王曉芳，洪 鑫，林 海

（北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081）

隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的能力不斷增強(qiáng)，單枚導(dǎo)彈作戰(zhàn)在很多情況下已無法滿足戰(zhàn)場的要求，多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)變得越來越重要.為了提高導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的殺傷力，通常對攻擊角度有要求，而為了實現(xiàn)飽和攻擊，又對攻擊時間有要求.文獻(xiàn)[1～3]分別基于最優(yōu)控制理論和比例導(dǎo)引律設(shè)計了控制導(dǎo)彈攻擊角度的制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[4，5]對具有攻擊時間約束的制導(dǎo)律進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[6]基于最優(yōu)控制理論提出了一種可同時控制多枚導(dǎo)彈攻擊方位角和攻擊時間的二維制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[7，8]中提出了同時具有攻擊角度和攻擊時間約束的三維制導(dǎo)律，但兩種制導(dǎo)律都需要預(yù)先設(shè)定理想攻擊時間，而理想攻擊時間的合理設(shè)定一直是一個難點.

本文提出一種對多枚導(dǎo)彈的攻擊角度和攻擊時間進(jìn)行控制的基于虛擬球體的方法.選其中一枚導(dǎo)彈作為領(lǐng)彈，以目標(biāo)為球心、領(lǐng)彈與目標(biāo)之間的距離為半徑構(gòu)造虛擬球體，針對剩余的每枚導(dǎo)彈（稱作從彈）設(shè)計對應(yīng)在虛擬球體表面的虛擬點：虛擬點和目標(biāo)連線的方向為此從彈的理想攻擊角方向.領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引律，虛擬球體隨著領(lǐng)彈的飛行逐漸縮小至目標(biāo)點，設(shè)計最優(yōu)控制器控制從彈逼近和跟蹤虛擬點，從而實現(xiàn)多枚導(dǎo)彈從不同的角度同時命中目標(biāo).為了減小從彈對虛擬點逼近和跟蹤時的需用過載，基于以上思路，對虛擬點軌跡進(jìn)行了改進(jìn)設(shè)計.

1 攻擊角度和攻擊時間控制模型

多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)時，選擇其中一枚為領(lǐng)彈.在以目標(biāo)為球心、領(lǐng)彈距目標(biāo)的距離為半徑的虛擬球體上，根據(jù)某從彈的理想攻擊角確定它此時對應(yīng)的虛擬點，如圖1所示.圖1中，Axyz為地面坐標(biāo)系，Ml（xl，yl，zl）、Mfi（xfi，yfi，zfi）、Mvi（xvi，yvi，zvi）和T（xt，yt，zt）分別為領(lǐng)彈、第i枚從彈和它對應(yīng)的虛擬點、目標(biāo)及它們在地面坐標(biāo)系中的位置.rl為領(lǐng)彈與目標(biāo)之間的距離.εyi和εzi為第i枚從彈在俯仰方向和偏航方向的理想攻擊角.Mvixviyvizvi為虛擬點坐標(biāo)系，它的原點為虛擬點Mvi，Mvixvi軸與虛擬點和目標(biāo)的連線重合，指向目標(biāo)為正；Mviyvi軸位于包含Mvixvi軸的鉛垂面內(nèi)垂直于Mvixvi軸，指向上為正；Mvizvi軸與其它兩軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系.

圖1 領(lǐng)彈、從彈與虛擬點的相對位置圖

在對協(xié)同作戰(zhàn)的導(dǎo)彈進(jìn)行攻擊角度和攻擊時間控制的研究中，假設(shè)從彈的控制系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的，即可以實現(xiàn)對從彈速度指令vfc，彈道傾角指令θfc以及彈道偏角指令ψVfc的穩(wěn)定跟隨控制.設(shè)這3個通道可以簡化為參考文獻(xiàn)[9]中所示的一階系統(tǒng)，為了節(jié)省篇幅，這里不再列出.本文中vf、θf和ψVf亦指從彈的速度、彈道傾角和彈道偏角.

本文中控制方法的設(shè)計思路：首先，以目標(biāo)為球心，領(lǐng)彈相對于目標(biāo)的距離為半徑構(gòu)造一虛擬球體，然后根據(jù)某從彈的理想攻擊角確定其在虛擬球體上的一個虛擬點，最后設(shè)計最優(yōu)控制器控制從彈逼近并跟蹤此虛擬點.當(dāng)領(lǐng)彈按照比例導(dǎo)引律攻擊目標(biāo)時，所構(gòu)造的虛擬球體將隨領(lǐng)彈與目標(biāo)的距離變短而逐漸縮小，虛擬球體上的虛擬點從理想攻擊角方向以直線逼近目標(biāo)，控制器控制從彈跟蹤虛擬點運(yùn)動，最后以理想攻擊角和領(lǐng)彈同時到達(dá)目標(biāo).根據(jù)圖1可知，在已知目標(biāo)位置的基礎(chǔ)上，虛擬點在地面坐標(biāo)系中的位置可表示為（省去下標(biāo)i）

本文中的理想攻擊角εy、εz為常數(shù)，那么，對式（1）求導(dǎo)可得到：

式中，目標(biāo)位置、εy、εz已知，由于領(lǐng)彈運(yùn)動狀態(tài)已知，因此l也可計算得到，則在導(dǎo)彈飛行過程中，根據(jù)式（2）可得到每一時刻的v、v和v.

表征從彈運(yùn)動的方程組為

從彈與其對應(yīng)的虛擬點在地面坐標(biāo)系中的位置差為

將從彈與虛擬點在地面坐標(biāo)系中的位置差轉(zhuǎn)換到虛擬點坐標(biāo)系中有：

式中，L（εy）、L（εz）為初等旋轉(zhuǎn)矩陣，其值可見文獻(xiàn)[10].將式（4）代入式（5）展開、化簡并求導(dǎo)可得：

為了簡化式（7）的表達(dá)形式，可令：

由于εy、εz、v、v和v均為已知，因此Ai、Bi、Ci（i＝1，2，3，4）為已知.式（7）變?yōu)?/p>

在控制攻擊角度和攻擊時間的控制器中，控制變量為從彈的運(yùn)動參數(shù)vf、θf和ψVf.從式（8）可知，此時的系統(tǒng)為非線性控制系統(tǒng)，可通過變量代換的方法使其可采用線性系統(tǒng)的方法進(jìn)行求解.令u1＝vfcosθfcosψVf，u2＝vfsinθf，u3＝vfcosθfsinψVf，則式（8）變?yōu)?/p>

將式（9）寫成狀態(tài)方程，形式為

式中，狀態(tài)變量X＝（x′dy′dz′d）T，控制變量U＝（u1u2u3）T，擾動量W＝（A1B1C1）T，系統(tǒng)矩陣A為零矩陣，控制矩陣B為

對系統(tǒng)進(jìn)行控制的目的是使從彈與虛擬點重合并跟蹤虛擬點，也就是使X為0.在求得控制變量U后，通過變換得到從彈的運(yùn)動參數(shù)指令vfc、θfc和ψVfc，變換公式為

運(yùn)動參數(shù)指令經(jīng)過從彈的一階穩(wěn)定控制系統(tǒng)，得到從彈的真實飛行參數(shù)vf、θf和ψVf.

2 虛擬點軌跡的改進(jìn)

理想的虛擬點軌跡是一條直線，直接控制從彈逼近這條直線，對從彈的需用過載提出較高的要求.如對虛擬點軌跡進(jìn)行改進(jìn)，使它的前段變?yōu)榍€，逐步過渡交匯到原來設(shè)計的直線上，然后控制從彈逼近這條“曲線＋直線”的軌跡，則會顯著降低對從彈需用過載的要求.假設(shè)當(dāng)前從彈距目標(biāo)的距離為rf，從彈與目標(biāo)之間的視線角為εyf和εzf.把虛擬點和從彈到目標(biāo)的距離之差Δr＝rl－rf、理想攻擊角和實際視線角之差Δεy＝εy－εyf、Δεz＝εz－εzf分為N份，設(shè)計虛擬點分N步逐漸靠近理想虛擬點，N步以后和理想虛擬點重合.這時，虛擬點在地面坐標(biāo)系的位置由式（1）變?yōu)?/p>

式中，整數(shù)n＝1，2，…N.領(lǐng)彈的攻擊時間t＊可根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的算法預(yù)估得到，假設(shè)仿真步長為h，則N可根據(jù)以下式子取值：

式中，系數(shù)k≤1.k越大，實際虛擬點軌跡交匯到理想虛擬點軌跡上的時間越晚，對降低導(dǎo)彈的需用過載要求越有利.

3 最優(yōu)控制器的設(shè)計

對式（10）所示的模型進(jìn)行變換，令W′＝B－1W，則式（10）可變?yōu)?/p>

令U1＝U＋W′，則有：＝AX＋BU1.

采用最優(yōu)控制原理對式（14）所示問題進(jìn)行求解.由于控制的目的是使?fàn)顟B(tài)X為0，因此可把其看作一個狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題.控制器的性能指標(biāo)采用如下所示的線性二次性能指標(biāo)：

式中，P、Q為對稱半正定陣，R為對稱正定陣，為了計算的方便，它們通常取對角常數(shù)陣.XF為終點時的狀態(tài)，本問題中它為0.這時，線性二次性能指標(biāo)變?yōu)?/p>

系統(tǒng)的初始條件為開始時從彈與虛擬點的位置差，可由式（4）計算得到.根據(jù)最優(yōu)控制理論可得到最優(yōu)控制量的解為U1＝－R－1BTKX.式中，K為最優(yōu)控制黎卡提方程的解.再作變換得到式（10）所示系統(tǒng)的控制變量為U＝U1－W′.得到U之后根據(jù)式（11）便得到從彈的運(yùn)動參數(shù)指令.

4 仿真分析

假設(shè)領(lǐng)彈和3枚從彈協(xié)同攻擊一個直線運(yùn)動艦艇.目標(biāo)的初始位置為（6000m，0，3 000m），速度為18m/s，航向角為45°.4枚導(dǎo)彈均由平飛狀態(tài)轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)，因此，初始彈道傾角均設(shè)為0，考慮導(dǎo)彈在偏航方向受到中制導(dǎo)的作用，設(shè)轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)時導(dǎo)彈的彈道偏角與視線角相差不大，4枚導(dǎo)彈的初始參數(shù)如表1所示.從彈控制系統(tǒng)中速度、彈道傾角、彈道偏角3個控制通道的時間常數(shù)分別為3s、1s、1s.控制器的權(quán)系數(shù)矩陣為Q＝diag（1，1，1），R＝diag（0.5，0.5，0.5）.考慮到導(dǎo)彈的能量限制，對從彈的飛行狀態(tài)進(jìn)行限幅，即｜vf－vf0｜≤60 m/s，｜θf－θf0｜≤15°，｜ψVf－ψVf0｜≤30°，其中帶下標(biāo)“0”的量表示初始值.

表1 導(dǎo)彈的初始參數(shù)

領(lǐng)彈在俯仰方向和偏航方向均采用比例系數(shù)為3的比例導(dǎo)引律，從彈采用所設(shè)計的最優(yōu)控制器，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示.3枚從彈的理想攻擊角和實際攻擊角以及攻擊時間如表2所示，t＊為攻擊時間，εys、εzs為導(dǎo)彈（包括領(lǐng)彈和從彈）的實際攻擊角，對于從彈來講，εys＝εyf，εzs＝εzf.

圖2 導(dǎo)彈三維彈道圖

圖3 從彈速度變化圖

圖4 從彈彈道傾角變化圖

圖5 從彈彈道偏角變化圖

表2 導(dǎo)彈的攻擊角度和攻擊時間

對仿真結(jié)果進(jìn)行分析可知：

①在飛行時間為34.66s時，領(lǐng)彈與3枚從彈距目標(biāo)的距離均小于2m，可認(rèn)為4枚導(dǎo)彈同時命中了目標(biāo).4枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的攻擊時間由領(lǐng)彈的飛行時間確定，并不需要提前指定，因此，本文中的方法在實際應(yīng)用時比較方便.

②3枚從彈在俯仰方向和偏航方向的實際攻擊角與理想攻擊角相差不大，最大偏差不超過1°.本文中，領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引律飛行，并沒有對它的攻擊角度進(jìn)行控制.但由于領(lǐng)彈在以比例導(dǎo)引律飛行，可以估算出它的攻擊角度，這個攻擊角度作為其它幾枚從彈理想攻擊角度設(shè)定的參考.通過設(shè)定不同的理想攻擊角來實現(xiàn)領(lǐng)彈和從彈從不同的方向命中目標(biāo)，得到良好的作戰(zhàn)效果.在實際應(yīng)用時，領(lǐng)彈也可以采用帶有落角約束的任何一種制導(dǎo)律來對它的攻擊角度進(jìn)行控制，這并不影響本文所提方法的使用.本文的領(lǐng)彈之所以采用比例導(dǎo)引律，是出于對導(dǎo)彈命中精度和協(xié)同作戰(zhàn)時高低彈道綜合應(yīng)用的考慮.

③由于從彈1、從彈2和從彈3的初始視線角和速度矢量方向與理想攻擊角偏差較大，因此，3個從彈控制器開始時輸出的速度、彈道傾角和彈道偏角比較大，均被限幅.從彈3的初始彈目距離與領(lǐng)彈的初始彈目距離之差、豎直方向的初始視線角與理想攻擊角之差比從彈1和從彈2大，因此，控制器輸出的速度和彈道傾角受到限幅的時間最長.而在偏航方向，從彈3的初始視線角與理想攻擊角之差最小，因此，從彈3控制器輸出的彈道偏角受限幅時間最短，最先達(dá)到穩(wěn)態(tài).圖3～圖5中的曲線是控制指令經(jīng)過從彈一階慣性控制系統(tǒng)后的從彈實際運(yùn)動狀態(tài)隨時間變化的曲線，上述結(jié)論可從圖3～圖5中看出.由以上分析可知，從彈的初始狀態(tài)對控制器的輸出有較大的影響.

④通過調(diào)節(jié)控制器的權(quán)系數(shù)矩陣Q和R可以減小控制的穩(wěn)態(tài)誤差，但同時會影響控制量及其變化率，因此需要合理設(shè)置控制器的權(quán)系數(shù)矩陣，使穩(wěn)態(tài)誤差和控制量都在允許的范圍內(nèi).

采用如式（12）所示的方法對虛擬點軌跡進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計，N按照式（13）取值，本算例中取k＝1.以從彈2為例，理想虛擬點軌跡、實際虛擬點軌跡以及從彈2的彈道如圖6所示.改進(jìn)前后的從彈2的法向過載隨時間的變化如圖7、圖8所示，圖中nyf和nzf分別為從彈2在鉛垂平面和水平面內(nèi)的法向過載.

由圖中可見，改進(jìn)后的虛擬點軌跡先是一段曲線，此曲線逐漸逼近理想虛擬點的直線軌跡，最后和理想虛擬點軌跡重合，從彈趨近并跟蹤改進(jìn)后的虛擬點軌跡，最后實現(xiàn)了對攻擊角度和攻擊時間的控制.虛擬點軌跡改進(jìn)后，導(dǎo)彈的需用過載也大大減小.

圖6 虛擬點軌跡及從彈2彈道圖

圖7 從彈2在鉛垂平面內(nèi)的法向過載變化圖

圖8 從彈2在水平面內(nèi)的法向過載變化圖

5 結(jié)束語

針對多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)的情況，本文提出了一種控制從彈跟蹤位于逐漸縮小的虛擬球體上的虛擬點，從而實現(xiàn)導(dǎo)彈攻擊時間和攻擊角度協(xié)同的方法.本方法具有無需事先指定理想攻擊時間、可攻擊的目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)不受限制、可實現(xiàn)三維空間攻擊的優(yōu)點.另外，還可設(shè)計不同的算法對虛擬點軌跡進(jìn)行改進(jìn)來減小從彈的需用過載.總之，該方法在應(yīng)用方面有很大靈活性，具有較廣闊的軍事應(yīng)用前景.

[1]SONG T L，SHIN S J，CHO H.Impact angle control for planar engagements[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1999，35（4）：1 439－1 444.

[2]RATNOO A，GHOSE D.Impact angle constrained interception of stationary targets[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31（6）：1 816－1 821.

[3]顧文錦，雷軍委，潘長鵬.帶落角限制的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引律設(shè)計[J].飛行力學(xué)，2006，24（2）：43－46.GU Wen－jin，LEI Jun－wei，PAN Chang－peng.Design of the climbing trajectory using virtual target’s proportional navigation method with the control of terminal azimuth of a missile[J].Flight Dynamics，2006，24（2）：43－46.（in Chinese）

[4]JEON I S，LEE J I，TAHK M J.Homing guidance law for cooperative attack of multiple missiles[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33（1）：275－280.

[5]趙世鈺，周銳.基于協(xié)調(diào)變量的多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)[J].航空學(xué)報，2008，29（6）：1 605－1 611.ZHAO Shi－yu，ZHOU Rui.Multi－missile cooperative guidance using coordination variable[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2008，29（6）：1 605－1 611.（in Chinese）

[6]LEE J I，JEON I S，TAHK M J.Guidance law to control impact time and angle[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2007，43（1）：301－310.

[7]JUNG B，KIM Y.Guidance law for anti－ship missiles using impact angle and impact time[C].AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.USA：AIAA，2006：1－13.

[8]張友安，馬培蓓.帶有攻擊角度和攻擊時間控制的三維制導(dǎo)[J].航空學(xué)報，2008，29（4）：1 020－1 026.ZHANG You－an，MA Pei－bei.Three－dimensional guidance law with impact angle and impact time constraints[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2008，29（4）：1 020－1 026.（in Chinese）

[9]韋常柱，郭繼峰，崔乃剛.導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)編隊隊形最優(yōu)保持控制器設(shè)計[J].宇航學(xué)報，2010，31（4）：1 043－1 050.WEI Chang－zhu，GUO Ji－feng，CUI Nai－gang.Research on the missile formation keeping optical control for cooperative engagement[J].Journal of Astronautics，2010，31 （4）：1 043 －1 050.（in Chinese）

[10]錢杏芳，林瑞雄，趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2003.QIAN Xing－fang，LIN Rui－xiong，ZHAO Ya－nan.Missile flight dynamics[M].Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2003.