楊 斌，王 靜

（1.吉林電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林吉林 132021；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024）

具有HollingⅣ型功能性反應(yīng)的非自治三種群食物鏈模型的周期解

楊 斌1，2，王 靜2

（1.吉林電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林吉林 132021；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130024）

研究了具有HollingⅣ型功能性反應(yīng)的非自治三種群食物鏈模型，利用重合度理論中的延拓定理在周期的情況下獲得了系統(tǒng)正周期解存在的充分條件.

食物鏈模型；HollingⅣ型功能性反應(yīng)；正周期解；重合度

1 預(yù)備知識(shí)

在食物鏈模型中，經(jīng)常應(yīng)用捕食功能反應(yīng)來(lái)描述食餌種群與捕食者種群之間的營(yíng)養(yǎng)水平的轉(zhuǎn)移.一些學(xué)者對(duì)具有單調(diào)性功能性反應(yīng)的食物鏈模型進(jìn)行了探討.但實(shí)際中，許多生物種群之間的營(yíng)養(yǎng)水平轉(zhuǎn)移并不具有單調(diào)性［1－3］，因此本文研究具有HollingⅣ型功能性反應(yīng)的非自治三種群食物鏈模型，其中HollingⅣ型功能性反應(yīng)是一個(gè)非單調(diào)的反應(yīng)函數(shù).考慮下面的模型：

其中：x i（i＝1，2，3）表示t時(shí)刻種群密度，x1被x2捕食，x2被x3捕食；ri（t）表示t時(shí)刻內(nèi)稟增長(zhǎng)率；d i（t）（i＝1，2，3）表示t時(shí)刻種群內(nèi)作用系數(shù)；mij（t）表示t時(shí)刻種群間相互作用，i，j＝1，2，3且i≠j.這是一個(gè)三種群食物鏈模型.

本文利用重合度理論在周期的情況下得到了系統(tǒng)（1）正周期解存在的充分條件.

2 周期解

其中g(shù)是一個(gè)正的ω周期函數(shù)，即g（t＋ω）＝g（t）.

假設(shè)系統(tǒng)（1）中的所有參數(shù)都是正的ω周期的，

為Z中的閉子集，且dim kerL＝3＝co dim ImL，故L是指標(biāo)為零的Fredholm映射.易知P，Q是連續(xù)投影算子，且ImP＝KerL，KerQ＝ImL＝Im（I－Q），因此L的逆映射K P：ImL→KerP∩DomL存在，且

［1］王靜，王克.具有年齡結(jié)構(gòu)的單種群模型單一捕獲的優(yōu)化問(wèn)題［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，35（2）：1－6.

［2］王育全，劉來(lái)福.具有Monod－Haldane功能反應(yīng)的一類(lèi)食物鏈模型的動(dòng)力學(xué)行為［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2007，27A（1）：79－89.

［3］溫紹雄，范猛.具有Hassell－Varley型功能性反應(yīng)的捕食者－食餌系統(tǒng)周期解的存在性［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，43（1）：10－15.

［4］楊斌.具有Monod－Haldane功能性反應(yīng)的非自治三種群食物鏈模型的動(dòng)力學(xué)行為［D］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，2009.

［5］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree snd nonlinear differential equations［M］.Berlin，Heidelberg，New York：Springer－Verlarg，1977：26.

［6］NARBALAT I.Systemes d'equations differential d'oscillations nonlinearies［J］.Rev Ronmaine Math Pures Appl，1959，4：267－270.

Periodic solution of a nonautonomous three－species food－chain model with the HollingⅣfunctional reponse

YANG Bin1，2，WANG Jing2

（1.Jilin Technology College of Electronic Information，Jilin 132021，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

A non－autonomous three－species food－chain model with the HollingⅣfunctional response is proposed in this paper.The condition for existence of a periodic solution for periodic case is obtained by using the continuation theorem of coincidence degree.

food－chain model；HollingⅣfunctional response；periodic solution；coincidence degree

O 175.14

110·34

A

1000－1832（2012）01－0010－06

2010－11－05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971022）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目（08－0755）；中央高?；究蒲袠I(yè)

務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（10JCXK003）.

楊斌（1982—）女，碩士，講師；通訊作者：王靜（1972—）女，博士，副教授，主要從事微分方程及生物數(shù)學(xué)研究.

陶 理）