陳守東，陳敬超，彭 平

(昆明理工大學，稀貴及有色金屬先進材料教育部重點實驗室，云南省新材料制備與加工重點實驗室，昆明650093)

基于一種改進CA模型模擬雙輥連續(xù)鑄軋純鋁微觀組織

陳守東，陳敬超，彭 平

(昆明理工大學，稀貴及有色金屬先進材料教育部重點實驗室，云南省新材料制備與加工重點實驗室，昆明650093)

基于枝晶生長的基本傳輸過程和元胞自動機(Cellular Automaton，簡稱CA)-有限元(Finite Element，簡稱FE)模型基本原理，建立了適應雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶工藝特點的凝固過程形核和晶體生長的數(shù)學模型.模型耦合了宏觀溫度場和微觀組織模擬計算，考慮了溶質(zhì)擴散、曲率過冷和各向異性等重要因素的影響，定義了界面單元捕獲規(guī)則，能夠模擬凝固過程中枝晶生長的形態(tài).應用本模型對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固過程中等軸晶生長、等軸晶多晶粒生長及柱狀晶生長、柱狀晶向等軸晶演化進行模擬并與實驗結果進行對比，模擬結果與實驗結果吻合較好，驗證了模型的正確性.

純鋁;雙輥連續(xù)鑄軋;凝固微觀組織模擬;元胞自動機-有限元方法;枝晶形貌

雙輥薄帶連鑄技術是冶金及材料領域內(nèi)的一項前沿技術，其特點為:簡化生產(chǎn)工序，縮短生產(chǎn)周期，減少設備投資，降低生產(chǎn)成本等方面，具有巨大的技術和經(jīng)濟潛力.雖然國內(nèi)外在雙輥薄帶連鑄凝固過程的數(shù)值模擬方面已進行了大量的研究［1-5］，但對薄帶凝固組織形成的微觀模型研究還非常少，尤其是薄帶凝固過程中枝晶生長模型的研究.

鑄件微觀組織決定著鑄件的最終機械性能和力學性能［6］，對鑄坯質(zhì)量有重要影響，是冶金、材料、鑄造企業(yè)關注和研究的重點問題.采用計算機仿真方法研究金屬凝固組織的形成過程，可以快速預測金屬凝固組織的形成以及工藝參數(shù)對凝固組織形成的影響，通過模擬計算可以分析微觀組織界面形態(tài)、枝晶結構轉變，能從理論上解釋枝晶演化和微觀組織形成的本質(zhì)原因，預測鑄軋工藝參數(shù)、物性參數(shù)和凝固參數(shù)對凝固組織的影響，從而對鑄件性能改性提供理論基礎［7-8］.在凝固微觀組織模擬技術中，元胞自動機(CA)方法以過程的隨機性為基礎，結合了形核的物理機制和晶體生長動力學理論，同時具有隨機性方法和確定性方法的共同優(yōu)點，近年來應用廣泛，發(fā)展較快.

在國外，Beltran-Sanchez和 Stefanescu［9-10］基于CA方法，建立了低Peclet數(shù)的二元合金中由溶質(zhì)擴散控制的枝晶生長微觀模型，該模型考慮了網(wǎng)格的局部曲率、凝固分數(shù)、捕獲原則和各向異性等對枝晶生長形貌的影響，同時減小了網(wǎng)格劃分對模擬結果的影響.Raghavan等［11］采用一種改進的CA模型模擬了包晶合金的凝固顯微組織，提出了模擬包晶反應第二固相的形核和兩個固相競爭生長的算法.在國內(nèi)，李強等［12］采用CA方法對單個枝晶在凝固過程中的顯微偏析和枝晶形貌進行了模擬，考慮了固/液兩相的溶質(zhì)傳輸問題.朱鳴芳等［13］應用一種改進的二維CA-傳輸耦合模型，對流場作用下的Al-3%Cu合金枝晶的非對稱生長進行了模擬研究.Wang等［14］應用二維和三維CA模型對鎳基高溫合金的定向凝固過程進行了模擬，研究了枝晶生長速度的擾動對一次枝晶臂間距和枝晶尖端過冷的影響.但是，目前大規(guī)模多晶粒的三維微觀組織模擬仍較少見，而針對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固微觀組織演化的模擬研究更是鮮有報道.

本文基于一種改進的CA方法及枝晶生長的基本傳輸過程，建立了雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固過程中枝晶形核生長的數(shù)學模型，該模型耦合了宏觀溫度場和微觀溶質(zhì)場計算，同時考慮了成分過冷、曲率過冷和各向異性等重要因素對枝晶形貌的影響.該模型能夠模擬雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固過程中枝晶的復雜形貌.通過對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固過程中等軸晶、等軸晶多晶粒以及柱狀晶向等軸晶演變的模擬結果表明，本模型具有較好的理論和應用價值.

1 數(shù)理模型

1.1 宏觀溫度場模型

對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固過程進行數(shù)值模擬的前提就是建立鑄軋區(qū)、鑄軋輥和環(huán)境之間的傳熱模型.根據(jù)雙輥連續(xù)鑄軋工藝的特點，計算主要是基于不穩(wěn)定導熱偏微分方程的基本數(shù)學模型［15］.

式中:ρ為合金密度;cp為定壓比熱容;T為溫度;t為時間;λ為熱導率;L為結晶潛熱;fs為質(zhì)量固相率;x，y，z分別為3個坐標軸方向上的坐標.

1.2 異質(zhì)形核模型

針對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶的特點來說，通常在鑄軋區(qū)的熔體中加入晶粒細化劑進行變質(zhì)處理，其原理就是在鋁熔體中加入Al-Ti-B絲材，反應生成大量彌散分布的高熔點TiAl3相和TiB2相，這樣可以作為非均勻形核的質(zhì)點，以達到細化晶粒的作用，本文采用Rappaz等［16-17］提出的基于高斯分布的連續(xù)性異質(zhì)形核模型，在某一過冷度ΔT時所形成晶粒密度n(ΔT)可由該分布曲線的積分求得

取高斯分布得

式中，fs為固相分數(shù).鑒于雙輥連續(xù)鑄軋的工藝特點，對鑄軋輥面和鑄軋區(qū)內(nèi)分別采用兩種不同的形核分布函數(shù)，采用不同的形核密度.

1.3 枝晶尖端生長動力學模型

晶體的生長過程一般是通過采用枝晶尖端半徑和生長速度兩個因素來描述的.采用Kurz［18］和Rappaz等［19］描述枝晶尖端生長的動力學模型(KGT)，該模型考慮了溶質(zhì)分配系數(shù)、擴散系數(shù)及相圖參數(shù)的影響.

式中:n(ΔT)為過冷度ΔT時的晶核密度，ΔT=TL-T(TL為液相線溫度);Ns為總的初始形核質(zhì)點密度;ΔTN，ΔTσ為合金的最大形核過冷度和標準方差過冷度.

鑒于晶粒生長對形核位置的消減作用，形核密度n(ΔT)將變?yōu)?/p>

為能獲得枝晶尖端生長速度v和枝晶尖端生長半徑R，LANGER等［20］引入了R=λC作為穩(wěn)定界面理論的限制條件，其中λC為最小標準擾動波長.

式中:mL為液相線斜率;GC為枝晶尖端液相溶質(zhì)濃度梯度;ξC為溶質(zhì)濃度的貝克利系數(shù)的函數(shù);G為溫度梯度;σ*為定常系數(shù)，σ*=1/(4π2);Γ為Gibbs-Thompson系數(shù);R為枝晶尖端半徑.

立方晶系的金屬晶體的擇優(yōu)生長方向為［100］方向，凝固過程中枝晶尖端前沿過冷度ΔT由4部分組成:

式中:ΔT為枝晶尖端過冷度;ΔTc為成份過冷度; ΔTR為曲率過冷度;ΔTT枝晶尖端動力學過冷度; ΔTK為溶質(zhì)擴散過冷度.

鑒于雙輥連續(xù)鑄軋是亞快速凝固(冷卻速度102～103℃/s)過程的原因，因此相對于快速凝固過程的枝晶生長速度不是很高.因為生長動力學系數(shù)很大，枝晶尖端生長動力學過冷度可以忽略.此外，由于凝固在準平衡狀態(tài)下進行，可以認為合金的平衡分配系數(shù)、液相中溶質(zhì)的擴散系數(shù)保持不變.因此可對KGT模型進行修正，修正后的KGT模型為

式中:C0為合金初始質(zhì)量濃度;K0溶質(zhì)平衡分配系數(shù);σ為界面能;ΔSf為溶液體積熵;Pe為溶質(zhì)濃度的貝克利系數(shù);Iv(pe)為pe的伊萬卓夫函數(shù).

通過上述公式求解可以獲得枝晶生長速度v和枝晶尖端半徑R，故可以采用修正的KGT模型來描述枝晶生長過程.

1.4 溶質(zhì)分布模型

為了揭示溶質(zhì)再分配與微觀組織演變過程的關系，必須考慮模擬計算域內(nèi)的溶質(zhì)分布問題.因此本文在改進的三維CA模型中加入了溶質(zhì)場計算模型.固/液界面作為連接兩相的邊界條件來處理.為減少計算量，溶質(zhì)濃度場的計算可以直接在微觀元胞內(nèi)完成，對溶質(zhì)分配進行必要的簡化處理.采用劉永剛等［21］提出溶質(zhì)擴散方程來描述:

固液相界面平衡濃度的控制方程為

式中:k為溶質(zhì)分配系數(shù);Cs*，Cl*分別為固/液界面上固相和液相的平衡濃度.

固相份數(shù)為fs的元胞的界面曲率控制方程為

式中:N為鄰位元胞數(shù)量，a為元胞尺寸.

2 元胞自動機-有限元模型

2.1 基于CA的雙輥連鑄凝固組織的仿真模型

結合現(xiàn)有的隨機性與確定性方法，借鑒Gandin和 Rappaz等［16，17］提出的元胞自動機(Cellular Automaton)模型，就可以實現(xiàn)對雙輥薄帶連鑄凝固組織形成的動態(tài)模擬.

將凝固區(qū)域劃分為四邊形或六邊形網(wǎng)格，然后將每個網(wǎng)格單元劃分成更細而均勻的節(jié)點，所有節(jié)點在凝固前置為液態(tài)Pi=0(表示液態(tài))，選取時間步長δt.當單元溫度低于液相線時，開始形核，在δt時間內(nèi)溫度下降δT，過冷度相應增加δT，(這時δT/δt的值可通過宏觀的工藝條件加以控制)，此時熔體內(nèi)新生晶核的密度為

nv的值可通過Oldfield的連續(xù)形核模型得到，這些新的晶核在所有CA單元上隨機分布，其形核率為

式中，VCA為單個CA單元的體積.在δt時間內(nèi)，每個CA單元被賦予一個隨機數(shù)r(0≤r≤1)，如果一個單元仍為液態(tài)，當滿足r≤Pv，該單元變?yōu)楣虘B(tài)，其qi值被賦予一個正整數(shù)(該數(shù)對應一個晶向指數(shù)，表明生長的各向異性).形核后按一定規(guī)律生長，假定其按枝晶尖端動力學規(guī)律生長，晶粒的最大生長方向與CA單元中的X軸夾角為θ，那么t時刻晶粒的半徑即四邊形的半對角線長:

枝晶尖端的生長規(guī)律v［ΔT(t')］可以根據(jù)KGT模型得出.圖l為CA模型示意圖，從tA時刻到tB，由A節(jié)點形核長大的四方形晶粒接觸到四個相鄰單元B1、B2、B3、B4.這時晶粒半對角線長LtB與lθ=(cosθ+|sinθ|))相等，l為CA網(wǎng)格單元間距.

圖1 Cellular Automaton模型示意圖

CA模型規(guī)定此時單元B1～B4凝固，其索引值qi被賦予一個與原始節(jié)點A相同的整數(shù).這樣晶核就開始長大，并通過不斷捕獲周圍的液態(tài)單元而成為最終的晶粒.B的4個單元節(jié)點繼續(xù)長大，將在下一時刻捕獲B周邊的8個節(jié)點，依此類推.晶粒按照枝晶的尖端長大速率而增大.但在晶粒長大過程中，晶粒偏離了原始晶向，所以在每一步模擬中還要對枝晶長大方向進行校正.

2.2 宏觀溫度場有限元計算模型

雙輥連續(xù)鑄軋純鋁工藝示意圖如圖2所示［22?.因為采用水平式同徑雙輥鑄軋進行模擬實驗，因注水口的寬度幾乎等于鑄輥的寬度，可以將雙輥薄帶連鑄過程的模擬簡化為二維問題.鑄軋區(qū)域是對稱分布的，為了減少有限元計算量，只需要計算對稱面的一半即可.應用元胞自動機模型模擬連續(xù)鑄軋過程中金屬凝固過程需要和有限元法相耦合.一個簡單的有限元網(wǎng)格模型如圖3所示.有限元網(wǎng)格被分割為m×n個網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個節(jié)點的坐標為(i，j)，當元胞狀態(tài)是液態(tài)時被賦予0，當元胞狀態(tài)是固態(tài)時被賦予1.

圖2 鋁雙輥連續(xù)鑄軋示意圖

圖3 計算元胞模型

隨著金屬凝固過程的進行，固相率ΔfS(i，j)不斷發(fā)生變化.利用二維m×n網(wǎng)格來表示每個元胞的固相率fS(i，j)和固相率增量ΔfS(i，j).隨著凝固微觀組織的形成，各個元胞的固相率在逐漸增加，當元胞的固相率fS(i，j)≥1時，液相將轉化為固相.凝固組織的形成和凝固動力學演變可以通過元胞狀態(tài)的改變來獲得.當網(wǎng)格節(jié)點(i，j)和(a，h+r)之間的距離滿足下式時，節(jié)點(i，j)可以作為計算區(qū)域的節(jié)點.

式中:a為鑄軋區(qū)長度;2h1為出口鋁帶坯厚度;r為鑄軋輥半徑;ΔX為正方形元胞的邊長.其中，

根據(jù)上述方程，只要網(wǎng)格數(shù)量m×n確定，如輸入a，r和h1等參數(shù)到操作程序中就可以再現(xiàn)雙輥連續(xù)鑄軋薄帶凝固微觀組織演變過程和晶粒大小及分布.

3 模擬結果與討論

為驗證所建數(shù)學模型的可行性，對雙輥連續(xù)鑄軋工業(yè)純鋁在不同工藝條件下的凝固過程進行進行了模擬研究.模擬計算模型如圖4所示［23］，對鑄軋區(qū)域內(nèi)的宏觀溫度場的計算模型采用如圖3所示的網(wǎng)格劃分.無特別說明外，所有模擬采用的形核參數(shù)如表1所示，環(huán)境溫度為20℃，鑄軋薄帶的厚度為6mm.計算模擬所需工業(yè)純鋁的物性參數(shù)如表2所示.

表1 CA－FE模擬用的形核參數(shù)

圖4 雙輥連鑄薄帶凝固組織模擬計算示意圖

表2 工業(yè)純鋁的物性參數(shù)

3.1 鑄軋速度對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁凝固微觀組織的影響

在其他條件不變的情況下，對于不同的鑄軋速度采用移動邊界法，鑄軋區(qū)與鑄輥表面的傳熱采用相應的函數(shù)來處理.對三種不同的鑄軋速度對雙輥連續(xù)鑄軋工業(yè)純鋁的凝固晶粒組織進行了相應的模擬.不同鑄軋速度的模擬方案如表3所示.

表3 不同鑄軋速度的模擬方案

不同鑄軋速度下，雙輥連續(xù)鑄軋純鋁的三維凝固組織及縱向凝固組織如圖5、6所示.

圖5 不同鑄軋速度下三維凝固組織a－c鑄軋速度分別為0.8，1.0，1.2m/min

從圖5、6可知，鑄軋速度越低時，鑄軋區(qū)與鑄 軋輥的接觸時間長，散熱時間長，相當于鑄軋區(qū)與鑄輥表面的換熱系數(shù)很大，因此鑄軋輥表面形成的晶粒很細小，表層細晶區(qū)很薄，不是很明顯，柱狀晶的比例較大，且其一次枝晶較粗.隨著鑄軋速度的增大，表面等軸晶逐漸變得粗大，熔體的溫度梯度降低，不利于柱狀晶的生長，將會較早發(fā)生柱狀晶向等軸晶的轉變;同時由于冷卻速度增大，最終獲得含有細小的柱狀晶和等軸晶的混合凝固組織.可見，提高鑄軋速度是獲得細晶的一種很好的方法.

圖6 不同鑄軋速度下y=0.25mm截面的凝固組織a－c鑄軋速度分別為0.8，1.0，1.2m/min

3.2 形核速率分布標準方差對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁凝固微觀組織的影響

形核速率分布標準方差是指形核過冷度范圍的寬窄，形核速率分布標準方差越大，表示發(fā)生形核的過冷度范圍越大.在給定最大形核密度時，隨著形核速率分布標準方差的減小，說明開始形核的過冷度增大，形核結束時的過冷度減小，發(fā)生形核過冷度的范圍由寬變窄，這樣有利于形成細小而均勻的凝固晶粒組織.參考梁作儉等［24］的研究，本文對四種不同的形核速率分布標準方差對雙輥連續(xù)鑄軋工業(yè)純鋁的凝固晶粒組織進行了相應的模擬.不同形核速率分布標準方差的模擬方案如表4所示.

表4 不同形核速率分布標準方差模擬方案

不同形核速率分布標準方差下，雙輥連續(xù)鑄軋純鋁的三維凝固組織及縱向截面上的凝固組織分別如圖7、8所示.

從圖可知，形核速率分布標準方差的改變對凝固晶粒組織的影響很小.凝固組織是由柱狀晶和等軸晶組成的混晶組織，晶粒大小均勻.可能是因為采用隨機性形核模型，形核速率分布標準方差會在一定范圍內(nèi)變化，從而對最終形成的凝固晶粒組織影響甚微.

圖7 不同形核速率分布標準方差下的三維凝固組織a－d形核速率分布標準方差分別為0.8，1.0，1.4，2.0K

4 實驗驗證

以雙輥連續(xù)鑄軋工業(yè)純鋁為研究對象，采用水平式同徑雙輥鑄機進行實驗驗證，因注水口的寬度幾乎等于鑄軋輥的寬度，同時采用側封板絕熱和加熱裝置，可以將雙輥薄帶連續(xù)鑄軋過程的模擬簡化為二維問題.同時和相同條件下的實驗結果進行比較，以驗證所建立的微觀數(shù)學模型的可靠性.在澆注溫度為690℃、鑄軋速度1.0m/min、熔池高度40mm時鑄軋出的純鋁薄帶凝固組織如圖9所示.

對比模擬結果和實驗結果可以看出，無論從晶粒形貌、表層細晶區(qū)和柱狀晶區(qū)域的大小，還是柱狀晶向等軸晶的演變來看，模擬結果都基本與實驗結果吻合.從模擬和實驗結果還能看出，凝固過程中并沒有得到穿晶組織，有中心等軸晶的出現(xiàn)，這主要是由于模型底部的換熱系數(shù)較小，降低了中心熔體的溫度梯度，使中心熔體的過冷區(qū)域和過冷度都增大，阻礙柱狀晶的繼續(xù)長大，有利于形成中心等軸晶.說明建立的CA-FE模型可以模擬和預測雙輥連續(xù)鑄軋工藝參數(shù)對凝固微觀組織的影響，對于優(yōu)化連續(xù)鑄軋工藝參數(shù)和提高鑄軋產(chǎn)品質(zhì)量具有重要的理論和實踐意義.

圖8 不同形核速率分布標準方差下y=0.25mm截面的凝固組織a－d形核速率分布標準方差分別為0.8，1.0，1.4，2.0K

圖9 澆注溫度為690℃、鑄軋速度1.0m/min、熔池高度40 mm時的實驗條件下嚙合點前鑄軋純鋁薄帶凝固組織(a)橫向晶粒組織; (b)縱向晶粒組織

5 結論

(1)建立了雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固過程的數(shù)學物理模型，采用一種改進的元胞自動機(CA)法，對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶進行了凝固微觀組織模擬.

(2)耦合了宏觀溫度場、三維溶質(zhì)場計算及微觀組織模擬計算，考慮了溶質(zhì)擴散、曲率過冷和各向異性等重要因素對枝晶生長的影響，定義了界面單元捕獲規(guī)則，能夠模擬凝固過程中枝晶生長的形態(tài).可以再現(xiàn)凝固過程中晶粒組織的形成及轉化.

(3)模擬了連續(xù)鑄軋工藝參數(shù)(澆注溫度、鑄軋速度)對雙輥連續(xù)鑄軋純鋁薄帶凝固微觀組織的影響規(guī)律，對于指導生產(chǎn)有實際意義.

(4)以雙輥連續(xù)鑄軋工業(yè)純鋁為研究對象，對特定實驗工藝條件的凝固過程進行了微觀組織模擬和實驗對照，模擬結果與金相觀察符合較好.

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Numerical simulation of microstructures evolution of aluminum twin-roll continuous casting based on a modified CA method

CHEN Shou-dong，CHEN Jing-chao，PENG Ping
(Key Laboratory of Advance Material of Rare Precious and Nonferrous Metals of Education Ministry of China，Key Laboratory of Advanced Materials of Yunnan Province，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，P.K.China)

A new mathematic model for the nucleation and dendritic growth of twin-roll continuous casting pure aluminum thin strip during solidification process was developed，which was based on cellular automaton(CA)-finite element(FE)method and the classical transfer equations during dendritic growth.The model coupled the temperature field calculation and microstructure simulation.The solute diffusion，curvature undercooling and anisotropy were also considered in the model，all of which have significant influence on the dendrite evolution.By setting up the CA cell capturing rules，the dendritic growth morphology can be simulated.Applications of the model in equiaxed dendritic growth，multiple equiaxed dendritic growth，and columnar grain growth，transformation of columnar dendrite to equiaxed dendrite in solidification of twin-roll continuous casting pure aluminum thin strip solidification were presented.The microstructure simulation results were compared with the experimental results and they were in good agreement in dendritic morphology，which validated the correctness of the proposed model.

pure aluminum;twin-roll continuous casting;solidification microstructure simulation;cellular automaton(CA)-finite element(FE)method;dendrite morphology

TG249.7;TG244.3;TB115 文獻標志碼:A 文章編號:1005-0299(2012)06-0073-08

2011-12-30.

新國家自然科學聯(lián)合基金(u0837601)，新國家基金號(50874054)，云南省創(chuàng)新團隊(2009CI003)，云南省自然科學基金(2008CD087).

陳守東(1987-)，男，碩士.

陳敬超，E-mail:chenjingchao@kmust.edu.cn

(編輯 張積賓)