李春波，余春暉，李景鎮(zhèn)，柴金龍，劉春平，凌中水，黃虹賓，

1)深圳大學(xué)機(jī)電與控制工程學(xué)院，深圳518060;2)深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車與交通學(xué)院，深圳518055;3)深圳市微納光子信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，深圳518060

在微秒級(jí)攝影領(lǐng)域，轉(zhuǎn)鏡式超高速攝影儀在成像的空間帶寬積、實(shí)際動(dòng)態(tài)范圍、畫幅數(shù)等主要攝影性能方面，優(yōu)于電子類相機(jī)［1］，在爆轟物理、高電壓放電、超音速風(fēng)洞、激波物理、爆炸和碎裂、推進(jìn)劑化學(xué)、細(xì)觀和微觀等超快過程現(xiàn)象記錄等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用［2］. 轉(zhuǎn)鏡作為超高速攝影儀中重要的光學(xué)加速部件，其動(dòng)力學(xué)性能直接影響到攝影儀的工作可靠性、時(shí)間分辨率和空間分辨率.Дубовин А С［3］從理論力學(xué)和材料力學(xué)的角度求得轉(zhuǎn)鏡應(yīng)力和變形量的計(jì)算公式. Трачук В С［4］將轉(zhuǎn)鏡復(fù)雜的3 維綜合性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為平面力學(xué)問題，推導(dǎo)出鏡面變形量的二維解析解. 李景鎮(zhèn)等［5-6］提出轉(zhuǎn)鏡強(qiáng)度計(jì)算的簡化公式. 文獻(xiàn)［7-8］提出在無制造缺陷的情況下，轉(zhuǎn)鏡的破壞是共振導(dǎo)致的疲勞破壞. 文獻(xiàn)［9-15］總結(jié)出保證在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)中，轉(zhuǎn)鏡臨界點(diǎn)出現(xiàn)在選定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的方法，研究和提出針對(duì)轉(zhuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)［16-18］在3 維有限元技術(shù)基礎(chǔ)上對(duì)轉(zhuǎn)鏡鏡面變形量進(jìn)行深入研究，提出鏡面變形量的幾何補(bǔ)償方法，并創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)出蜂窩結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)鏡.

轉(zhuǎn)鏡運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)在臨界轉(zhuǎn)速附近，尤其是在1 階臨界轉(zhuǎn)速附近的振動(dòng)現(xiàn)象，以及由此引發(fā)的潛在破壞是轉(zhuǎn)鏡設(shè)計(jì)面臨的重要課題. 在保證轉(zhuǎn)鏡反射鏡面尺寸不變的情況下，提高轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率，一直是困擾轉(zhuǎn)鏡研究者的難題. 本研究基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論，提出轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)拓?fù)涿枋龇绞胶筒牧喜逯的Ｐ?，利用有限元分析軟件ANSYS，以轉(zhuǎn)鏡基頻為拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)，轉(zhuǎn)鏡體積為約束條件，結(jié)合當(dāng)前國內(nèi)應(yīng)用最廣泛的大畫幅和大畫幅數(shù)鋁轉(zhuǎn)鏡，在不改變轉(zhuǎn)鏡鏡面尺寸前提下，進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)涞膬?yōu)化分析，并根據(jù)分析得到的轉(zhuǎn)鏡偽密度分布圖對(duì)轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，最后，對(duì)修改前后的轉(zhuǎn)鏡分別進(jìn)行數(shù)值模態(tài)和試驗(yàn)分析. 研究發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率由原來的713.6 Hz 提高到821.4 Hz，1 階臨界轉(zhuǎn)速提高了15.1%，其他各階固有頻率也有顯著提高;修改前后轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)值解和試驗(yàn)結(jié)果的一致性證明轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的正確性. 轉(zhuǎn)鏡的拓?fù)鋬?yōu)化分析為轉(zhuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)性能的修改指出新的方向.

1 轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化分析原理

1.1 轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化插值模型

均勻化方法和變密度法是當(dāng)前連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的兩個(gè)基本方法. 現(xiàn)有的主要密度插值模型包括材料屬性的合理近似模型 (rational approximation of material properties，RAMP)［19］和固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)［20-21］. 根據(jù)SIMP 方法，轉(zhuǎn)鏡材料插值模型的本質(zhì)，是將轉(zhuǎn)鏡變量進(jìn)行0 -1 離散后再對(duì)離散變量進(jìn)行優(yōu)化組合(0 表示該部分材料可以去除，1 表示該部分材料需要保留). 通過將轉(zhuǎn)鏡連續(xù)變量的密度函數(shù)顯式地表達(dá)成離散化后單元相對(duì)密度與材料彈性模量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以離散后轉(zhuǎn)鏡每個(gè)單元的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量，人為假定轉(zhuǎn)鏡相對(duì)密度和材料彈性模量間的偽密度對(duì)應(yīng)關(guān)系，并通過引入懲罰因子對(duì)中間密度值進(jìn)行懲罰，使中間密度值向0 -1 兩端聚集，使連續(xù)變量的拓?fù)鋬?yōu)化模型能很好地逼近0 -1 離散變量的優(yōu)化模型. 在這種情況下，中間密度單元對(duì)應(yīng)一個(gè)很小的彈性模量，對(duì)轉(zhuǎn)鏡剛度矩陣的影響很小. 基于上述方法，建立轉(zhuǎn)鏡材料插值模型［20］

其中，ρ(x)為轉(zhuǎn)鏡連續(xù)變量;Eijkl為單元初始彈性模量;E'

如果懲罰因子足夠大，就能夠得到無中間密度的優(yōu)化區(qū)域. 對(duì)于3 維轉(zhuǎn)鏡，懲罰因子滿足關(guān)系式［23］

其中，v0為優(yōu)化區(qū)域材料的泊松比. 轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域?yàn)殓R體，材料為鋁合金，泊松比0.3. 由于懲罰因子越大，中間密度就越小，故在轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化中，取懲罰因子為5.

1.2 優(yōu)化算法

轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化模型建立后，需選擇優(yōu)化算法進(jìn)行求解. 當(dāng)前兩類常用算法有優(yōu)化準(zhǔn)則法［22］(optimality criteria，OC)和序列規(guī)劃法(sequential programming，SP). 本研究選擇序列規(guī)劃法中的凸規(guī)劃法(sequential convex programming，SCP)對(duì)轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行求解. 該方法的基本思想是在求解過程中采用一系列簡單的問題來逐步逼近復(fù)雜問題，通過相關(guān)轉(zhuǎn)化，將轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度的求解轉(zhuǎn)化為一個(gè)較低階次的非線性或線性問題漸近求解. 根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化理論［22-25］，建立轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

其中，θ 為優(yōu)化目標(biāo)，即轉(zhuǎn)鏡第1 階固有頻率;［K］為轉(zhuǎn)鏡剛度矩陣;［M］為轉(zhuǎn)鏡質(zhì)量矩陣;{φi}為第i 階特征值λi對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)鏡模態(tài);x 為轉(zhuǎn)鏡設(shè)計(jì)變量. 為避免剛度矩陣中出現(xiàn)奇異矩陣［23］，取xmin=0.001;V 為優(yōu)化后的轉(zhuǎn)鏡體積;Vj為第j 個(gè)單元的體積;j = 1，2，…，N 為轉(zhuǎn)鏡優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的單元數(shù)目;i = 1，2，…，Ndof為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)目. 在對(duì)轉(zhuǎn)鏡模態(tài)和諧響應(yīng)分析［12-13］中發(fā)現(xiàn)，對(duì)轉(zhuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)性能影響最大的主要是轉(zhuǎn)鏡的前幾階模態(tài)，故提取轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)為10，α 取0.95［22-25］.

優(yōu)化分析轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)洌罐D(zhuǎn)鏡1 階固有頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速高于轉(zhuǎn)鏡的工作轉(zhuǎn)速. 最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化就是使轉(zhuǎn)鏡的基頻最大，故目標(biāo)函數(shù)為

其中，λi為轉(zhuǎn)鏡階特征向量;{φi}T為轉(zhuǎn)鏡i 階振型向量的轉(zhuǎn)置. 最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化就是求解式(5)的最大值.

2 數(shù)值分析

轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)，是轉(zhuǎn)鏡在承受單載荷或多載荷約束條件下，尋求最佳材料分配或最佳傳力路徑的方案，使其1 階固有頻率在滿足給定實(shí)際約束條件下，通過減小結(jié)構(gòu)的變形能，即提高轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)剛度，使其達(dá)到設(shè)計(jì)所需的極大值.與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)相比，轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化最大的不同是不需要給出參數(shù)和優(yōu)化變量定義，目標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)變量都已根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求自行預(yù)定好，只需要給出結(jié)構(gòu)的材料特性、模型、載荷和要省去的材料百分比.

2.1 轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)態(tài)剛度拓?fù)鋬?yōu)化分析模型

轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)值分析的基礎(chǔ)是轉(zhuǎn)鏡的模態(tài)分析，即將轉(zhuǎn)鏡固有頻率作為拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù). 由于1 階固有頻率(即基頻)對(duì)轉(zhuǎn)鏡的動(dòng)態(tài)特性影響最大，故轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)態(tài)剛度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)值分析，直接以轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行單模態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化分析.

圖1 原轉(zhuǎn)鏡模型Fig.1 The original model of rotating mirror

圖1 為原轉(zhuǎn)鏡模型，轉(zhuǎn)鏡由鏡體和轉(zhuǎn)軸兩部分構(gòu)成，兩者經(jīng)過盈配合連接. 轉(zhuǎn)軸材料為45 鋼，經(jīng)調(diào)質(zhì)、淬火處理，彈性模量210 GPa，泊松比0.26，密度7 800 kg/m3. 鏡體選用鋁合金，彈性模量71.7 GPa，泊松比0.33，密度2 780 kg/m3. 采用單列深溝球軸承支撐，一端為固定鉸支，另一端為活動(dòng)鉸支. 由于轉(zhuǎn)鏡鏡面變形量對(duì)時(shí)間分辨率的影響大，故將鏡體表面0.2 mm 的厚度和轉(zhuǎn)軸材料定義為非優(yōu)化的區(qū)域. 定義轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率作為拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)，拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域體積為拓?fù)鋬?yōu)化約束條件，選擇序列凸規(guī)劃法進(jìn)行轉(zhuǎn)鏡的最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析. 通過多次反復(fù)取值進(jìn)行數(shù)值分析和試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，選擇體積減少30%進(jìn)行迭代運(yùn)算，轉(zhuǎn)鏡綜合力學(xué)性能最好. 圖2 ～圖4 為轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化分析結(jié)果.

圖2 偽密度分布圖Fig.2 Pseudo-density distribution

圖3 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線Fig.3 Iterative curve of objective function

圖2 為轉(zhuǎn)鏡偽密度分布圖，轉(zhuǎn)鏡優(yōu)化區(qū)域中3個(gè)尖角部分中間密度值約為0.001. 為避免轉(zhuǎn)鏡模態(tài)分析中剛度矩陣出現(xiàn)奇異，對(duì)轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域優(yōu)化變量取xmin=0.001，故該部分偽密度值可視為0，該部分材料可以刪除. 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線(圖3)和約束條件迭代曲線(圖4)經(jīng)過初期波動(dòng)后趨于水平，說明轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析結(jié)果收斂. 圖2 和圖3 顯示，轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化的1 階固有頻率收斂解為885.7 Hz.

圖4 約束條件迭代曲線Fig.4 Iterative curve of constraint condition

3 轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)優(yōu)化

根據(jù)轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化得到偽密度分布圖，刪除偽密度值小的材料區(qū)域，對(duì)鏡體結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化. 圖5 為修改后新轉(zhuǎn)鏡鏡體的3 維模型. 相比于圖1，圖5 的轉(zhuǎn)鏡外形結(jié)構(gòu)只去除了優(yōu)化區(qū)域偽密度值較小的部分，其他結(jié)構(gòu)尺寸不作修改. 然后對(duì)修改前后轉(zhuǎn)鏡在相同約束條件(圖1)下進(jìn)行模態(tài)分析［9-15］.

圖5 轉(zhuǎn)鏡新模型Fig.5 New model of rotating mirror

表1 為結(jié)構(gòu)修改后轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)值分析，以及原有結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)鏡模態(tài)分析前5 階模態(tài)結(jié)果的對(duì)比. 轉(zhuǎn)鏡優(yōu)化后第1 階模態(tài)值為821.4 Hz. 由于優(yōu)化得到轉(zhuǎn)鏡偽密度圖形中位密度值為0 的單元為非均勻分布，實(shí)際中不可能將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中偽密度值為0的材料完全去除;且由于中間偽密度值的存在，一部分保留的轉(zhuǎn)鏡鏡體單元偽密度值不為1，這是新轉(zhuǎn)鏡的基頻比轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化得到的收斂解要小的原因. 由表1 還可知，轉(zhuǎn)鏡第1 階模態(tài)固有頻率值增加了107.8 Hz，變化率為15.1%，說明轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析的基頻值是正確的.

由于大畫幅超高速攝影儀要求轉(zhuǎn)鏡反射面大，這就使得轉(zhuǎn)鏡體積較大. 轉(zhuǎn)鏡工作轉(zhuǎn)速很高，前幾階固有頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速低于轉(zhuǎn)鏡的工作轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)鏡在加速或減速過程中躍過共振點(diǎn)時(shí)，如果在低階固有頻率的共振帶停留時(shí)間較長，會(huì)因出現(xiàn)共振而被破壞，對(duì)攝影儀的工作可靠性產(chǎn)生直接影響.通過對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化后的轉(zhuǎn)鏡進(jìn)行模態(tài)分析和試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在相同鏡面尺寸下，新轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率相對(duì)原轉(zhuǎn)鏡增加15.1%，第2 階固有頻率增加48%，第3 階固有頻率增加50%. 轉(zhuǎn)鏡最大應(yīng)力由原來的5.38 MPa 增加到5.47 MPa，轉(zhuǎn)鏡的靜強(qiáng)度有輕微降低，但仍滿足設(shè)計(jì)要求. 因此通過對(duì)轉(zhuǎn)鏡基頻進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化分析，使轉(zhuǎn)鏡各階固有頻率都得到很大程度的提高. 這對(duì)大畫幅轉(zhuǎn)鏡的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了可靠有效的設(shè)計(jì)思路.

表1 模態(tài)分析結(jié)果對(duì)比Table 1 Contrast of model analysis results

4 試驗(yàn)分析

轉(zhuǎn)鏡模態(tài)實(shí)驗(yàn)分析系統(tǒng)如圖6. 采用WS-5932綜合信號(hào)采集系統(tǒng)和Vib' SYS 分析軟件，該測(cè)試系統(tǒng)直接以電機(jī)驅(qū)動(dòng)，通過信號(hào)采集系統(tǒng)在線測(cè)量轉(zhuǎn)鏡加速度響應(yīng)信號(hào)，經(jīng)A/D 轉(zhuǎn)換為時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，再通過FFT 變換加Hanning 窗過濾時(shí)域信號(hào)中的噪聲后，得到轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線，最后通過Vib’SYS 軟件的圖像處理功能輸出轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線.圖7 和圖8 分別為原轉(zhuǎn)鏡和新結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)鏡在1 階固有頻率處的頻域響應(yīng)曲線. 由圖7 可見，原轉(zhuǎn)鏡在714.5 Hz 處開始出現(xiàn)峰值，即1 階固有頻率為714.5 Hz，圖8 表明新轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率為823.4 Hz. 考慮到試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值解之間存在不可避免的誤差，因此，可認(rèn)為優(yōu)化前后轉(zhuǎn)鏡的模態(tài)分析結(jié)果是正確的. 數(shù)值解和試驗(yàn)結(jié)果的一致性說明，通過對(duì)已有結(jié)構(gòu)進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化，轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率有很大提高.

圖6 轉(zhuǎn)鏡試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)程序框圖Fig.6 The block diagram of rotating mirror test system

圖7 原轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線Fig.7 The frequency-amplitude characteristic curve of original rotating mirror

圖8 新轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 The frequency-amplitude characteristic curve of new rotating mirror

結(jié) 語

基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論，利用有限元法及ANSYS 軟件，建立轉(zhuǎn)鏡各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)單模態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化插值模型，對(duì)轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析，并根據(jù)轉(zhuǎn)鏡偽密度分布圖，修改原有轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu). 對(duì)修改前后的轉(zhuǎn)鏡進(jìn)行模態(tài)數(shù)值分析和試驗(yàn). 通過對(duì)比兩轉(zhuǎn)鏡的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不改變轉(zhuǎn)鏡反射面尺寸的前提下，轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率增加了107.8 Hz，變化率為15.1%.其他各階固有頻率亦有顯著提高，第2 階模態(tài)值增加48%，第3 階模態(tài)的數(shù)值增加50%. 試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值解一致，為有效提高轉(zhuǎn)鏡的動(dòng)力學(xué)性能，在不改變轉(zhuǎn)鏡鏡面尺寸前提下修改轉(zhuǎn)鏡固有頻率點(diǎn)的位置，提供了新的設(shè)計(jì)思路和方法.

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