王曉芳,洪 鑫,林 海
(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院,北京100081)
隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展,導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的能力不斷增強(qiáng),單枚導(dǎo)彈作戰(zhàn)在很多情況下已無法滿足戰(zhàn)場的要求,多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)變得越來越重要.為了提高導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的殺傷力,通常對攻擊角度有要求,而為了實(shí)現(xiàn)飽和攻擊,又對攻擊時(shí)間有要求.文獻(xiàn)[1~3]分別基于最優(yōu)控制理論和比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)了控制導(dǎo)彈攻擊角度的制導(dǎo)律;文獻(xiàn)[4,5]對具有攻擊時(shí)間約束的制導(dǎo)律進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[6]基于最優(yōu)控制理論提出了一種可同時(shí)控制多枚導(dǎo)彈攻擊方位角和攻擊時(shí)間的二維制導(dǎo)律;文獻(xiàn)[7,8]中提出了同時(shí)具有攻擊角度和攻擊時(shí)間約束的三維制導(dǎo)律,但兩種制導(dǎo)律都需要預(yù)先設(shè)定理想攻擊時(shí)間,而理想攻擊時(shí)間的合理設(shè)定一直是一個(gè)難點(diǎn).
本文提出一種對多枚導(dǎo)彈的攻擊角度和攻擊時(shí)間進(jìn)行控制的基于虛擬球體的方法.選其中一枚導(dǎo)彈作為領(lǐng)彈,以目標(biāo)為球心、領(lǐng)彈與目標(biāo)之間的距離為半徑構(gòu)造虛擬球體,針對剩余的每枚導(dǎo)彈(稱作從彈)設(shè)計(jì)對應(yīng)在虛擬球體表面的虛擬點(diǎn):虛擬點(diǎn)和目標(biāo)連線的方向?yàn)榇藦膹椀睦硐牍艚欠较?領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引律,虛擬球體隨著領(lǐng)彈的飛行逐漸縮小至目標(biāo)點(diǎn),設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器控制從彈逼近和跟蹤虛擬點(diǎn),從而實(shí)現(xiàn)多枚導(dǎo)彈從不同的角度同時(shí)命中目標(biāo).為了減小從彈對虛擬點(diǎn)逼近和跟蹤時(shí)的需用過載,基于以上思路,對虛擬點(diǎn)軌跡進(jìn)行了改進(jìn)設(shè)計(jì).
多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)時(shí),選擇其中一枚為領(lǐng)彈.在以目標(biāo)為球心、領(lǐng)彈距目標(biāo)的距離為半徑的虛擬球體上,根據(jù)某從彈的理想攻擊角確定它此時(shí)對應(yīng)的虛擬點(diǎn),如圖1所示.圖1中,Axyz為地面坐標(biāo)系,Ml(xl,yl,zl)、Mfi(xfi,yfi,zfi)、Mvi(xvi,yvi,zvi)和T(xt,yt,zt)分別為領(lǐng)彈、第i枚從彈和它對應(yīng)的虛擬點(diǎn)、目標(biāo)及它們在地面坐標(biāo)系中的位置.rl為領(lǐng)彈與目標(biāo)之間的距離.εyi和εzi為第i枚從彈在俯仰方向和偏航方向的理想攻擊角.Mvixviyvizvi為虛擬點(diǎn)坐標(biāo)系,它的原點(diǎn)為虛擬點(diǎn)Mvi,Mvixvi軸與虛擬點(diǎn)和目標(biāo)的連線重合,指向目標(biāo)為正;Mviyvi軸位于包含Mvixvi軸的鉛垂面內(nèi)垂直于Mvixvi軸,指向上為正;Mvizvi軸與其它兩軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系.
圖1 領(lǐng)彈、從彈與虛擬點(diǎn)的相對位置圖
在對協(xié)同作戰(zhàn)的導(dǎo)彈進(jìn)行攻擊角度和攻擊時(shí)間控制的研究中,假設(shè)從彈的控制系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的,即可以實(shí)現(xiàn)對從彈速度指令vfc,彈道傾角指令θfc以及彈道偏角指令ψVfc的穩(wěn)定跟隨控制.設(shè)這3個(gè)通道可以簡化為參考文獻(xiàn)[9]中所示的一階系統(tǒng),為了節(jié)省篇幅,這里不再列出.本文中vf、θf和ψVf亦指從彈的速度、彈道傾角和彈道偏角.
本文中控制方法的設(shè)計(jì)思路:首先,以目標(biāo)為球心,領(lǐng)彈相對于目標(biāo)的距離為半徑構(gòu)造一虛擬球體,然后根據(jù)某從彈的理想攻擊角確定其在虛擬球體上的一個(gè)虛擬點(diǎn),最后設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器控制從彈逼近并跟蹤此虛擬點(diǎn).當(dāng)領(lǐng)彈按照比例導(dǎo)引律攻擊目標(biāo)時(shí),所構(gòu)造的虛擬球體將隨領(lǐng)彈與目標(biāo)的距離變短而逐漸縮小,虛擬球體上的虛擬點(diǎn)從理想攻擊角方向以直線逼近目標(biāo),控制器控制從彈跟蹤虛擬點(diǎn)運(yùn)動(dòng),最后以理想攻擊角和領(lǐng)彈同時(shí)到達(dá)目標(biāo).根據(jù)圖1可知,在已知目標(biāo)位置的基礎(chǔ)上,虛擬點(diǎn)在地面坐標(biāo)系中的位置可表示為(省去下標(biāo)i)
本文中的理想攻擊角εy、εz為常數(shù),那么,對式(1)求導(dǎo)可得到:
式中,目標(biāo)位置、εy、εz已知,由于領(lǐng)彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已知,因此l也可計(jì)算得到,則在導(dǎo)彈飛行過程中,根據(jù)式(2)可得到每一時(shí)刻的v、v和v.
表征從彈運(yùn)動(dòng)的方程組為
從彈與其對應(yīng)的虛擬點(diǎn)在地面坐標(biāo)系中的位置差為
將從彈與虛擬點(diǎn)在地面坐標(biāo)系中的位置差轉(zhuǎn)換到虛擬點(diǎn)坐標(biāo)系中有:
式中,L(εy)、L(εz)為初等旋轉(zhuǎn)矩陣,其值可見文獻(xiàn)[10].將式(4)代入式(5)展開、化簡并求導(dǎo)可得:
為了簡化式(7)的表達(dá)形式,可令:
由于εy、εz、v、v和v均為已知,因此Ai、Bi、Ci(i=1,2,3,4)為已知.式(7)變?yōu)?/p>
在控制攻擊角度和攻擊時(shí)間的控制器中,控制變量為從彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù)vf、θf和ψVf.從式(8)可知,此時(shí)的系統(tǒng)為非線性控制系統(tǒng),可通過變量代換的方法使其可采用線性系統(tǒng)的方法進(jìn)行求解.令u1=vfcosθfcosψVf,u2=vfsinθf,u3=vfcosθfsinψVf,則式(8)變?yōu)?/p>
將式(9)寫成狀態(tài)方程,形式為
式中,狀態(tài)變量X=(x′dy′dz′d)T,控制變量U=(u1u2u3)T,擾動(dòng)量W=(A1B1C1)T,系統(tǒng)矩陣A為零矩陣,控制矩陣B為
對系統(tǒng)進(jìn)行控制的目的是使從彈與虛擬點(diǎn)重合并跟蹤虛擬點(diǎn),也就是使X為0.在求得控制變量U后,通過變換得到從彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù)指令vfc、θfc和ψVfc,變換公式為
運(yùn)動(dòng)參數(shù)指令經(jīng)過從彈的一階穩(wěn)定控制系統(tǒng),得到從彈的真實(shí)飛行參數(shù)vf、θf和ψVf.
理想的虛擬點(diǎn)軌跡是一條直線,直接控制從彈逼近這條直線,對從彈的需用過載提出較高的要求.如對虛擬點(diǎn)軌跡進(jìn)行改進(jìn),使它的前段變?yōu)榍€,逐步過渡交匯到原來設(shè)計(jì)的直線上,然后控制從彈逼近這條“曲線+直線”的軌跡,則會(huì)顯著降低對從彈需用過載的要求.假設(shè)當(dāng)前從彈距目標(biāo)的距離為rf,從彈與目標(biāo)之間的視線角為εyf和εzf.把虛擬點(diǎn)和從彈到目標(biāo)的距離之差Δr=rl-rf、理想攻擊角和實(shí)際視線角之差Δεy=εy-εyf、Δεz=εz-εzf分為N份,設(shè)計(jì)虛擬點(diǎn)分N步逐漸靠近理想虛擬點(diǎn),N步以后和理想虛擬點(diǎn)重合.這時(shí),虛擬點(diǎn)在地面坐標(biāo)系的位置由式(1)變?yōu)?/p>
式中,整數(shù)n=1,2,…N.領(lǐng)彈的攻擊時(shí)間t*可根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的算法預(yù)估得到,假設(shè)仿真步長為h,則N可根據(jù)以下式子取值:
式中,系數(shù)k≤1.k越大,實(shí)際虛擬點(diǎn)軌跡交匯到理想虛擬點(diǎn)軌跡上的時(shí)間越晚,對降低導(dǎo)彈的需用過載要求越有利.
對式(10)所示的模型進(jìn)行變換,令W′=B-1W,則式(10)可變?yōu)?/p>
令U1=U+W′,則有:=AX+BU1.
采用最優(yōu)控制原理對式(14)所示問題進(jìn)行求解.由于控制的目的是使?fàn)顟B(tài)X為0,因此可把其看作一個(gè)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題.控制器的性能指標(biāo)采用如下所示的線性二次性能指標(biāo):
式中,P、Q為對稱半正定陣,R為對稱正定陣,為了計(jì)算的方便,它們通常取對角常數(shù)陣.XF為終點(diǎn)時(shí)的狀態(tài),本問題中它為0.這時(shí),線性二次性能指標(biāo)變?yōu)?/p>
系統(tǒng)的初始條件為開始時(shí)從彈與虛擬點(diǎn)的位置差,可由式(4)計(jì)算得到.根據(jù)最優(yōu)控制理論可得到最優(yōu)控制量的解為U1=-R-1BTKX.式中,K為最優(yōu)控制黎卡提方程的解.再作變換得到式(10)所示系統(tǒng)的控制變量為U=U1-W′.得到U之后根據(jù)式(11)便得到從彈的運(yùn)動(dòng)參數(shù)指令.
假設(shè)領(lǐng)彈和3枚從彈協(xié)同攻擊一個(gè)直線運(yùn)動(dòng)艦艇.目標(biāo)的初始位置為(6000m,0,3 000m),速度為18m/s,航向角為45°.4枚導(dǎo)彈均由平飛狀態(tài)轉(zhuǎn)入末制導(dǎo),因此,初始彈道傾角均設(shè)為0,考慮導(dǎo)彈在偏航方向受到中制導(dǎo)的作用,設(shè)轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)時(shí)導(dǎo)彈的彈道偏角與視線角相差不大,4枚導(dǎo)彈的初始參數(shù)如表1所示.從彈控制系統(tǒng)中速度、彈道傾角、彈道偏角3個(gè)控制通道的時(shí)間常數(shù)分別為3s、1s、1s.控制器的權(quán)系數(shù)矩陣為Q=diag(1,1,1),R=diag(0.5,0.5,0.5).考慮到導(dǎo)彈的能量限制,對從彈的飛行狀態(tài)進(jìn)行限幅,即|vf-vf0|≤60 m/s,|θf-θf0|≤15°,|ψVf-ψVf0|≤30°,其中帶下標(biāo)“0”的量表示初始值.
表1 導(dǎo)彈的初始參數(shù)
領(lǐng)彈在俯仰方向和偏航方向均采用比例系數(shù)為3的比例導(dǎo)引律,從彈采用所設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器,仿真結(jié)果如圖2~圖5所示.3枚從彈的理想攻擊角和實(shí)際攻擊角以及攻擊時(shí)間如表2所示,t*為攻擊時(shí)間,εys、εzs為導(dǎo)彈(包括領(lǐng)彈和從彈)的實(shí)際攻擊角,對于從彈來講,εys=εyf,εzs=εzf.
圖2 導(dǎo)彈三維彈道圖
圖3 從彈速度變化圖
圖4 從彈彈道傾角變化圖
圖5 從彈彈道偏角變化圖
表2 導(dǎo)彈的攻擊角度和攻擊時(shí)間
對仿真結(jié)果進(jìn)行分析可知:
①在飛行時(shí)間為34.66s時(shí),領(lǐng)彈與3枚從彈距目標(biāo)的距離均小于2m,可認(rèn)為4枚導(dǎo)彈同時(shí)命中了目標(biāo).4枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的攻擊時(shí)間由領(lǐng)彈的飛行時(shí)間確定,并不需要提前指定,因此,本文中的方法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)比較方便.
②3枚從彈在俯仰方向和偏航方向的實(shí)際攻擊角與理想攻擊角相差不大,最大偏差不超過1°.本文中,領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引律飛行,并沒有對它的攻擊角度進(jìn)行控制.但由于領(lǐng)彈在以比例導(dǎo)引律飛行,可以估算出它的攻擊角度,這個(gè)攻擊角度作為其它幾枚從彈理想攻擊角度設(shè)定的參考.通過設(shè)定不同的理想攻擊角來實(shí)現(xiàn)領(lǐng)彈和從彈從不同的方向命中目標(biāo),得到良好的作戰(zhàn)效果.在實(shí)際應(yīng)用時(shí),領(lǐng)彈也可以采用帶有落角約束的任何一種制導(dǎo)律來對它的攻擊角度進(jìn)行控制,這并不影響本文所提方法的使用.本文的領(lǐng)彈之所以采用比例導(dǎo)引律,是出于對導(dǎo)彈命中精度和協(xié)同作戰(zhàn)時(shí)高低彈道綜合應(yīng)用的考慮.
③由于從彈1、從彈2和從彈3的初始視線角和速度矢量方向與理想攻擊角偏差較大,因此,3個(gè)從彈控制器開始時(shí)輸出的速度、彈道傾角和彈道偏角比較大,均被限幅.從彈3的初始彈目距離與領(lǐng)彈的初始彈目距離之差、豎直方向的初始視線角與理想攻擊角之差比從彈1和從彈2大,因此,控制器輸出的速度和彈道傾角受到限幅的時(shí)間最長.而在偏航方向,從彈3的初始視線角與理想攻擊角之差最小,因此,從彈3控制器輸出的彈道偏角受限幅時(shí)間最短,最先達(dá)到穩(wěn)態(tài).圖3~圖5中的曲線是控制指令經(jīng)過從彈一階慣性控制系統(tǒng)后的從彈實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的曲線,上述結(jié)論可從圖3~圖5中看出.由以上分析可知,從彈的初始狀態(tài)對控制器的輸出有較大的影響.
④通過調(diào)節(jié)控制器的權(quán)系數(shù)矩陣Q和R可以減小控制的穩(wěn)態(tài)誤差,但同時(shí)會(huì)影響控制量及其變化率,因此需要合理設(shè)置控制器的權(quán)系數(shù)矩陣,使穩(wěn)態(tài)誤差和控制量都在允許的范圍內(nèi).
采用如式(12)所示的方法對虛擬點(diǎn)軌跡進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì),N按照式(13)取值,本算例中取k=1.以從彈2為例,理想虛擬點(diǎn)軌跡、實(shí)際虛擬點(diǎn)軌跡以及從彈2的彈道如圖6所示.改進(jìn)前后的從彈2的法向過載隨時(shí)間的變化如圖7、圖8所示,圖中nyf和nzf分別為從彈2在鉛垂平面和水平面內(nèi)的法向過載.
由圖中可見,改進(jìn)后的虛擬點(diǎn)軌跡先是一段曲線,此曲線逐漸逼近理想虛擬點(diǎn)的直線軌跡,最后和理想虛擬點(diǎn)軌跡重合,從彈趨近并跟蹤改進(jìn)后的虛擬點(diǎn)軌跡,最后實(shí)現(xiàn)了對攻擊角度和攻擊時(shí)間的控制.虛擬點(diǎn)軌跡改進(jìn)后,導(dǎo)彈的需用過載也大大減小.
圖6 虛擬點(diǎn)軌跡及從彈2彈道圖
圖7 從彈2在鉛垂平面內(nèi)的法向過載變化圖
圖8 從彈2在水平面內(nèi)的法向過載變化圖
針對多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)的情況,本文提出了一種控制從彈跟蹤位于逐漸縮小的虛擬球體上的虛擬點(diǎn),從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈攻擊時(shí)間和攻擊角度協(xié)同的方法.本方法具有無需事先指定理想攻擊時(shí)間、可攻擊的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不受限制、可實(shí)現(xiàn)三維空間攻擊的優(yōu)點(diǎn).另外,還可設(shè)計(jì)不同的算法對虛擬點(diǎn)軌跡進(jìn)行改進(jìn)來減小從彈的需用過載.總之,該方法在應(yīng)用方面有很大靈活性,具有較廣闊的軍事應(yīng)用前景.
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