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        非齊次發(fā)展型p-Laplace方程正解的爆破性和存在性

        2012-12-27 03:50:36孔德建李建軍高文杰
        關(guān)鍵詞:吉林大學(xué)初值全局

        孫 鵬,孔德建,李建軍,高文杰

        (1.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130012;2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,遼寧鞍山 130000)

        非齊次發(fā)展型p-Laplace方程正解的爆破性和存在性

        孫 鵬1,孔德建1,李建軍2,高文杰1

        (1.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130012;2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,遼寧鞍山 130000)

        考慮了非齊次發(fā)展型p-Laplacian方程帶有非負(fù)初值的Cauchy問題?tudiv(|▽um|p-2▽um)=uq+w(x),這里p>1,q>max{1,m(p-1)},而且w(x)?0∈R Rn是一個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù).證明了當(dāng)2n/(n+1)<p<n時(shí),qc=mn(p-1)/(n-p)是臨界指標(biāo),即如果q≤qc,則該問題的所有正解在有限時(shí)刻內(nèi)爆破;而當(dāng)q>qc時(shí),對(duì)于滿足某些條件的w(x)以及某些初值,方程存在全局正解.并且證明了當(dāng)n≤p時(shí),該問題的正解在有限時(shí)刻內(nèi)均爆破.

        非齊次發(fā)展型p-Laplacian方程;臨界指標(biāo);爆破;全局存在

        1 預(yù)備知識(shí)

        在本文中,我們主要研究如下的非齊次發(fā)展型p-Laplace的Cauchy問題正解的全局存在性和爆破性:

        這里p>1,q>max{1,m(p-1)},m≥1,并且w(x)?0和u0(x)均為R Rn上的非負(fù)函數(shù).

        這類方程來源于自然界中廣泛存在的擴(kuò)散現(xiàn)象.在諸如生物化學(xué)以及生物種群的動(dòng)態(tài)等諸多領(lǐng)域的物理問題,都可以歸結(jié)為這類數(shù)學(xué)模型.

        [1]中,H.Fujita研究了半線性熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題

        這里p>1,并得到如下結(jié)果:

        (a)若p<1+2/n,則所有非平凡解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破;

        (b)若p>1+2/n且u0(x)≤δe-|x|2(0<δ?1),則問題(1.2)存在一個(gè)全局解.

        對(duì)于p=1+2/n的情況,文獻(xiàn)[2-3]分別給出了n=1,2以及n≥1時(shí),問題(1.2)不存在全局解u(x,t)滿足‖u(·,t)‖∞<∞.文獻(xiàn)[4]證明了,若p=1+2/n,則問題(1.2)當(dāng)t>0,q∈[1,+∞)時(shí),不存在滿足‖u(·,t)‖q<∞的全局解u(x,t).我們稱p c=1+2/n為問題(1.2)的臨界指標(biāo),它對(duì)研究問題(1.2)解的性質(zhì)具有重要意義.

        在過去的幾十年間,H.Fujita的結(jié)果在許多方面都得到了大量的推廣.最近文獻(xiàn)[5-13]將H.Fujita的結(jié)果推廣到了非齊次方程的Cauchy問題.在這種問題中,臨界指標(biāo)和爆破點(diǎn)均與齊次方程有所不同.此時(shí),問題的臨界指標(biāo)更多的與相應(yīng)的橢圓問題的臨界指標(biāo)具有緊密的聯(lián)系.

        對(duì)于發(fā)展型p-Laplace方程的Cauchy問題,文獻(xiàn)[12]討論了齊次方程的情況,并得到了臨界指標(biāo)qc=p-1+p/n,證明了當(dāng)p>2n/(n+1)時(shí),如果max{1,p-1}<q<qc,則Cauchy問題沒有全局解,而如果q>qc,并且初值u0(x)充分小,則Cauchy問題存在全局正解.文獻(xiàn)[9]討論了具有雙重奇異性的拋物方程,并得到了相似的結(jié)果.

        文獻(xiàn)[14]討論了發(fā)展型p-Laplace方程?tu-div(|▽u|p-2▽u)=uq+w(x)帶有非負(fù)初值的Cauchy問題,證明了當(dāng)2n/(n+1)<p<n時(shí),qc=(p-1)n/(n-p)為問題的臨界指標(biāo),即如果q≤qc,則問題的正解在有限時(shí)刻爆破;而如果q>qc,則該方程對(duì)于某些w(x)的適當(dāng)?shù)某踔荡嬖谌终?文獻(xiàn)[14]還證明了當(dāng)n≤p時(shí),問題的正解在有限時(shí)刻均爆破.文獻(xiàn)[15]討論了一類擬線性退化拋物型方程組解的爆破性.

        本文的主要目的是研究問題(1.1)正解的性質(zhì).當(dāng)m(p-1)≥1時(shí),方程具有退化性和奇異性,即如果m>1或p>2,則方程在u(x,t)=0或|▽u(x,t)|=0處具有退化點(diǎn);如果0<m<1或1<p<2,則方程在u(x,t)=0或|▽u(x,t)|=0處具有奇異點(diǎn).我們將證明qc=(p-1)nm/(n-p)是問題(1.1)的臨界指標(biāo).確切地說,如果q<qc,則問題(1.1)的正解對(duì)于任何非負(fù)初值總是爆破的;如果q>qc,則對(duì)一些適當(dāng)大的初始條件,問題(1.1)的解在有限時(shí)刻爆破,并且若初始條件適當(dāng)小,則其解是全局存在的;而如果q=qc,則問題(1.1)的解總是在有限時(shí)刻爆破.

        我們的主要結(jié)果如下:

        2 解的先驗(yàn)估計(jì)

        3 定理的證明

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1]FUJITA H.On the blowup of solutions of the Cauchy problem forut=Δu+u1+σ[J].J Fac Sci Univ Tokyo Sect,1966,13:109-124.

        [2]HAYAKAWA K.On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic equations[J].Proc Japan Acad,1973,49:503-525.

        [3]KOBAYASHI K,SIRAO T,TANAKA H.On the blowing up problem for semilinwar heat equations[J].Math Soc Japan,1977,29:407-424.

        [4]WEISSLER F B.Existence and nonexistence of global solutions for a semilinear heat equations[J].Israel J Math,1981,38:29-40.

        [5]BANDLE C,LEVINE H A,ZHANG Q S.Critical exponents of Fijita type for inhomogeneous parabolic equations and systems[J].J Math Anal Appl,2000,251:624-648.

        [6]DENG K,LEVINE H A.The role of critical exponents in blow-up theorems:the sequel[J].J Math Anal Appl,2000,243:85-126.

        [7]LEVINE H A.The role of critical exponents in blow-up theorems[J].SIAM Rev,1990,32:262-288.

        [8]LIONS P L.The concentration-compactness principle in the calculus of variations,the limit case[J].Rev Mat Iberoamericana,1985(1)/(2):145-201/45-121.

        [9]LIU X F,WANG M X.The critical exponent of doubly singular parabolic equations[J].J Math Anal Appl,2001,257:170-188.

        [10]陸文端.微分方程中的變分方法[M].北京:科學(xué)出版社,2003:24-104.

        [11]QI Y W.On the equationut=Δuα+uβ[J].Proc Roy Soc:Edinburgh Sect A,1933,123:373-390.

        [12]ZHAO J N.On the Cauchy problem and initial traces for the evolutionp-Laplacian equations with srongly nonlinear sources[J].J Differential Equations,1995,121:329-383.

        [13]ZHANG Q S.Blow-up results for nonlinear parabolic equations on manifolds[J].Duke Math J,1999,97:515-539.

        [14]ZENG XIANZHONG.Blow-up results and global existence of positive solutions for the inhomogeneous evolutionp-Laplacian equations[J].Nonlinear Analysis,2007,66:1290-1301.

        [15]魏英杰,鄔娟.一類擬線性退化拋物型方程組解的存在性與爆破[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2010,48(3):406-408.

        [16]SERRIN J,ZOU H H.Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities[J].Acta Math,2002,189:79-142.

        [17]YIN JINGXUE,LI JING,JIN CHUNHUA.Non-extinction and critical exponent for a polytropic filtration equation[J].Nonlinear Analysis,2009,71:347-357.

        Blow-up and global existence of positive solutions for inhomogeneous evolutionp-Laplace equations

        SUN Peng1,KONG De-jian1,LI Jian-jun2,GAO Wen-jie1

        (1.Institute of Mathematics,Jilin University,Changchun 130012,China;2.College of Science,Liaoning Technical University,Anshan 130000,China)

        This paper deals with the Cauchy problem of inhomogeneous evolutionp-Laplacian equations?tu-div(|▽um|p-2▽um)=uq+w(x)with nonnegative initial data,wherep>1,q>max{1,m(p-1)},andw(x)?0 is a nonnegative continuous function in R Rn.It is proved thatqc=mn(p-1)/(n-p)is a critical exponent provided that 2n/(n+1)<p<n,i.e.,ifq≤qc,then every positive solution blows up in finite time;whereas forq>qc,the equation possesses a global positive solution for somew(x)and some initial data.Meanwhile,it also proves that positive solutions blow up in finite time provided thatn≤p.

        inhomogeneous evolutionp-Laplace equation;critical exponent;blow-up;global existence

        O 175.26

        110·34

        A

        1000-1832(2012)01-0001-09

        2011-01-17

        國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10771085);吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院人才基地本科生科研項(xiàng)目(J1030101,J0630104,

        J0730104).

        孫鵬(1978—),男,博士,講師,主要從事發(fā)展方程研究;高文杰(1956—),男,博士,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

        陶 理)

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