江 娟，裴東河，陳志明

（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

二維歐氏空間中混雜構(gòu)形的M?bius函數(shù)

江 娟，裴東河，陳志明

（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

研究了二維歐氏空間中一類新的混雜構(gòu)形，即由直線構(gòu)形和若干個(gè)圓組成的混雜構(gòu)形，這是以往所研究的混雜構(gòu)形的推廣形式.并且利用Hasse圖得到了此類混雜構(gòu)形的相交偏序集的M?bius函數(shù)值公式.作為公式的應(yīng)用，給出了兩個(gè)具體的例子.

超平面構(gòu)形；直線構(gòu)形；混雜構(gòu)形；M?bius函數(shù)

0 引言

超平面構(gòu)形，一般簡(jiǎn)稱為構(gòu)形，是l維向量空間中余維數(shù)為1的子空間的有限集合.超平面構(gòu)形這一與奇點(diǎn)理論有關(guān)的對(duì)象是20世紀(jì)70年代新興的學(xué)科.Arnold，Brieskorn和Deligne三位大師都做過(guò)奠基性的工作.超平面構(gòu)形不僅具有很好的代數(shù)、組合、拓?fù)湫再|(zhì)，還在奇點(diǎn)理論、凸集幾何、離散幾何等數(shù)學(xué)分支上有著廣泛的應(yīng)用［1］.近年來(lái)，以Hiroaki Terao，Peter Orlik和Louis Solomon等人為代表的學(xué)者們?cè)诔矫鏄?gòu)形領(lǐng)域取得了巨大的成果［2－9］.國(guó)內(nèi)姜廣峰、余建明等人在超平面構(gòu)形的可約性及仿射Zariski對(duì)等方面也取得了重要的成果［10－12］.我們可以從多角度研究超平面構(gòu)形，例如，文獻(xiàn)［13-14］定義了類自由構(gòu)形和球構(gòu)形，給出了一類特殊的類自由構(gòu)形和球構(gòu)形的組合性質(zhì).文獻(xiàn)［15］把構(gòu)形和擬陣的關(guān)系具體化，討論了一類特殊構(gòu)形的超可解性.

胡毅第一次給出了混雜構(gòu)形的概念，并研究了混雜構(gòu)形的補(bǔ)空間的同調(diào)群［16］.根據(jù)胡毅的定義，蘇丹和張敦穆構(gòu)造了一類具體的混雜構(gòu)形，給出了其特征多項(xiàng)式及房的個(gè)數(shù)公式［17］.吳棟研究了一類范圍更廣的混雜構(gòu)形，得到了其M?bius函數(shù)值公式等組合與代數(shù)性質(zhì)［18］.特征多項(xiàng)式是構(gòu)形的一個(gè)重要的幾何不變量，而構(gòu)形的特征多項(xiàng)式與M?bius函數(shù)有著直接的關(guān)系.因此，構(gòu)形的M?bius函數(shù)的研究是很必要的.

本文研究了R2中由直線構(gòu)形和若干個(gè)圓構(gòu)成的混雜構(gòu)形，運(yùn)用不同于文獻(xiàn)［17-18］的方法，得到其M?bius函數(shù)值的計(jì)算公式.這為進(jìn)一步研究Rn（n≥3）中的混雜構(gòu)形提供了一種方法.

圖1 混雜構(gòu)形的類型

我們以二維歐氏空間為例，給出三個(gè)不同的混雜構(gòu)形的例子，具體說(shuō)明本文研究的混雜構(gòu)形的特點(diǎn).作為例子，圖1中的（a），（b）分別為文獻(xiàn)［17-18］中所研究的混雜構(gòu)形，（c）則為本文所研究的混雜構(gòu)形.文獻(xiàn)［17-18］研究含有一個(gè)球面的混雜構(gòu)形，本文所研究的混雜構(gòu)形含有多個(gè)圓，是在二維情形下，對(duì)文獻(xiàn)［17-18］所研究結(jié)果的部分補(bǔ)充.

本文中沒(méi)有給出的定義及相關(guān)結(jié)論可參考文獻(xiàn)［1，18］.

1 基本定義及定理

圖2 相交偏序集L（~A）的Hasse圖

注1.2 文獻(xiàn)［18］中，作者借助超平面構(gòu)形的M?bius函數(shù)，得到了混雜構(gòu)形的M?bius函數(shù).本文定理1.1的證明中我們主要是應(yīng)用Hasse圖，獲得了混雜構(gòu)形的M?bius函數(shù).在R2情況下，文獻(xiàn)［18］中定理2.3.1是本定理的一個(gè)推論.

2 應(yīng)用舉例

下面我們給出定理1.1的具體應(yīng)用.

例2.1 求圖3中混雜構(gòu)形的相交偏序集中點(diǎn)的M?bius函數(shù)值.

圖3 單圓混雜構(gòu)形

圖4 多圓混雜構(gòu)形

例2.2 求圖4中混雜構(gòu)形的相交偏序集中非橫截相交點(diǎn)的M?bius函數(shù)值.

解 由圖4可知，相交偏序集中有且僅有X＝l1∩l2∩l3∩S1∩S2一個(gè)非橫截相交的交點(diǎn).由定理1.1，μ（X）＝3＋2－1＝4.

事實(shí)上，我們可以繼續(xù)研究Rn（n≥3）中的由超平面構(gòu)形和若干個(gè)球面構(gòu)成的混雜構(gòu)形的M?bius函數(shù)，進(jìn)而可以研究混雜構(gòu)形的特征多項(xiàng)式，這為研究混雜構(gòu)形的組合及其性質(zhì)提供了一種方法.

［1］ ORLIK P，TERAO H.Arrangements of hyperplanes［M］.Berlin：Springer-Verlag，1992：1-325.

［2］ ORLIK P，SOLOMON L.Unitary reflection groups and cohomology［J］.Invent Math，1980，59：77-94.

［3］ ORLIK P，SOLOMON L.Combinatorics and topology of complements of hyperplanes［J］.Invent Math，1980，56：167-189.

［4］ TERAO H.Generalized exponents of a free arrangement of hyperplanes and Shephard-Todd-Brieskorn formula［J］.Invent Math，1981，63：159-179.

［5］ TERAO H.Multiderivations of Coxeter arrangements［J］.Invent Math，2002，148：659-674.

［6］ ABE T，TERAO H，WAKEFIELD M.The Euler multiplicity and addition-deletion theorems for multiarrangements［J］.J London Math Soc，2008，77：335-348.

［7］ ABE T，TERAO H.A primitive derivation and logarithmic differential forms of Coxeter arrangements［J］.Math Z，2010，264：813-828.

［8］ ABE T，TERAO H.The freeness of Shi-Catalan arrangements［J］.European J Combin，2011，32：1191-1198.

［9］ ABE T，TERAO H，WAKEFILED M.The characteristic polynomial of a multiarrangement［J］.Adv Math，2007，215：825-838.

［10］ JIANG G F，YU J M.Supersolvability of complementary signed-graphic hyperplane arrangements［J］.Australas J Combin，2004，30：261-274.

［11］ JIANG G F，YU J M.Reducibility of hyperplane arrangements［J］.Sci China Ser A：Mathematics，2007，50：689-697.

［12］ JIANG G F，YU J M.A Zariski pair in affine complex plane［J］.Asian J Math，2004，8：473-474.

［13］ 孟男，裴東河.類自由構(gòu)形及其區(qū)域個(gè)數(shù)［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，41（4）：13-15.

［14］ 崔秀鵬，裴東河，高瑞梅.球構(gòu)形的分類及一類特殊球構(gòu)形的特征多項(xiàng)式［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2010，45（2）：59-62.

［15］ 孫志業(yè)，裴東河，高瑞梅.構(gòu)形和擬陣的同構(gòu)映射及關(guān)于超可解的幾個(gè)性質(zhì)［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2009，44（1）：10-13.

［16］ HU Y.On the homology of complement of subspaces and spheres［J］.Proc Amer Math Soc，1994，122：285-290.

［17］ SU D，ZHANG D M.The characteristic polynomial of the mixed arrangement［J］.Wuhan Univ J Nat Sci，2007，12：203-206.

［18］ 吳棟.混合配置的組合與代數(shù)性質(zhì)［D］.天津：南開(kāi)大學(xué)組合數(shù)學(xué)中心，2009.

M?bius function of the mixed arrangement in two-dimensional Euclidean space

JIANG Juan，PEI Dong-he，CHEN Zhi-ming
（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

Study on a new kind of mixed arrangements in two-dimensional Euclidean space，that is，the mixed arrangement which is composed of a line arrangement and several circles.These mixed arrangements are the generalizations of the former ones.By making use of Hasse diagram，the M?bius function value formula of the intersection poset of a mixed arrangement is obtained.As an application of this formula，two concrete examples are given.

hyperplane arrangement；line arrangement；mixed arrangement；M?bius function

O 157.3

110·77

A

1000-1832（2012）02-0001-04

2011-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871035）.

江娟（1986—），女，碩士，主要從事超平面構(gòu)形的組合性質(zhì)研究；通訊作者：裴東河（1964—），男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事奇點(diǎn)理論和超平面構(gòu)形研究.

陶 理）