鐘裕林，霍元極，2

（1.海南軟件職業(yè)技術學院基礎部，海南 瓊海 571400；

2.河北北方學院數學系，河北 張家口 075000）

奇異典型群作用下子空間軌道的長度

鐘裕林1，霍元極1，2

（1.海南軟件職業(yè)技術學院基礎部，海南 瓊海 571400；

2.河北北方學院數學系，河北 張家口 075000）

設FFq是q個元素的有限域，FFn＋lq是FFq上n＋l維行向量空間，Gn＋l，n是n＋l級奇異典型群之一.FFn＋lq在Gn＋l，n上的作用下導出了它在FFn＋lq的子空間集合上的作用，因而FFn＋lq在Gn＋l，n作用下劃分成一些軌道Mn＋l，n.采用矩陣初等行變換的方法，分別給出奇異辛群，奇異酉群作用下子空間軌道 Mn＋l，n的長度.

有限域；典型群；奇異辛群；奇異酉群；子空間軌道

1 基本定理

設GLn（FFq）是FFq上n×n非奇異矩陣構成的集合，熟知GLn（FFq）對于矩陣的乘法作成一個群.FFnq中所有k維（0≤k≤n）子空間組成FFnq在GLn（FFq）作用下的一個軌道，記作 M（k，n），即 Mn＝M（k，n）.由文獻［2］中的定理1.7，有下面的命題.

2 奇異典型群作用下子空間軌道的長度

這里只討論奇異辛群和奇異酉群作用下的情形，其他情形可類似地進行，容易得到其長度的公式.

2.1 奇異辛情形

2.2 奇異酉情形

記FFnq2在酉群Un（FF2q）作用下的軌道是 Mn＝M（m，r；n），而FFn＋lq在奇異酉群Un＋l，n（FF2q）作用下的軌道是 Mn＋l，n＝M（m，r，k；n＋l，n）（見文獻［2］）.當條件k≤l和2r≤2（m－k）≤n＋r成立時，M（m，r，k；n＋l，n）≠?.由文獻［1］中定理5.19，有

類似于奇異辛情形的推導，有（10）式成立，但這里的P11∈M（m－k，r；n），而（12）式等號右邊是q2（m－k）（l－k），并且有

定理3 設k≤l，2r≤2（m－k）≤n＋r，那么

［1］ 華羅庚，萬哲先.典型群［M］.上海：上海科技出版社，1963：481-488.

［2］ WAN ZHEXIAN.Geometry of classical groups over finite fieldsb second edition［M］.Beijing，New York：Science Press，2002：131-250.

［3］ LIU Y，WAN Z.Pseudo-symplectic geometrie over finite field of characteristic two［C］／／HIRSCHFELD J W P.Advance in Finite Geometries and Designs，Oxford：Oxford University Press，1991：265-288.

［4］ 宋元鳳，南基洙.利用有限域上Ⅱ-Jordan型冪零矩陣構造Cartesian認證碼［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（3）：37-42.

［5］ VAN LINT J H，WILSON R M.A curse in commbi-nalorics［M］.Second Edition.北京：機械工業(yè)出版社，2004：325-332.

［6］ 張朝鳳，王連平.冪群的等價條件及其性質的研究［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（4）：21-25.

Length of subspaces orbits under the actions of singular classical groups

ZHONG Yu-lin1，HUO Yuan-ji1，2

（1.Department of Basic，Hainan College of Software Technology，Qionghai 571400，China；
2.Department of Mathematics，Hebei North University，Zhangjiakou 075000，China）

LetFFqbe afinite field ofqelements，FFn＋lqben-dimensional row vector space overFFq，andGn＋l，nbe one of the classical groups.FFn＋lqunder the action ofGn＋l，nintroduce the action the set of subspaces ofFFn＋lq，and this setFFn＋lqbe partitioned into any orbits Mn＋l，n.Using methods of elmentary transformations in matries the length of Mn＋l，nare given.

finite field；classical group；singular symplectic group；singular unitary group；subspaces orbit

O 152.8

110·21

A

1000-1832（2012）01-0036-05

2011-03-02

海南省自然科學基金資助項目（109006，610230）.

鐘裕林（1963—），男，副教授，主要從事代數組合論研究.

陶 理）