汪 飛，曾 然，李齊良

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，杭州310018)

Casimir 效應(yīng)起源于量子真空零點能的漲落，1948 年Casimir 在理論上推導(dǎo)出真空中兩個中性理想導(dǎo)體板間相互吸引［1］。隨后Lifshitz 最先研究計算了兩個半無窮介質(zhì)平板間的Casimir 作用力的宏觀理論［2］。近年來，Casimir 效應(yīng)在實驗和理論方面引起了廣泛的關(guān)注。特別是隨著納米技術(shù)的發(fā)展，Casimir 效應(yīng)在亞微米范圍內(nèi)對機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生顯著影響［3－5］，它可被利用于動力學(xué)裝置，但也會使系統(tǒng)中可動的組裝零件粘附在一起造成破壞，因此已成為當(dāng)前的一個研究熱點，此后許多物理學(xué)家對Casimir 效應(yīng)的理論進(jìn)行了發(fā)展。Lifshitz 理論的一個約束條件是假設(shè)兩相互作用的介質(zhì)都是各向同性，而且研究中大多是基于量子表面模式方法來計算兩平行板間的Casimir 力。本文采用應(yīng)力張量方法來計算，討論真空中的兩平行單軸晶體平板間的Casimir 效應(yīng)，并研究板間距離以及晶體材料特征參數(shù)對Casimir 作用力的影響。

1 兩個單軸晶體平板間的Casimir 力

考慮置于真空中的兩塊平行單軸晶體平板，設(shè)板厚為d，板間距為a。設(shè)xoy 面是兩單軸晶體的表面，z 為垂直于表面的法線方向，取入射面為xoz 面，如圖1 所示。

那么每個平板所受到的Casimir 力等于Maxwell電磁場應(yīng)力張量zz 分量進(jìn)行重整化［6］:

其中Tzz和T0zz分別對應(yīng)介質(zhì)板腔系統(tǒng)中兩板間的應(yīng)力張量分量和無介質(zhì)板邊界的自由空間應(yīng)力張量分量，可由計算電場和磁場場量算符的真空態(tài)期望得到

圖1 真空中兩平板的位置

依據(jù)漲落－耗散定理［7］，場量的相關(guān)函數(shù)由Green 函數(shù)G(r，r';ω)和GB(r，r';ω)表示［8］，因此

類似地，T0zz亦為上述形式。計算重整化應(yīng)力張量分量的本質(zhì)即需減掉無限介質(zhì)中的自由場部分，式(3)中的Green 函數(shù)利用散射場的Green 函數(shù)GSC(r，r';ω)=G(r，r';ω)－G0(r，r';ω)來替換，其中G0(r，r';ω)是無限介質(zhì)中的Green 函數(shù)，然后將式(3)代回應(yīng)力張量表達(dá)式就得到了~Tzz?？紤]到兩板之間真空，最后得到Casimir 力的計算公式為

是頻率和波矢的積分，k 為平行于介質(zhì)板表面的波矢分量，r 為介質(zhì)材料板的反射系數(shù)。現(xiàn)在我們考慮半無窮厚度板的情形，這時材料板反射系數(shù)rN即簡化成單界面反射系數(shù)r'N。對于單軸晶體板間Casimir 力的計算，被積函數(shù)頻率積分路徑可由實頻換做虛頻［9］，即取ω=iξ，則(4)轉(zhuǎn)化成:

對于單軸晶體材料，其色散特性由Drude－Lorentz 型關(guān)系［10］描述如下:

其中‖和⊥表示與晶體光軸平行和垂直的方向，ωPυ為等離子體頻率，描述晶體材料與電磁場之間相互耦合的能力，ωTυ為共振頻率，γυ是材料對電磁波的吸收系數(shù)，同時也是相應(yīng)電極化與磁極化的共振線寬。這些晶體參數(shù)確定材料的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的色散曲線結(jié)構(gòu)。

當(dāng)一束單色平面波在xoz 面內(nèi)傳播，我們只就光沿晶體的主截面入射時的特殊情況［11－12］討論，此時反射光和折射光均在入射面內(nèi)，介電常數(shù)為張量形式［13－14］。指標(biāo)N=TE，TM 表示平面波在空間中的兩種極化形式。反射系數(shù)可由傳輸矩陣法得到，代入式(5)后得到單軸各向異性晶體材料板間的Casimir 作用力。

2 仿真與結(jié)果分析

圖1 中兩單軸晶體板的電磁特性和幾何參數(shù)完全相同。圖2 ～圖6 中的Fryy、Frzz分別表示單軸晶體板光軸沿y 軸和z 軸時的相對Casimir 力，其中ω0為一個相對頻率單位，λ0=2πc/ω0為相應(yīng)的真空波長。

圖2 Fr 隨板間距a 的變化

圖2給出了相對Casimir 力Fr=FC/F0依賴于板間距的變化情況，其中F0=?cπ2/240a4是理想導(dǎo)體板間Casimir 力［1］。參數(shù)取值如下:ωP‖=ω0，ωT‖=0.5ω0，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=ω0，γυ=0.01ωTυ(υ=‖或⊥)，從圖2 可以看出，兩個半無窮厚度板間的相對Casimir 力隨板間距的增大而遞增，最后基本保持不變，表明Casimir 作用力在短距下受到較強抑制，而隨著板間距的增大抑制逐漸放緩，恢復(fù)到最大約為理想導(dǎo)體板間力的1/10，并且光軸沿z 軸時的Casimir 力強于沿y 軸時的Casimir 力。

下面討論單軸晶體板間的Casimir 力依賴于各參數(shù)的變化情況:

圖3 Fr 隨ωP‖的變化1

圖4 Fr 隨ωP‖的變化2

圖3和圖4 分別給出了Fr隨等離子體頻率ωP‖的變化情況，圖3 中各參數(shù)取值如下:ωT‖=ω0，γ‖= 0. 01ωT‖，ωP⊥= 1. 3ω0，ωT⊥= 0. 5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，Casimir 力依賴于等離子體頻率變化的關(guān)系是單調(diào)遞增的。這是因為在其他參數(shù)固定的情況下，等離子體頻率越大的材料反射特性越強，因此Casimir 力越大。從圖3 還可以看出光軸沿y 軸時的Casimir 力大于沿z 軸時的Casimir力。圖4 中各參數(shù)取值為:ωT‖=ω0，γ‖=0.01ωT‖，ωP⊥=2ω0，ωT⊥=1.5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，在這種情況下，當(dāng)ωP‖＜1.36ω0和ωP‖＞4.11ω0時，光軸沿y 軸時的Casimir 力強于沿z 軸時的Casimir 力;而當(dāng)1.36ω0＜ωP‖＜4.11ω0時，沿z 軸時的Casimir 力要大些。當(dāng)考慮Fr隨等離子體頻率ωP⊥的變化情況時，可得到類似的結(jié)論。

Casimir 力依賴于共振頻率的變化情況，如圖5所示，參數(shù)取值如下:ωP‖=ω0，γ‖=0.01ωT‖，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=0.8ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，分析過程和上面類似。

圖5 Fr 隨ωT‖的變化

圖6顯示了吸收系數(shù)γ‖對Casimir 力的影響，其中取ωP‖=3ω0，ωT‖=ω0，ωP⊥=1.3ω0，ωT⊥=0.5ω0，γ⊥=0.01ωT⊥，板間距a=λ0，可以看到Casimir 效應(yīng)隨吸收系數(shù)的增大而減弱，這是因為固定其他參數(shù)后吸收系數(shù)越大使得反射系數(shù)越小，進(jìn)而導(dǎo)致Casimir 力變?nèi)?。從圖6 還能看出，當(dāng)γ‖＜1. 21ω0和γ‖＞28.61ω0時，光軸沿y 軸時的Casimir 力強于沿z 軸時的Casimir 力;而當(dāng)1.21ω0＜γ‖＜28.61ω0時，沿z 軸時的Casimir 力要更大些。當(dāng)考慮Fr隨γ⊥的變化情況時，也可以得到相類似的結(jié)論。

圖6 Fr 隨γ‖的變化

從上述幾種情形中，我們能夠看出通過調(diào)控各參數(shù)的取值可以改變Casimir 力的大小，從而使Casimir 效應(yīng)的強弱也受到影響。

3 結(jié)論

本文利用Maxwell 應(yīng)力張量法計算了單軸晶體平板間的Casimir 作用力，并對該晶體板間的Casimir效應(yīng)的調(diào)控作出了探討。仿真結(jié)果表明，Casimir 效應(yīng)的強弱受到板間距、材料特性的影響。在短距下Casimir 力受到較強抑制，但是隨著距離的增大，這種抑制作用就會逐漸減弱，從而可考慮有效避免短距下的微機(jī)械元件間可能存在的粘附破壞。另外當(dāng)各參數(shù)取不同值時以及晶體光軸在垂直和平行于平板表面時Casimir 力的大小也不同。因此通過改變板間距及材料特性可有效地調(diào)控Casimir 效應(yīng)。

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