].

圖3表示3-RPS機構建模仿真的總框圖，Subsystem部分表示對該機構系統(tǒng)輸入的參考值，即圖4所示；PID Controller部分表示控制部分；Subsystem3部分表示該機構，即圖5所示；Scope1與Scope3為示波器，分別表示動平臺的位置變化與差值的輸出.

圖3 3-RPS機構PID控制SimMechanics總框圖

圖4 3-RPS機構參考值輸入SimMechanics框圖

圖5 3-RPS機構SimMechanis框圖

圖6 3-RPS一支鏈SimMechanis框圖

4 仿真對比分析

設定初始參數：上下平臺外接圓半徑分別為50 mm，100 mm，上平臺的質量為1 kg，移動副固定桿和移動桿都為0.1 kg，上平臺中心點P的坐標為（0，0，150），Φ1=Φ2=Φ3=120°，建立機構模型.

假設動平臺輸入的參考值：EulerXYZ （45°，45°，0°），P 點的坐標輸入為：（sin(2πt)，sin(2πt)，sin(2πt)），進行仿真，結果如圖7、圖8所示.

圖7 動平臺位置變化圖

改變P點的參考坐標輸入：（20sin(2π×5t+10)+10，20sin(2π×5t+10)+10，20sin(2π×5t+10)+10），進行仿真，結果如圖9，圖10.

圖8 驅動桿實際輸出與參考值的差值變化

圖9 動平臺位置變化圖

比較圖7和圖9知，在不同的參考值輸入的條件下，通過合理改變PID控制器的參數，動平臺中心點P的X,Y,Z軸的實際位置變化的變化規(guī)律幾乎相同，體現了PID的控制調平作用.由圖8和圖10可知，驅動桿實際輸出值與參考值的偏差值逐漸趨于零，說明了PID控制效果明顯.

5 結 論

通過應用坐標變換法和位置封閉解法分析了3-RPS并聯機器人的正反解位置分析，為進一步分析該機構運動學與控制仿真提供了有效的理論基礎.根據控制原理，運用Matlab中SimMechanics模塊，建立機構模型與控制仿真模型，在不同狀態(tài)下進行仿真比較，得出正確的圖形；由結果分析可知，基于PID控制可實現并聯機器人動平臺的自動調平，在實踐中具有重要的應用價值.驅動桿實際輸出與參考值的誤差值曲線在零附近上下波動，逐漸趨于零，但還是存在一定的偏差，這為進一步研究并聯機器人控制性能的提高奠定了基礎.

[1]黃 真，孔令富，方躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京：機械工業(yè)出版社，1997.

[2]黃 真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]朱大昌.基于并聯支撐機構的車載雷達天線自動調平系統(tǒng)研究[D].北京：北京交通大學，2008.

[4]付廷貴，許 瑛，楊 光.3自由度并聯機構的位姿分析[J].南昌航空工業(yè)學院學報，2005,19(3):25-31.

[5]李樹軍，王 陰，王曉光.3-RPS并聯機器人機構位置正解的桿長逼近法[J].東北大學學報，2001,22(3):285-287.

[6]吳 巍.一種兩自由度并聯機構位置分析與仿真[J].機械設計與制造，2011（5）:113-115.

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[8]劉 勝，李晚龍，杜延春，等.并聯機器人動力學與控制仿真研究[J].彈箭與制導學報，2005,25(7):928-930.

[9]王永超.基于Matlab的機構運動仿真方法及其比較 [J].計算機仿真，2004,21(8):81-83.

[10]梁毓明，陳德海.輪式移動機器人調速系統(tǒng)的設計[J].江西理工大學學報，2008,29(4):13-16.

The position analysis and control simulation of 3-RPS parallel robot

ZHU Da-chang,YAN Zhi-min,CUI Xiang-fu,LI Pei

(School of Mechanical and Electrical Engineering,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

The position of the 3-RPS parallel robot is analyzed by the method of coordinate transformation and the position closed-form method.Based on matlab,the simulation model of this robot is established.With the reference input in different condition,the simulation comparison is made through setting the parameters of the PID controller in reason to simulate.The results show that in different reference input condition the changes in the position of the moving platform are almost identical,the effect of PID control leveling is realized and the deviation between the actual output of drive shaft displacement and the reference signal fluctuates in the allowable range,the control effect is obvious.This provides the information for the study of automatic leveling to the parallel robots.

3-RPS parallel robot;location inverse solution;Matlab simulation;PID control

TP242

A

1674-9669（2012）01-0095-06

2011-10-24

國家自然科學基金資助項目（50965007、51165009）；江西省教育廳科技計劃項目（GJJ11484）

朱大昌（1973－ ），男，副教授，主要從事并聯機器人及控制等方面的研究，E-mail：zdc98998@163.com.