章順虎，趙德文，張 雷，高彩茹，王國棟

(東北大學(xué)軋制技術(shù)及連軋自動(dòng)化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽110819，E-mail:zhangshunhusci@yahoo.cn)

MY準(zhǔn)則解析受均布載荷簡(jiǎn)支斜板極限載荷

章順虎，趙德文，張 雷，高彩茹，王國棟

(東北大學(xué)軋制技術(shù)及連軋自動(dòng)化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽110819，E-mail:zhangshunhusci@yahoo.cn)

為了得到斜板極限載荷的解析解，用平均屈服(MY)準(zhǔn)則，對(duì)受均布載荷的簡(jiǎn)支金屬斜板進(jìn)行了塑性極限分析.首次獲得MY準(zhǔn)則下斜板極限載荷的解析解，該解是斜板幾何參數(shù)長l1，寬l2以及長寬夾角θ的函數(shù).研究表明：隨著θ的增大，極限載荷先增大而后減小;斜板面積增加，極限載荷減小.得到了菱形、矩形和方形板的解析解，并將方形板的解析解與Tresca、Mises以及TSS提供的極限載荷進(jìn)行比較，對(duì)比表明：方板的極限載荷與邊長成反比關(guān)系，Tresca屈服準(zhǔn)則提供極限載荷的下限，TSS屈服準(zhǔn)則提供上限，MY準(zhǔn)則預(yù)測(cè)結(jié)果恰居二者中間，且最靠近Mises解.

MY準(zhǔn)則;斜板;方板;平面應(yīng)力;極限載荷

隨著現(xiàn)代工業(yè)的迅速發(fā)展，在材料、冶金、機(jī)械、土木、航空、海洋開發(fā)等領(lǐng)域都對(duì)平板的安全性提出了更高的要求，同時(shí)期望盡可能發(fā)揮材料的承載能力，充分利用其塑性特性，盡量減少資源消耗.因此，平板結(jié)構(gòu)的塑性分析，對(duì)于加強(qiáng)結(jié)構(gòu)安全和降低其成本具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值.平板結(jié)構(gòu)分析已從彈性向彈塑性極限分析發(fā)展，主要采用Tresca和Mises屈服準(zhǔn)則對(duì)方形板進(jìn)行了極限分析.由于Tresca屈服準(zhǔn)則未考慮中間主應(yīng)力的影響，因而實(shí)測(cè)結(jié)果高于Tresca的預(yù)測(cè)結(jié)果.Mises屈服準(zhǔn)則由于其自身的非線性，造成解析的困難，在大多數(shù)情況下只能解出近似解或數(shù)值解［1－5］.本文采用考慮中間主應(yīng)力影響并極其逼近Mises準(zhǔn)則的MY線性屈服準(zhǔn)則來解析受均布載荷簡(jiǎn)支金屬斜板的塑性極限載荷，既可以克服以Tresca計(jì)算結(jié)果作為選材和斜板設(shè)計(jì)過于保守的不足，又克服了Mises求解時(shí)的困難，在工程實(shí)際中獲得應(yīng)用具有重要的意義.

1 MY屈服準(zhǔn)則

MY準(zhǔn)則已在材料成形［6］和管線爆破壓力［7］等諸多領(lǐng)域獲得應(yīng)用.設(shè)主應(yīng)力σ1≥σ2≥σ3，其表達(dá)式為

對(duì)于板的平面應(yīng)力(σ2=0)問題，MY屈服準(zhǔn)則簡(jiǎn)化為

MY準(zhǔn)則在π平面及平面應(yīng)力下的屈服軌跡見圖1、2，圖中雙剪應(yīng)力(TSS)屈服準(zhǔn)則［8］的軌跡和Tresca屈服準(zhǔn)則的軌跡分別為Mises屈服軌跡的外切和內(nèi)接正六邊形.由圖1，2可以看出，MY準(zhǔn)則為屈服軌跡誤差三角形B'FB內(nèi)非常逼近Mises軌跡的等邊非等角十二邊形［6］.

圖1 π平面上的MY屈服軌跡

圖2 雙軸應(yīng)力的MY屈服軌跡

2 斜板的基本方程

2.1 斜坐標(biāo)系下板的平衡方程

圖3為斜板坐標(biāo)系，圖4為斜板微元體受力圖.圖3和4中:u，v為斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸;θ為斜坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸之間的夾角;2l1，2l2為斜板兩相鄰邊的長度，F(xiàn)n，1，F(xiàn)n，2，F(xiàn)t為兩相鄰微元體上的法向力和切向力(N);p為作用在斜板上的均布載荷(Pa).

圖3 斜板坐標(biāo)系

圖4 斜板微元體受力圖

在直角坐標(biāo)系中，由兩法向力和切向力Fn，x，F(xiàn)n，y，F(xiàn)n，t確定的板的平衡方程為［9－10］

根據(jù)直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系的變化關(guān)系x=u+ vcosθ;y=vsinθ，并利用傳遞法則［11］可得

將方程(4)代入方程(3)中可得斜坐標(biāo)系中板的平衡方程為

2.2 斜板的內(nèi)力分布

四周簡(jiǎn)支的斜板在均布載荷p作用下，設(shè)待定系數(shù)c1，c2，c3確定的的內(nèi)力試函數(shù)為

斜坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中內(nèi)力的關(guān)系為

由式(6)和(7)得

將式(8)代入平衡方程(3)得載荷p為

2.3 用內(nèi)力表示斜板的統(tǒng)一強(qiáng)度理論

當(dāng)斜板處于塑性狀態(tài)時(shí)，由于

其中2δ為斜板的厚度.根據(jù)最大、最小主應(yīng)力與σx，σy，τxy的關(guān)系可化平面應(yīng)力下的MY準(zhǔn)則為

注意到斜板極限抗力Fp=σsδ，化簡(jiǎn)上式并用Fn，x，F(xiàn)n，y和Fn，t表示，得

3 斜板的極限載荷分析

當(dāng)Fn，x+Fn，y≥0，將式(8)代入式(12)中第一式，可得關(guān)于斜坐標(biāo)軸u和v的MY屈服極限解析式，將該解析式對(duì)u和v求導(dǎo)，可知只有在4個(gè)角點(diǎn)(0 ，0)，(l1，0)，(0，l2)，(l1，l2)處p取極值.把(l1，0)，(0，l2)，(l1，l2)分別代入MY屈服解析式中，可得關(guān)于c1，c2和c3的一元二次方程組，解該方程組，可得c1，c2和c3為

式中:變量G、Ii和Ji(i =1～3)分別為

將式(13)和(14)代入式(9)即可求出極限載荷p，

由式(13)、(14)和(15)可知，p為斜板長l1，寬l2以及夾角θ的函數(shù).同理可得當(dāng)Fn，x+Fn，y≤0時(shí)的p.

4 分析與討論

4.1 斜板幾何參數(shù)對(duì)極限載荷的影響

斜板屈服強(qiáng)度 σs=700 MPa，厚度 δ= 0.004 m，長l1=0.4 m，寬l2=0.4，0.3，0.2，以MY準(zhǔn)則式(15)求得得極限載荷p與斜板面積l1l2以及夾角θ的變化關(guān)系如圖5所示.

圖5 斜板極限載荷與幾何參數(shù)的關(guān)系

由圖5可知，在相同的面積下，極限載荷隨著夾角θ的增大而呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律，極限載荷在θ=90°時(shí)獲得最大值.這意味著在同樣承載面積下，矩形板或方板的承載能力高于其他角度的斜板.另一方面，當(dāng)夾角θ相同時(shí)，極限載荷隨著斜板的面積l1l2增加而減小.

4.2 菱形板、矩形板和方板

對(duì)于 Fn，x+Fn，y≥0，當(dāng) θ=π/3，θ=π/2，θ=π/2且l1=l2時(shí)，斜板分別為菱形、矩形和方形，由式(13)、(14)和(15)，它們的極限載荷為

趙均海和李建春［12－14］等人用TSS屈服準(zhǔn)則計(jì)算出方板極限載荷的Tresca解和TSS解，徐秉業(yè)［2］給出了方板極限載荷的Mises解，分別為

不同屈服準(zhǔn)則對(duì)方板極限載荷的影響見圖6所示.由圖6可知，方板的極限載荷隨著邊長的增加而減小;相同邊長時(shí)，TSS屈服準(zhǔn)則預(yù)測(cè)極限載荷上限，Tresca預(yù)測(cè)下限，而MY解居于中間，并且靠近Mises解.

圖6 不同屈服準(zhǔn)則對(duì)極限載荷的影響

5 結(jié)論

1)首次以MY屈服準(zhǔn)獲得了斜板塑性極限載荷的解析解，該解是斜板面積和兩邊交角的函數(shù).斜板的極限載荷隨著面積增加而減小，隨著夾角的增加而先增加后減小，在 θ=90°時(shí)獲得最大值.

2)采用不同的l1，l2和θ值可以得到不同形狀的斜板的極限均布載荷.菱形板、矩形板和方板的極限均布載荷均為本文的特例.

3)方板的極限載荷與邊長成反比關(guān)系，TSS提供極限載荷上限，Tresca提供極限載荷下限，MY解居于 TSS和 Tresca解之間，并且最靠近Mises解.

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Analysis of plastic limit load of simply supported skew plate under uniformed loading with MY criterion

ZHANG Shun-hu，ZHAO De-wen，ZHANG Lei，GAO Cai-ru，WANG Guo-dong
(State Key Laboratory of Rolling and Automation，Northeastern University，Shenyang 100819，China，E-mail:zhangshunhusci@yahoo.cn)

To obtain an analytical solution of the problem of plastic limit load of simply supported skew plate，the simply supported skew plate under uniformed loading is analyzed with MY(mean yield)criterion.The solution shows that the limit load is a function of skew plate length l1，width l2and intersection θ，which increases first and then decreases as the intersection θ increases，and decreases with the increasing of the skew plate area.What’s more，the solutions of diamond，rectangular and square plates are also deduced.The limit load of square plate calculated by MY solution is compared with those based on Tresca，Mises，as well as TSS yield criteria.The relationship between the limit load of the square plate and the side length of the plate is inverse，and the Tresca criterion predicts a lower bound of the limit load，while the TSS criterion predicts an upper bound.However，the limit load by the MY criterion lies just between the TSS and Tresca solutions，and the MY criterion is most close to Mises solution.

MY criterion;skew plate;square plate;plane stress;limit load

TG335.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1005－0299(2012)02－0065－05

2011－09－15.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51074052);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目(N110607002).

章順虎(1986－)，男，博士生;

王國棟(1942－)，男，教授，中國工程院院士.

(編輯 呂雪梅)