程桂賢， 何國龍

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華 321004)

0 引言

非線性方程求解的方法和理論是當(dāng)今數(shù)值分析研究的重要課題之一，而Newton迭代法是非線性方程求根的重要經(jīng)典方法［1-2］，其迭代公式為

收斂階為2．

近年來，有不少工作者對(duì)Newton迭代法進(jìn)行了改進(jìn)［3-6］．如文獻(xiàn)［5］中的Newton-Steffensen迭代法，其迭代公式為

Chebyshev-Halley迭代法是一族收斂階為3的迭代法，而且一些著名的迭代法包含其中．例如，當(dāng)法［6-8］．然而，在Chebyshev-Halley迭代法中含有二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．因此，它在實(shí)際應(yīng)用中受到了一定的限制．故求解非線性方程時(shí)經(jīng)常會(huì)選用Newton迭代法．

至今，已有許多文獻(xiàn)對(duì) Chebyshev迭代法、Halley迭代法及 Chebyshev-Halley迭代法進(jìn)行了改進(jìn)［9-13］，其結(jié)果優(yōu)于經(jīng)典的Chebyshev-Halley迭代法及Newton迭代法．在上述工作的影響下，本文也提出了一族新的免求二階導(dǎo)數(shù)的Chebyshev-Halley型迭代法．在每次迭代過程中只需計(jì)算2個(gè)函數(shù)值和1個(gè)一次導(dǎo)數(shù)值，其收斂階仍為3．?dāng)?shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了此方法的有效性．

1 新的Chebyshev-Halley型迭代法的推導(dǎo)及收斂性分析

設(shè)非線性方程

在開區(qū)間D?R→R上有單根α，且f(x)在D上充分光滑．將f(x)在xn(xn為n次迭代值)處泰勒展開，得

將x=α代入式(5)得

由式(7)可得

由式(8)和式(9)可得

于是，得到一族新的免求二階導(dǎo)數(shù)的Chebyshev-Halley型迭代法

定理1 設(shè)f:D?R→R在α附近充分光滑，α∈D是方程f(x)=0的單根，且x0充分靠近α，則由式(12)所定義的迭代式的收斂階至少為3，且誤差方程為

證明 將f(xn)，f'(xn)在α處泰勒展開，得

于是

將式(15)及式(19)代入式(11)可得

故

于是1

因此

定理1得證．

2 例子

當(dāng)β=0時(shí)，可得到另一種新的3階迭代法

3 數(shù)值試驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所給出的迭代法的有效性，對(duì)每個(gè)算例都用文獻(xiàn)［1-2］中的Newton迭代式(NM)、文和本文所給出的迭代式(26)(MCH1)及迭代式(27)(MCH2)進(jìn)行比較．

給出以下計(jì)算實(shí)例:

此處x*為方程f(x)=0的根α的近似值，xn為n次迭代后方程f(x)=0的根α的近似值，用TNFE表示函數(shù)值的求解總次數(shù)，ITN表示迭代次數(shù)，COC表示計(jì)算的收斂階的近似值，其計(jì)算公式為［14］

數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表1．

表1 TNFE=12為中止迭代的判定條件

續(xù)表1

表2 |xn+1-xn|≤1．0×10-20為中止迭代的判定條件

給出的數(shù)值結(jié)果說明此方法是有效的．

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