華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 王 濤 陳邵權(quán) 范寒柏 王 磊

1.引言

傳統(tǒng)的FFT方法得到的信號(hào)頻譜是一種離散的頻譜，其分辨率為Δf=fs/N，其中，fs為采樣頻率，N為采樣點(diǎn)數(shù)。由此我們可以得出，頻譜的分辨率是由采樣頻率fs和采樣點(diǎn)數(shù)N來確定，根據(jù)乃奎斯特采樣定理，要使信號(hào)的頻譜不產(chǎn)生混疊，采樣頻率fs應(yīng)大于信號(hào)帶寬的兩倍。而分辨率的提高(Δf越小分辨率越高)只能通過降低采樣頻率fs或增大采樣點(diǎn)數(shù)N，但fs的降低受到乃奎斯特定律的限制，不能過小，過小會(huì)發(fā)生頻譜混疊；而增加取樣點(diǎn)數(shù)會(huì)增加運(yùn)算量和存儲(chǔ)量，使得算法的時(shí)間增大，效率降低。由此看來,只有長的時(shí)間數(shù)據(jù)才有可能得到高的頻率分辨力,但是由于實(shí)際測量條件和硬件方面等的限制,這樣做并不總是可能的。而在實(shí)際測量中，我們往往只是對信號(hào)的某一頻段的頻率感興趣，只分析這個(gè)頻段的信號(hào)即可?；趶?fù)調(diào)制的ZOOMFFT可以實(shí)現(xiàn)在較窄的頻帶范圍實(shí)現(xiàn)較高的頻率分辨率。是一種折中的方法[4]。因此在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

圖1 基于復(fù)調(diào)制ZoomFFT的基本原理流程圖

圖2 實(shí)際信號(hào)ZoomFFT后未進(jìn)行頻率調(diào)整的頻譜

圖3 測量物體動(dòng)態(tài)時(shí)得到的頻譜

2.ZoomFFT的基本原理

ZoomFFT方法基本原理是：移頻——數(shù)字低通濾波——重新抽樣——復(fù)FFT——頻率調(diào)整，其原理過程如圖1所示。

設(shè)模擬信號(hào)為x(t)，經(jīng)過A/D采樣后，得到離散的序列x0(n)，(n=0,1…N-1)，fs為采樣頻率，fe為需要細(xì)化頻帶的中心頻率，D為細(xì)化倍數(shù)，N為FFT的點(diǎn)數(shù)，X(k)為輸出的序列。具體的算法過程可歸納為以下幾個(gè)步驟：

(1)復(fù)調(diào)制移頻

所謂復(fù)調(diào)制移頻指的是將頻域坐標(biāo)向左或向右移動(dòng)，使得被觀察的頻段的起點(diǎn)移動(dòng)到頻域坐標(biāo)的零頻位置。模擬信號(hào)x(t)經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換后，得到離散的信號(hào)x0(n)，假設(shè)要觀測的頻帶為f1～f2，則在此頻帶范圍內(nèi)進(jìn)行細(xì)化分析，觀測的中心頻率為fe=(f1+f2)/2對x0(n)以e-j2πfe/fs進(jìn)行復(fù)調(diào)制，得到的頻移信號(hào)：

式中fs=NΔf為采樣頻率，Δf為譜線間隔，L0=fe/Δf為頻率的中心移位，也是在全局頻譜顯示中所對應(yīng)中心頻率fe的譜線序號(hào)，則fe=L0Δf。由此可得出，復(fù)調(diào)制使x0(n)的頻率成分fe移到x(n)的零頻點(diǎn)，也就是說X0(k)中的第L0條譜線移到X(k)中零點(diǎn)頻譜的位置。為了得到X(k)零點(diǎn)附近的部分細(xì)化頻譜，可重新抽樣把頻率降到fs/D，D為細(xì)化倍數(shù)。為了是抽樣后的頻率不發(fā)生頻譜混疊，需要在抽樣前進(jìn)行低通濾波。

(2)數(shù)字低通濾波

為了保證重新采樣后的信號(hào)在頻譜分析時(shí)不發(fā)生頻譜混疊，需進(jìn)行抗混疊濾波，濾出需要分析的頻段信號(hào)，設(shè)細(xì)化倍數(shù)為D，則數(shù)字低通濾波器的截止頻率fC≤fs/2D。

(3)重新抽樣

信號(hào)經(jīng)過移頻、低通濾波后，分析信號(hào)點(diǎn)數(shù)變少，但再以較低的采樣頻率進(jìn)行重新采樣，在通過補(bǔ)零保證相同的采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)，樣本的總長度加大，頻譜的分辨率也就得到了提高。

設(shè)原采樣頻率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則頻率分辨率為fs/N，現(xiàn)重采樣頻率為fs/D,當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)仍是N是，其分辨率為fs/(D*N)，分辨率提高了D倍。這樣就在原采樣頻率不變的情況下得到了更高的頻率分辨率。

(4)復(fù)數(shù)FFT

重新采樣后的信號(hào)實(shí)部和虛部是分開的，需要對信號(hào)進(jìn)行N點(diǎn)復(fù)FFT，從而得出N條譜線，此時(shí)分辨率為Δf′=fs′/N=fs/ND=Δf/D，可見分辨率提高了D倍。

(5)頻率調(diào)整

經(jīng)過算法運(yùn)行后的譜線不為實(shí)際頻率的譜線，需要將其反向搬移，轉(zhuǎn)換成實(shí)際頻率，進(jìn)而得出細(xì)化后的頻率。

3.ZOOMFFT的實(shí)現(xiàn)

目前我們用的芯片是STM32，在芯片上運(yùn)行ZoomFFT算法程序，可直接調(diào)用STM32固件庫，程序簡單、穩(wěn)定可靠、結(jié)構(gòu)性強(qiáng)。STM32固件庫有FIR濾波器，只要求出所需濾波器參數(shù)的系數(shù)，調(diào)用固件庫的函數(shù)即可，計(jì)算既快又穩(wěn)定，效率很高。FFT的實(shí)現(xiàn)是通過C語言編的FFT子函數(shù)，只要得到輸入序列和FFT點(diǎn)數(shù)，調(diào)用FFT子函數(shù)就可求出FFT的輸出序列。部分核心ZoomFFT的C語言程序如下：

mrelfft(adr,adi,N,-1);

//// /求幅頻特性/////////

for(k=0;k＜N;k++)

{p=pow(adr[k],2)+pow(adi[k],2);

fft[k]=sqrt(p);}

//頻率調(diào)整可通過公式實(shí)現(xiàn)f=fe+i*(fs/(D*1024.0));

4.實(shí)驗(yàn)結(jié)果

算法的驗(yàn)證通過兩種方式進(jìn)行了驗(yàn)證：函數(shù)信號(hào)發(fā)生器加入實(shí)際信號(hào)；在工程中實(shí)際測量。

(1)加實(shí)際信號(hào)。通過函數(shù)信號(hào)發(fā)生器加頻率為55000Hz、幅值為1V和頻率為55030Hz、幅值為0.7V的實(shí)際信號(hào)，得到的頻譜如圖2所示。

通過實(shí)驗(yàn)得出，未經(jīng)過ZOOMFFT的信號(hào)，兩個(gè)很接近的頻率疊加到了一起，而經(jīng)過ZoomFFT后的頻譜在分辨率內(nèi)可以分別，通過分析可得出ZoomFFT得到的信號(hào)頻率比直接FFT得到的頻率更真實(shí)，分辨率高、誤差小、穩(wěn)定性好。

(2)在工程中實(shí)驗(yàn)

將算法應(yīng)用到測量設(shè)備中，測量物體動(dòng)作時(shí)的返回頻率，通過動(dòng)態(tài)測量返回信號(hào)的頻譜如圖3所示。

由實(shí)驗(yàn)我們可以看出，函數(shù)信號(hào)發(fā)生器的信號(hào)是理想信號(hào)，測得頻譜均為一根譜線，而實(shí)際測量中，由于有噪聲的存在，測量的頻譜不是一根譜線，而是一個(gè)峰，但峰頂?shù)奈恢煤蛯?shí)際頻率一致，稍微的運(yùn)動(dòng)就可以從峰頂?shù)奈恢梅磻?yīng)出來。

實(shí)際的測量時(shí)，STM32通過外部AD進(jìn)行采樣，在其上只運(yùn)行算法程序，約150毫秒，將移頻時(shí)的三角函數(shù)的計(jì)算用數(shù)組表示，也就是將三角函數(shù)的值算出放在數(shù)組里，移頻時(shí)直接調(diào)用數(shù)組，省去兩次1024點(diǎn)的三角相乘計(jì)算的時(shí)間，用數(shù)組存放三角函數(shù)值后，算法程序耗時(shí)110毫秒。為降低，我們可測試了調(diào)用STM32固件庫自帶的匯編FFT，此時(shí)耗時(shí)約30毫秒，但STM32自帶的FFT的輸入輸出都是32位整型，計(jì)算的精度沒有C語言的浮點(diǎn)型變量FFT精度高。目前我們已經(jīng)將該算法成功應(yīng)用到了自己制作的水速測量算法中，并取得了理想的效果。

5.總結(jié)

通過實(shí)際的測量分析實(shí)現(xiàn)了對某頻段的頻譜細(xì)化分析，ZoomFFT在不增大FFT點(diǎn)數(shù)N的情況下降低了采樣頻率，提高了在細(xì)化頻譜分析中有很重要的作用，可以通過此算法得到欲觀測的頻段局部頻譜特性。由于計(jì)算量小，在實(shí)際應(yīng)用中不需要用高速處理芯片，如我們應(yīng)用的STM32足以滿足其應(yīng)用?？梢奪oomFFT是一個(gè)行之有效的解決局部頻段分析的方法。

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