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(1.石家莊鐵道大學 經(jīng)濟管理學院，河北 石家莊 050043;2.石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學院,河北 石家莊 050041)

一、引言

1939年，前蘇聯(lián)數(shù)理經(jīng)濟學家，線性規(guī)劃理論的創(chuàng)始人之一康托洛維奇(L.V.Kantorovich)在《組織和計劃生產(chǎn)的數(shù)學方法》一書中提出了所謂的“解乘數(shù)法”的方法，該方法以充分考慮資源的機會成本為核心思想進行生產(chǎn)的最優(yōu)安排，其解就是現(xiàn)在所謂的影子價格。

影子價格是運籌學應(yīng)用于經(jīng)濟學的一個重要概念，是運籌學成功處理經(jīng)濟問題的重要標志之一。正確認識和深刻理解資源影子價格的含義，對如何合理利用和節(jié)省資源，優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)和提高經(jīng)濟效益都有著重要的參考價值和指導(dǎo)意義。按照運籌學的相關(guān)理論，不失一般性，若有生產(chǎn)問題的線性規(guī)劃模型：

maxz=CX

則其對偶問題的規(guī)劃模型為：

minz=Yb

其中：X=[x1,x2,…,xn]T為決策變量，如產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃；C=[c1,c2,…,cn]為產(chǎn)品的價值系數(shù)；A為生產(chǎn)產(chǎn)品對資源的消耗系數(shù)；b=[b1,b2,…,bm]T為資源的擁有量。

這樣定義后，對偶變量Yi即為原問題中第i種資源的影子價格，它是對第i種資源在生產(chǎn)中所做貢獻的估價。從數(shù)值上看，Yi表示第i種資源每改變一個單位時，目標函數(shù)的改變量。在純市場條件下，某種資源的市場價格低于影子價格時，可以買進這種資源；相反市場價格高于影子價格時，就應(yīng)該賣出這種資源。特別地，當資源的影子價格為0時，表明該種資源未得到充分利用，處于資源閑置的狀態(tài)；當該種資源的影子價格不為0時，表明該種資源在生產(chǎn)中已經(jīng)消耗完畢，處于資源緊缺的狀態(tài)。

盡管影子價格的定義早在19世紀40年代就已經(jīng)被提出，但一直存在著諸多爭議，其中最重要的爭議之一是影子價格的非唯一性問題。國內(nèi)已有不少文獻對線性規(guī)劃中影子價格的非唯一性進行研究，如馬贊甫[1]，夏少剛[2-3]，劉舒燕[4]等都注意到了影子價格非唯一性問題，并得到了一些很有價值的結(jié)論。資源的稀缺性是在經(jīng)濟生活中面臨的最重要的問題，而影子價格恰恰提供了一種衡量資源稀缺程度的方法，因此對影子價格的相關(guān)問題展開討論是必要的和有益的。在對文獻進行綜述的基礎(chǔ)上，從直觀的圖解法以及經(jīng)濟學的角度給出了影子價格非唯一性的合理解釋。

二、問題的提出

從一個實際案例引入影子價格的非唯一性問題。假設(shè)有如下生產(chǎn)計劃問題：某企業(yè)計劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都要分別在A、B、C、D四個不同設(shè)備上加工。生產(chǎn)每件產(chǎn)品需占用的各種設(shè)備資源以及每種產(chǎn)品的單位利潤如表1所示。

表1 生產(chǎn)基本情況表

這屬于運籌學中一個簡單的生產(chǎn)計劃問題，為求解該問題可建立如下數(shù)學模型(為后面敘述方便，將原模型記為模型1，將其對偶問題的數(shù)學模型記為模型2)：

模型1(原模型)：

maxz=2x1+3x2

該問題的對偶數(shù)學模型2為：

minw=12y1+8y2+16y3+12y4

從通解中看出，對偶問題的解不是唯一的，隨著k值的改變而改變。對偶問題解的不唯一性導(dǎo)致A、B、C、D四種資源的影子價格是不唯一的。當資源的影子價格不唯一時，就無法有效判斷資源的稀缺程度，并且會對企業(yè)生產(chǎn)決策產(chǎn)生影響。例如：A資源的影子價格可以為0(當k=1/8時)，也可以為1/2(當k=0時)。那么A資源對該企業(yè)是否緊缺呢，或者說其稀缺程度如何衡量呢？如果其影子價格為0，則根據(jù)上面的敘述，A資源對該企業(yè)就不是緊缺的，在一定范圍內(nèi)增加或減少A資源對該企業(yè)的利潤不會產(chǎn)生影響；而如果其影子價格為1/2，A資源對該企業(yè)就是緊缺的，如果企業(yè)從市場上以價格p(p≤1/2)購買1單位A資源，則企業(yè)的利潤可以增加1/2-p。由此可見，影子價格的唯一性對企業(yè)的決策是非常重要的。

針對對偶問題解的不唯一性，提出下面4個需要解決的問題：

(1)什么原因?qū)е聦ε紗栴}的解是不唯一的；

(2)影子價格的非唯一性會對經(jīng)濟分析產(chǎn)生什么影響；

(3)如何從經(jīng)濟學角度解釋解的非唯一性；

(4)解不唯一時影子價格應(yīng)如何確定。

三、影子價格非唯一性的原因分析

為對影子價格非唯一性有一個直觀的認識，首先采用圖解法進行分析。利用運籌學相關(guān)方法，畫出該生產(chǎn)計劃安排問題數(shù)學模型的可行域，如圖1所示。圖中[1]、[2]、[3]、[4]每條線為模型1中依次四個限制條件所對應(yīng)的直線方程，陰影部分為可行域，O點為最優(yōu)點。從圖1中可以看出，該模型最優(yōu)解正好處于[1]、[2]、[3]三條直線的交點上。

圖1 原模型的可行域

現(xiàn)在將資源A增加一單位，即將第1個限制條件改為2x1+2x2≤13，改變后，模型的可行域如圖2所示，圖2中直線[1/]對應(yīng)修改后的限制條件1。從圖2中可以看出，雖然資源A增加一單位后，第1個限制條件對應(yīng)的直線向右上方發(fā)生移動，但因第2、3個限制條件不變，因此模型的可行域并沒有增加，模型的最優(yōu)值也沒有改變，仍然位于O點。

圖2 資源A增加一單位后的可行域

如果在資源A增加一單位的基礎(chǔ)上，再將資源B也增加一單位，即將第2個限制條件改為x1+2x2≤9，模型的可行域如圖3所示，圖3中直線[2/]對應(yīng)修改后的限制條件2。從圖3中可以看出，資源A和B同時增加時使得模型的可行域增加，最優(yōu)值從O提高到O/點(此時最優(yōu)值為15.5)。

圖3 資源A、B都增加一單位后的可行域

現(xiàn)在考慮另一種改變方式：在原模型基礎(chǔ)上，將資源A減少一單位，即將第1個限制條件改為2x1+2x2≤11，改變后，按照上面的做法可以看出模型的可行域變小了，模型的最優(yōu)值也相應(yīng)的減小(此時最優(yōu)值為13.5)。而如果在原模型的基礎(chǔ)上僅將資源B增加一單位，即將第2個限制條件改為x1+2x2≤9，通過圖解法可以看出，模型的可行域變大了，相應(yīng)的最優(yōu)值也得到增加(此時最優(yōu)值為15)。另外，無論對資源D增加還是減少一單位，即無論第4個限制條件為4x2≤13還是4x2≤11，目標函數(shù)的最優(yōu)值都不變。

上面這種最優(yōu)點位于多個(兩個以上)限制條件交匯處的情況在線性規(guī)劃中稱為退化。退化是指線性規(guī)劃問題通過單純形法求解時，最優(yōu)解的某個基變量為0的現(xiàn)象?？梢宰C明，若原問題的解是退化解，則其對偶問題的解不唯一，也即造成了影子價格的非唯一性問題。反之，若原問題的解不是退化解，則上述問題不復(fù)存在。

四、影子價格非唯一性的經(jīng)濟學解釋

影子價格最重要的用途是進行決策和經(jīng)濟學解釋，因此研究影子價格的經(jīng)濟學特征，利用經(jīng)濟理論分析影子價格的非唯一性問題是很有現(xiàn)實意義的。綜合第三部分的圖形分析，可以得出以下結(jié)論：

(1)當最優(yōu)值處于多個(多于兩個)限制條件對應(yīng)直線的共同點時，這些限制條件對應(yīng)資源的影子價格是不唯一的。

(2)當影子價格不唯一時，增加和減少某種資源的數(shù)量對最優(yōu)值的影響是不同的。

(3)各種影子價格不唯一的資源擁有量改變時對目標函數(shù)的影響效果是不同的，即有些資源單獨改變擁有量即可改變目標函數(shù)，有些資源必須和其他資源共同變化才能對目標函數(shù)產(chǎn)生影響。

(4)若某限制條件的對應(yīng)直線不經(jīng)過最優(yōu)點，則該限制條件對應(yīng)資源的影子價格為0。

利用生產(chǎn)要素需求的聯(lián)合性和替代性，來解釋影子價格非唯一性時產(chǎn)生的幾種情況。按照經(jīng)濟學的理論，生產(chǎn)要素往往不單獨發(fā)生作用。由于生產(chǎn)技術(shù)的特性，生產(chǎn)要素在生產(chǎn)時的需求具有共同性，或者聯(lián)合性，即實際生產(chǎn)過程對多種生產(chǎn)要素的需求是共同的，相互依賴的。另外，生產(chǎn)要素之間又是可以相互替代的，其替代程度可以由生產(chǎn)要素的邊際技術(shù)替代率(MRTS)來表示。邊際技術(shù)替代率是指在技術(shù)水平不變的條件下，為維持同等的產(chǎn)量水平，放棄一定數(shù)量的某種投入要素而必須增加的另一種投入要素的數(shù)量。在經(jīng)濟學中可以通過等產(chǎn)量線來研究不同要素之間的可替代關(guān)系，以兩種生產(chǎn)要素(分別記為L、K)為例，其等產(chǎn)量線如圖4所示。

特殊的，當邊際技術(shù)替代率為0時，兩種生產(chǎn)要素必須按照一定的比例組合在一起才能夠進行生產(chǎn)，產(chǎn)量是由按照比例最少的生產(chǎn)要素所決定的。例如農(nóng)民鋤地時，勞動力與鋤頭間的比例應(yīng)該是1∶1，如果有100把鋤頭，而只有50個勞動力，則鋤地的數(shù)量是由50個勞動力所決定的。圖5給出了這種情況下的等產(chǎn)量線，其中的L，K表示兩種不同的資源或生產(chǎn)要素。從圖5可以看出，這種情況下的等產(chǎn)量線是折線，產(chǎn)量由折點對應(yīng)的要素數(shù)量所決定。

圖4 生產(chǎn)要素可替代時的等產(chǎn)量線

圖5 生產(chǎn)要素固定比例的等產(chǎn)量線

在圖4和圖5中，當兩種資源的數(shù)量為(L1,K1)時，產(chǎn)量為Q1。通過以下幾種情況來分析要素的聯(lián)合性及可替代性與影子價格的聯(lián)系。

情況1：資源L的擁有量為L1保持不變，資源K由K1增加到K2。從圖4可以看出，由于資源的可替代性，雖然資源L保持不變，但產(chǎn)量仍然從Q1增加到Q2；而從圖5可以看出，由于兩種資源的邊際技術(shù)替代率為0，因此資源K的增加并沒有引起產(chǎn)量的增加。這種情況可以解釋為什么當影子價格不唯一時，資源擁有量改變對目標函數(shù)的影響效果是不同的。即當資源的邊際技術(shù)替代率不為0時，單獨改變該資源的擁有量即可改變目標函數(shù)，而當邊際技術(shù)替代率為0時，單獨改變該資源的擁有量不能改變目標函數(shù)。

情況2：資源L由L1增加到L2，同時資源K由K1增加到K2。從圖4和圖5可以看出，兩種情況下產(chǎn)量都有所增加。這說明，當影子價格不唯一時，多種資源的共同變化能夠?qū)δ繕撕瘮?shù)產(chǎn)生影響。

情況3：資源L的擁有量保持不變，資源K由K1減少到K3。從圖5可以看出產(chǎn)量減少到Q3，結(jié)合情況1可以解釋，為什么當影子價格不唯一時，增加和減少某種資源的數(shù)量對最優(yōu)值的影響是不同的。

通過上面的分析，得出了影子價格非唯一性的原因，以及當影子價格不唯一時對經(jīng)濟分析產(chǎn)生哪些影響并給出了經(jīng)濟學解釋，下面通過實例說明當影子價格不唯一時應(yīng)如何確定資源的影子價格。

五、影子價格的確定

在經(jīng)濟學理論中，利潤最大化問題的對偶問題是成本最小化，其對偶問題的最優(yōu)成本可以看做企業(yè)取得最大化利潤的機會成本。在完全競爭的經(jīng)濟環(huán)境中，企業(yè)的利潤應(yīng)該等于機會成本，這正好符合對偶問題的性質(zhì)：原問題與對偶問題的最優(yōu)值相等。因此，影子價格(對偶問題的解)的可以看做是在對偶問題的背景下研究如何使得資源利用的機會成本最小。

表2 資源改變量與目標函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系

表2同時給出了利用軟件LINGO11.0計算出的每次實驗?zāi)繕撕瘮?shù)的改變量ΔZ，從計算結(jié)果可以看出，p=ΔZ。由此看出，雖然對于退化問題而言，具體資源的影子價格失去了意義，然而針對資源組合而言，影子價格是唯一給定的，可以用來進行經(jīng)濟分析。例如在實驗13中，將資源1、2、3看做一種資源組合，在現(xiàn)有資源量的基礎(chǔ)上，當該種資源組合中的每種資源都減少0.4時，其資源組合影子價格為0.65，若市場收購這種組合資源，則企業(yè)能夠接受的價格應(yīng)大于等于0.65，否則企業(yè)應(yīng)保留該資源組合，用于自己生產(chǎn)。

六、結(jié)束語

通過具體實例，利用經(jīng)濟學相關(guān)理論，較為詳細地分析了影子價格非唯一性的相關(guān)問題，并得到以下兩個方面的結(jié)論：

(1)利用經(jīng)濟學中生產(chǎn)要素的聯(lián)合性和替代性，可以合理解釋影子價格的非唯一性。

(2)當影子價格非唯一時，在機會成本增加量最小的意義上，組合資源的影子價格是有效的。

參考文獻：

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