謝 勇

（大理學(xué)院工程學(xué)院，云南 大理 671003）

海森堡不確定性原理的教學(xué)研究

謝 勇

（大理學(xué)院工程學(xué)院，云南 大理 671003）

海森堡不確定性原理在量子力學(xué)的教學(xué)中占有很重要的地位.通過(guò)概念引入，實(shí)驗(yàn)分析，理論證明以及量子力學(xué)例證，介紹了一種海森堡不確定性原理的教學(xué)模式.

海森堡不確定性原理；教學(xué)；量子力學(xué)

海森堡不確定性原理(Heisenberg uncertainty principle)是由德國(guó)物理學(xué)家海森堡于1927年提出的量子力學(xué)中的不確定性，具體指在一個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)中，一個(gè)粒子的位置和它的動(dòng)量不可被同時(shí)確定[1].由于海森堡不確定性原理與經(jīng)典物理的觀念是截然不同的，在教學(xué)上有一定的難度.本文將對(duì)海森堡不確定性原理的教學(xué)引入、理論證明，以及例證進(jìn)行研究討論.

1 海森堡不確定性原理的教學(xué)引入

1.1 概念的引入

量子力學(xué)所討論的波是一種概率波.根據(jù)de Broglie關(guān)系，與一個(gè)單色平面波（波長(zhǎng)為?，頻率為n）對(duì)應(yīng)的粒子的動(dòng)量.如果用表示粒子的動(dòng)量分布函數(shù)，則可以由Fourier展開(kāi)得到[2]，

1.2 實(shí)驗(yàn)分析

微觀粒子的位置與坐標(biāo)的不確定性原理可以通過(guò)物質(zhì)波的單縫衍射實(shí)驗(yàn)來(lái)加以說(shuō)明.如圖1所示，設(shè)單縫的寬度為，物質(zhì)波（如電子波）的波長(zhǎng)為?，從衍射強(qiáng)度的中心極大到第一極小的夾角為?，則根據(jù)單縫衍射公式[2]

圖1 物質(zhì)波的單縫衍射

粒子在穿過(guò)狹縫之前是沿x方向運(yùn)動(dòng)的，即粒子動(dòng)量的豎直分量為零.由于微觀粒子的波粒二象性，當(dāng)粒子穿過(guò)狹縫以后，其動(dòng)量的豎直分量 將發(fā)生改變. 的大可通過(guò)粒子抵達(dá)探測(cè)屏的位置計(jì)算出來(lái).如圖1所示， 的不確性 大約

由于?很小，所以結(jié)合（3）式，得

當(dāng)粒子穿過(guò)狹縫時(shí)，粒子位置的不確定性 顯然就是狹縫的寬度，

于是，有

根據(jù)德布羅意的物質(zhì)波假說(shuō)[3]，

式中h為普朗克常數(shù)，故有

這就是海森堡不確定性原理的實(shí)驗(yàn)估算.

2 海森堡不確定性原的理論證明

對(duì)海森堡不確定性原理的理論證明有很多方法[3-5]，在實(shí)際教學(xué)中，我們主要參照文獻(xiàn)[5]提供的方法.這種方法簡(jiǎn)潔易懂，學(xué)生很容易接受.

根據(jù)方差的定義，某一厄米算符 的方差為

得

而

以上的推導(dǎo)用到了算符的厄米性和波函數(shù)的歸一性.同理可得，

于是，

所以，

由于標(biāo)準(zhǔn)差為非負(fù)數(shù)，所以

這就是海森堡提出的坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定性原理的數(shù)學(xué)形式.

3 海森堡不確定性原理的量子力學(xué)例證

海森堡不確定性原理適用于所有微觀粒子的量子行為.教學(xué)中，通過(guò)粒子的坐標(biāo)表象及動(dòng)量表象波函數(shù)來(lái)驗(yàn)證不確定性原理，對(duì)于學(xué)生理解微觀粒子的波粒二象性和不確定性原理有很好的幫助.例如對(duì)于一維諧振子，其基態(tài)波函數(shù)為[3]，

可以用解析法來(lái)驗(yàn)證不確定性原理，但計(jì)算較為繁瑣.教學(xué)中，我們主要使用升降算符來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證.利用一維諧振子升降算符的定義和遞推公式[5]：

及

有

由正交歸一條件[3]

得

同理，

對(duì)于坐標(biāo)的方均值，

同理得動(dòng)量的方均值，

將上述結(jié)果代入坐標(biāo)與動(dòng)量的方差公式：

得

和

于是

故有

由于量子數(shù)n的取值是0, 1, 2, …，所以

此結(jié)果與（15）式完全相符.

4 討論

海森堡不確定性原理貫穿于量子力學(xué)的整個(gè)教學(xué)中.我們首先通過(guò)坐標(biāo)與動(dòng)量的Fourier變換，從概念上引入了坐標(biāo)與動(dòng)量不能同時(shí)被準(zhǔn)確確定的性質(zhì)，然后通過(guò)物質(zhì)波的單縫衍射實(shí)驗(yàn)，估算出這種不確定性的數(shù)量級(jí).在介紹算符的運(yùn)算規(guī)則的時(shí)候，我們利用西瓦茨不等式嚴(yán)格證明了海森堡不確定性原理.隨后的教學(xué)討論中，我們要求學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)，在課堂上對(duì)海森堡不確定性原理進(jìn)行驗(yàn)證，例如本文介紹的一維諧振子的例證.這樣的教學(xué)安排可以使學(xué)生對(duì)微觀粒子的波粒二象性有更深刻的理解.

[1]W.Heisenberg. über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik[J]. Physics,1927,43(3-4):172-198.

[2]馬文蔚等.物理學(xué)教程:第二版[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程:第二版[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[4]綽英超.廣義Heisenberg不確定關(guān)[J].大學(xué)物理,1997(2):31-33.

[5]David J.Griffiths.Introduction to Quantum Mechanics[M].Benjamin Cummings;2 edition (2004).

Research on Teaching Heisenberg Uncertainty Principle

XIE Yong

(College of Engineering, Dali University, Dali 671003, China)

Heisenberg uncertainty principle is very important in quantum mechanics. This paper introduces a teaching mode for Heisenberg uncertainty principle through importing concept, experiment analyzing, theoretically prove, and example illustration.

Heisenberg uncertainty principle; teaching; quantum mechanics

O413.1

A

1008-9128（2012）04-0008-03

2012-03-28

中德科學(xué)基金項(xiàng)目（GZ585）

謝勇，副教授.研究方向：理論物理和生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)的教學(xué)與研究.

[責(zé)任編輯 張燦邦]