王萬銀

長安大學(xué)重磁方法技術(shù)研究所，長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，長安大學(xué)西部礦產(chǎn)資源與地質(zhì)工程教育部重點實驗室，西安 710054

位場解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律研究

王萬銀

長安大學(xué)重磁方法技術(shù)研究所，長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，長安大學(xué)西部礦產(chǎn)資源與地質(zhì)工程教育部重點實驗室，西安 710054

通過對單一邊界、雙邊界、多邊界以及點（線）質(zhì)量模型重力異常解析信號振幅和重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的極值位置空間變化規(guī)律研究表明，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅和化極磁力異常解析信號振幅的極值位置相同，且與重力異常解析信號振幅的極值位置空間變化規(guī)律相似．利用位場解析信號振幅極大值位置能夠準(zhǔn)確識別單一直立邊界地質(zhì)體的邊緣位置，但不能準(zhǔn)確識別其它任何形體的邊緣位置，其識別結(jié)果的偏移量大小隨地質(zhì)體的埋深、水平尺寸以及傾斜程度等變化．雖然重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅比重力異常解析信號振幅的峰值更加尖銳、橫向識別能力更強，其極大值位置更靠近地質(zhì)體上頂面邊緣位置，但均受地質(zhì)體埋深的影響較大；隨著埋深的增加，位場解析信號振幅的極大值位置會快速收斂到形體的“中心位置”，其軌跡類似“叉子狀”；且對多邊界模型會出現(xiàn)“極大值位置盲區(qū)”而無法識別其邊緣位置．通過這些理論研究表明，位場解析信號振幅只能識別單一邊界地質(zhì)體的邊緣位置；而不宜用來識別多邊界地質(zhì)體的邊緣位置，但可以用來識別多邊界地質(zhì)體的“中心位置”．

解析信號振幅，極值位置，空間變化規(guī)律，邊緣位置，中心位置，極大值位置盲區(qū)，叉子狀

1 引 言

利用重、磁異?？梢匝芯康刭|(zhì)體的橫向不均勻性，特別是其邊緣位置．這里的地質(zhì)體邊緣是指斷裂構(gòu)造線、不同地質(zhì)體邊界線等．由于在該邊緣位置存在一定的密度或磁性差異，使得地質(zhì)體邊緣附近的重、磁異常變化率較大，故可以利用重、磁異常的變化率來識別地質(zhì)體的邊緣位置．利用重、磁異常識別地質(zhì)體的邊緣位置有數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)值計算和其它三大類［1］．?dāng)?shù)值計算類邊緣識別方法是研究最多、應(yīng)用最廣的邊緣識別方法，此類方法有垂向?qū)?shù)［2－5］、總水平導(dǎo)數(shù)［6－9，5］、解析信號振幅［10－14］三種基本方法和傾斜角［15］、θ圖［16］兩種基本比值方法，其他方法均是在這些方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來．?dāng)?shù)值計算類邊緣識別方法的理論基礎(chǔ)是二度體鉛垂臺階模型邊緣處重、磁異常的變化率達到極大值或零值，故可以利用這一特點來準(zhǔn)確識別二度體鉛垂臺階的邊緣位置．對于傾斜二度體、不規(guī)則二度體以及三度體邊緣位置的識別均是二度體鉛垂臺階模型理論的推廣，但識別的邊緣位置與真實位置有一定偏差（偏移）．該偏差隨著地質(zhì)體邊界形狀、埋深、水平尺寸及物性差異等的變化而變化．

解析信號振幅（ASM，Analytical Signal Amplitude）又稱總梯度模量，該方法利用極大值位置來識別地質(zhì)體的邊緣位置．1972年，Nabighian［10］首次提出了二維解析信號的概念，證明了二維解析信號振幅不受磁異常分量和磁化方向的影響，并用于二度體磁力異常的邊緣識別；1984年，Nabighian［11］又提出了三維解析信號的概念，只進行了理論研究，沒有進行實際應(yīng)用研究；Roest等［13］（1992）和Qin［14］（1994）利用磁力異常三維解析信號振幅識別地質(zhì)體的邊緣位置；胡中棟等［17］（1995）利用磁力異常三維解析信號振幅進行磁性體的邊緣識別以及參數(shù)反演．通過這些研究奠定了解析信號振幅的理論基礎(chǔ)．在很長一段時間內(nèi)，人們均將二維解析信號振幅不受磁異常分量和磁化方向影響的結(jié)論用于三維解析信號振幅，直到1996年，Aqarwal和Shaw［18］證明了三維磁力異常解析信號振幅與磁異常分量和磁化方向有關(guān)．隨后，管志寧和姚長利［19］（1997）、黃臨平和管志寧［20］（1998）經(jīng)過研究指出，三維解析信號振幅受磁異常分量和磁化方向的影響，只是沒有其它方法所受影響大．Li［21］（2006）撰文進一步明確了三維解析信號與二維解析信號的區(qū)別，并指出三維解析信號振幅受磁異常分量和磁化方向的影響．至此，解析信號振幅的理論研究才趨近完善．

解析信號振幅的優(yōu)點是受磁異常分量和磁化方向的影響最小、且其化極磁力異常解析信號振幅與重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的識別結(jié)果相同，但其缺點是識別結(jié)果的橫向分辨能力較低．為了克服這個缺點，解析信號振幅的提出者Nabighian［22］（1974）提出了利用二維n階水平導(dǎo)數(shù)解析信號振幅與解析信號振幅的比值來提高橫向分辨能力；Hsu等［23］（1996）提出了三維n階垂向?qū)?shù)解析信號振幅，并稱為增強解析信號（Enhanced Analytic Signal）；Debeglia和Corpel［24］（1997）又提出了三維n階水平導(dǎo)數(shù)和垂向?qū)?shù)解析信號振幅，并稱之為解析信號導(dǎo)數(shù)（Analytic Signal Derivative）．此外，以解析信號振幅為基礎(chǔ)發(fā)展了一些新的邊緣識別方法，如秦葆瑚［25］（1998）提出的解析信號振幅傾斜角方法；Bournas和Baker［26］（2001）提出的解析信號振幅總水平導(dǎo)數(shù)方法．這些方法均比解析信號振幅的分辨能力強．

以上這些研究工作奠定了位場解析信號振幅邊緣識別的理論重點研究了其平面（剖面）變化規(guī)律，系統(tǒng)研究位場解析信號振幅極值位置隨地質(zhì)體埋深的空間變化規(guī)律．針對這一問題，本文通過幾種簡單規(guī)則形體重力異常解析信號振幅和重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置的解析表達式以及剖面、平面特征，特別是斷面特征，重點研究了這些簡單規(guī)則形體重力異常解析信號振幅和重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的極值位置空間變化規(guī)律，為位場解析信號振幅邊緣識別偏移量大小的研究奠定了一定的理論基礎(chǔ)，也指出了位場解析信號振幅在識別地質(zhì)體邊緣位置時存在的一些問題．

2 重力異常解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律

不論是二維或三維位場解析信號振幅，它們均定義為位場垂向?qū)?shù)VDR與位場總水平導(dǎo)數(shù)THDR的平方和再開方，具體計算公式為

重力異常垂向?qū)?shù)零值位置［27］和重力異?？偹綄?dǎo)數(shù)極值位置［28］的空間變化規(guī)律可以通過求解零值位置和極值位置的解析表達式來進行研究，但重力異常解析信號振幅的極值位置卻難以用解析表達式來進行研究，只能通過理論模型正演結(jié)果在斷面上的變化特征來進行研究．這里將選用單邊界模型（鉛垂臺階和傾斜臺階）、雙邊界模型（直立平行四邊形和梯形）、多邊界模型（直立平行四邊形組合模型）、線質(zhì)量模型（水平圓柱體）、點質(zhì)量模型（球體）和三度體模型（直立六面體）來研究重力異常解析信號振幅極值位置的空間變化規(guī)律．

2．1 直立單邊界模型——鉛垂臺階

鉛垂臺階模型只有一個直立邊界，另外一個邊界位于無窮遠處，該模型用來模擬單邊陡傾角斷層或接觸面．在直角坐標(biāo)系中（z坐標(biāo)方向向下為正），設(shè)坐標(biāo)原點位于鉛垂臺階邊緣在水平線的投影處．又設(shè)鉛垂臺階的剩余密度為σ，頂面和底面的z坐標(biāo)分別為ζ1和ζ2，其引起的重力異常解析信號振幅ASM 為

由該式可以看出，ASM（x，0）≥0，且ASM（－x，0）＝ASM（x，0），鉛垂臺階力異常解析信號振幅ASM是一個非負(fù)偶函數(shù)．對ASM（x，0）沿x方向求導(dǎo)得

2．2 線質(zhì)量模型——無限延伸水平圓柱體

該模型用來研究埋深較大的二度體或線質(zhì)量體的重力異常解析信號振幅極值位置的空間變化規(guī)律．在直角坐標(biāo)系中（z坐標(biāo)方向向下為正），設(shè)無限延伸水平圓柱體的半徑為R、圓柱體中心坐標(biāo)為（0，ζ），剩余密度為σ，則其重力異常解析信號振幅ASM為

由（3）不難看出，重力異常解析信號振幅是一個偶函數(shù)，其極大值位于xm＝0處，即水平圓柱體的中心位置，并且不隨水平圓柱體埋深的變化而變化．也就是說，二度體的重力異常解析信號振幅極大值位置隨著埋深的增加，其值收斂到二度體的中心位置．

2．3 傾斜單邊界模型——傾斜臺階

傾斜臺階只有一個傾斜邊界，另外一個邊界位于無窮遠處，該模型用來模擬單邊緩傾角斷層或接觸面．在直角坐標(biāo)系中（z坐標(biāo)方向向下為正），設(shè)坐標(biāo)原點位于傾斜臺階上頂面邊緣在水平線的投影點，頂面和底面的z坐標(biāo)分別為ζ1和ζ2，傾斜面和底面的夾角為α，剩余密度為σ，其引起的重力異常解析信號振幅ASM為

對（4）沿x方向求導(dǎo)，得到重力異常解析信號振幅水平一階導(dǎo)數(shù)?ASM（x，0）／?x是由自然對數(shù)和反正切函數(shù)構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)表達式，若令其為0很難得到其極值位置的解析表達式，因此只能通過繪制重力異常解析信號振幅斷面圖的方式來研究其極值位置的空間變化規(guī)律．圖1給出了在z＝0剖面上傾斜面和底面夾角分別為30°、45°和135°的重力異常解析信號振幅剖面圖和在z＝0以上半空間重力異常解析信號振幅極大值位置斷面圖（附傾斜面和底面夾角為45°時的重力異常解析信號振幅等值線圖）．

（1）從剖面圖來看，重力異常解析信號振幅極大值位置偏向臺階傾斜方向，臺階傾斜角越小，重力異常解析信號振幅極大值位置偏離臺階上頂面邊緣位置的距離越大，比重力異常垂向?qū)?shù)零值位置［27］和重力異?？偹綄?dǎo)數(shù)極大值位置［28］偏移量?。?/p>

（2）從斷面圖來看，傾角為α（45°）的重力異常解析信號振幅與傾角為（π－α）（135°）的重力異常解析信號振幅以坐標(biāo)原點（傾斜臺階上頂面邊緣點）為對稱．隨著埋深的逐漸增加，重力異常解析信號振幅極大值位置逐漸向傾向一側(cè)偏移，最后收斂于一個穩(wěn)定值——不超過傾斜面水平寬度的一半．

2．4 直立雙邊界模型——直立平行四邊形

直立平行四邊形模型的兩個邊界均呈直立狀，上、下頂面均呈水平狀，該模型用來模擬雙邊陡傾角斷層或接觸面．在直角坐標(biāo)系中（z坐標(biāo)方向向下為正），直立平行四邊形的左、右邊界x坐標(biāo)分別為－ξ和ξ，頂面和底面z坐標(biāo)分別為ζ1和ζ2，剩余密度為σ．其引起的重力異常解析信號振幅ASM為

由（5）式不難看出，ASM（x，0）≥0，且ASM（－x，0）＝ASM（x，0），即重力異常解析信號振幅ASM是一個非負(fù)偶函數(shù)．

圖2給出了在z＝0剖面上重力異常解析信號振幅圖和在z＝0以上半空間重力異常解析信號振幅極值位置（紅色為極大值位置；黃色為極小值位置，也就是零值位置）斷面圖．由圖2可以看出：當(dāng)形體埋深較淺時，重力異常解析信號振幅有兩個極大值和一個極小值，極大值位于直立平行四邊形上頂邊緣的內(nèi)側(cè)，極小值位于直立平行四邊形的中心位置．隨著埋深的逐漸增加，重力異常解析信號振幅極大值位置快速向形體中心移動，直到某一個深度時與極小值位置重合，之后一直位于形體中心位置，其軌跡類似“叉子狀”．這是重力異常解析信號振幅極值位置最主要的一種空間變化規(guī)律模式．

2．5 傾斜雙邊界模型——梯形臺階

梯形臺階的兩個邊界均呈傾斜狀，上、下頂面均呈水平狀，用來模擬雙邊緩傾角斷層或接觸面．該模型重力異常解析信號振幅可以由重力異常垂向?qū)?shù)和水平導(dǎo)數(shù)合成，但難以得到梯形臺階模型重力異常解析信號振幅極值位置的解析表達式，故用其斷面圖來研究重力異常解析信號振幅極值位置的空間變化規(guī)律．

圖3為z＝0剖面上的重力異常解析信號振幅圖和z＝0以上半空間重力異常解析信號振幅極值位置圖．在圖3所示的剖面圖上，重力異常解析信號振幅剖面圖不對稱，在形體中心達到極小值，在形體邊緣附近達到極大值．而在圖3所示的斷面圖上，當(dāng)形體埋深較淺時，重力異常解析信號振幅極大值位置接近形體上頂邊緣位置；隨著形體埋深的增加，不論形體界面如何傾斜，重力異常解析信號振幅極大值位置均向形體中心偏移，到達一定深度時，向形體內(nèi)側(cè)傾斜的極大值位置消失，出現(xiàn)“極大值位置盲區(qū)”，這時就無法識別向內(nèi)側(cè)傾斜的地質(zhì)體上頂邊緣位置，但向形體外側(cè)傾斜的極大值位置一直存在，并隨著地質(zhì)體埋深的進一步增大，該極大值位置向形體中心收斂．這一變化規(guī)律與直立平行四邊形重力異常解析信號振幅極大值位置的變化規(guī)律基本一致，即當(dāng)埋深較大時，重力異常解析信號振幅極大值位置收斂到形體中心位置．

圖1 傾斜臺階模型及重力異常解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常解析信號振幅剖面圖；（b）重力異常解析信號振幅極大值位置斷面圖；（c）傾斜臺階模型．Fig．1 Inclined step models，profile map of ASM of gravity anomaly and the sectional drawing of the extreme value position from the ASM．（a）Profile map of the ASM of gravity anomaly，（b）Sectional drawing of the extreme value position from the ASM and（c）Inclined step models．

2．6 多邊界模型——直立平行四邊形組合模型

這里設(shè)計兩個相同大小的直立平行四邊形組合模型來代表多邊界模型．兩個直立平行四邊形水平寬度均為600m，垂向厚度也為600m，相距200m．根據(jù)（5）計算得到重力異常解析信號振幅在z＝0上的剖面圖和在z＝0以上半空間的斷面圖見圖4所示．由該圖可以看出：在兩個互相靠近的直立平行四邊形之間，埋深較淺時，重力異常解析信號振幅極大值位置位于形體的上頂邊緣位置；隨著埋深的增加，兩個形體重力異常解析信號振幅極大值位置向形體內(nèi)側(cè)偏移，并很快在埋深達到50m時與極小值重合，之后極大值消失，這就是重力異常解析信號振幅所能分辨的最大深度．另外，隨著埋深的增加，各形體外側(cè)邊緣的重力異常解析信號振幅極大值位置向形體內(nèi)側(cè)方向收斂，直到某一個埋深時兩個極大值位置和一個極小值位置重合，變?yōu)橐粋€極大值位置，該位置就是兩個直立平行四邊形的中心位置．這種變化規(guī)律與單一直立平行四邊形的變化規(guī)律一致．

圖2 直立平行四邊形模型及重力異常解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常解析信號振幅剖面圖；（b）重力異常解析信號振幅極大值位置斷面圖；（c）直立平行四邊形模型．Fig．2 Vertical parallelogram model，profile map of ASM of gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the ASM．（a）Profile map of the ASM of gravity anomaly，（b）Sectional drawing of the extreme value position from the ASM and（c）Vertical parallelogram model．

2．7 點質(zhì)量模型——球體

球體可以用來研究埋深較大或等軸三度體的重力異常解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律．在直角坐標(biāo)系中（z坐標(biāo)方向向下為正），假設(shè)球體的剩余密度為σ、半徑為R、球體中心坐標(biāo)為（0，0，ζ），則重力異常解析信號振幅ASM的表達式為

圖3 梯形臺階模型及重力異常解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖Fig．3 Trapezoidal step model，profile map of ASM of gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the ASM．

體的中心位置，這與重力異常垂向?qū)?shù)零值位置［27］和總水平導(dǎo)數(shù)極值位置［28］的變化規(guī)律完全不同．

2．8 直立邊界三度體模型——直立六面體

圖4 直立平行四邊形組合模型及重力異常解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖Fig．4 Profile map of ASM of gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the ASM for Compound models．

該模型用來模擬三度體陡傾角斷層以及接觸面，在直角坐標(biāo)系中（z坐標(biāo)方向向下為正），設(shè)直立六面體的坐標(biāo)范圍為ξ1～ξ2，η1～η2，ζ1～ζ2，剩余密度為σ．則重力異常解析信號振幅ASM的表達式為

圖5 直立六面體模型及重力異常解析信號振幅平面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常解析信號振幅極大值位置斷面圖；（b）重力異常解析信號振幅平面圖．Fig．5 Vertical hexahedron model，plane figure of ASM of gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the ASM（a）Sectional drawing of the extreme value position from the ASM；（b）Plane figure of the ASM of gravity anomaly．

3 重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律

重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的極值位置與化極磁力異常解析信號振幅的極值位置相同，其研究方法與重力異常解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律的研究方法相同，選擇的模型也完全相同．重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅（Analytical Signal Amplitude of Vertical Derivative）VDR＿ASM定義為重力異常垂向二階導(dǎo)數(shù)與重力異常垂向?qū)?shù)總水平導(dǎo)數(shù)的平方和再開方，其表達式為

3．1 直立單邊界模型——鉛垂臺階

圖6 傾斜臺階模型及重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖和極值位置斷面圖（a）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖，（b）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置斷面圖，（c）傾斜臺階模型．Fig．6 Inclined steps model，profile map of VDR＿ASM for gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM（a）Profile map of the VDR＿ASM of gravity anomaly，（b）Sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM and（c）Inclined steps model．

鉛垂臺階模型重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM為若對（8）沿x方向求導(dǎo)可以得到重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的極值位置坐標(biāo)為xm＝0，該位置就是極大值位置．由以上討論可知，鉛垂臺階重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅是一個非負(fù)偶函數(shù)，有一個唯一的極大值位置位于鉛垂臺階邊緣處，并與重力異常解析信號振幅的極大值位置相同．

3．2 線質(zhì)量模型——無限延伸水平圓柱體

無限延伸水平圓柱體重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM為

由（9）不難看出，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅是一個偶函數(shù)，其極大值位于xm＝0處，即水平圓柱體的中心位置，并且不隨水平圓柱體埋深的變化而變化．

3．3 傾斜單邊界模型——傾斜臺階

傾斜臺階模型重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM 為

由于難以得到重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置的解析表達式，故只能通過剖面和斷面特征研究其極值位置的空間變化規(guī)律．圖6給出了在z＝0剖面上傾斜面和底面夾角分別為30°、45°和135°的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅圖和在z＝0以上半空間斷面圖（附傾斜面和底面夾角為45°時的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅等值線圖）．從剖面圖來看，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置偏向臺階傾斜方向，臺階傾斜角越小，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置偏離臺階上頂面邊緣位置的偏移量越大，但比重力異常解析信號振幅極大值位置偏移量?。硗?，傾角為α（45°）的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅與傾角為（π－α）（135°）的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅以坐標(biāo)原點（傾斜臺階上頂面邊緣點）為對稱．即

VDR＿ASM（x，α）＝VDR＿ASM（－x，π－α）．從斷面圖來看，隨著埋深的逐漸增加，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置逐漸向傾向一側(cè)移動，最后收斂于一個穩(wěn)定值，該偏移量比重力異常解析信號振幅的偏移量小，但變化規(guī)律基本一致．

3．4 直立雙邊界模型——直立平行四邊形

直立平行四邊形模型重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM 的表達式為

由（11）式不難看出，VDR＿ASM（x，0）≥0，且VDR＿ASM（－x，0）＝VDR＿ASM（x，0），即重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM是非負(fù)偶函數(shù)．由于難以得到重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置的解析表達式，故只能通過剖面和斷面特征研究其極值位置的空間變化規(guī)律．圖7為z＝0剖面上和z＝0以上半空間斷面上重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅圖．從剖面圖來看，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅（圖7）的峰值比重力異常解析信號振幅（圖2）的峰值尖銳．從斷面圖來看，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置與重力異常解析信號振幅極大值位置的變化規(guī)律相似，但比重力異常解析信號振幅的極大值位置更靠近形體上頂邊緣位置．當(dāng)?shù)刭|(zhì)體埋深較淺時，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置靠近形體上頂邊緣位置；但當(dāng)?shù)刭|(zhì)體埋深逐漸增加時，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置自形體上頂邊緣位置向形體中心位置收斂，并與形體中心位置的極小值位置重合趨于一個穩(wěn)定值——形體中心位置，其軌跡也類似“叉子狀”．與重力異常解析信號振幅極值位置的變化規(guī)律相同，只是比重力異常解析信號振幅極大值位置向形體中心收斂的速度稍慢，也就是橫向分辨能力更強．

3．5 傾斜雙邊界模型——梯形臺階

梯形臺階模型重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM 的表達式為

圖7 直立平行四邊形模型及重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖；（b）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置斷面圖；（c）直立平行四邊形模型．Fig．7 Vertical parallelogram model，profile map of VDR＿ASM for gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM（a）Profile map of the VDR＿ASM of gravity anomaly，（b）Sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM and（c）Vertical parallelogram model．

由于難以得到梯形臺階重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置的解析表達式，故用斷面圖來研究其極值位置的空間變化規(guī)律．圖8為z＝0剖面上的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅圖和z＝0以上半空間重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置圖．從剖面圖來看，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的峰值比重力異常解析信號振幅的峰值尖銳．從斷面圖來看，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅與重力異常解析信號振幅極大值位置的空間變化規(guī)律基本一致，但比重力異常解析信號振幅極大值位置更靠近形體上頂邊緣位置．隨著地質(zhì)體埋深的增加，不論地質(zhì)體界面如何傾斜，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置均向形體中心偏移；到達一定深度時，向形體內(nèi)側(cè)傾斜的極大值位置消失，出現(xiàn)“極大值位置盲區(qū)”，無法識別這個邊緣位置．但向形體外側(cè)傾斜的極大值位置一直存在，并隨著地質(zhì)體埋深的進一步增大，該極大值位置向形體中心收斂．

圖8 梯形臺階模型及重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖；（b）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置斷面圖；（c）梯形臺階模型．Fig．8Trapezoidal step model，profile map of VDR＿ASM for gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM（a）Profile map of the VDR＿ASM of gravity anomaly，（b）Sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM and（c）Trapezoidal step model．

3．6 多邊界模型——直立平行四邊形組合模型

根據(jù)（11）計算得到重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅在z＝0上的剖面圖和在z＝0以上半空間的斷面圖見圖9所示．由該圖可以看出：在兩個互相靠近的直立平行四邊形之間，埋深較淺時，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置位于直立平行四邊形的上頂邊緣位置；隨著埋深的增加，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置向形體外側(cè)偏移，并很快在埋深達到150m時與極小值重合，之后極大值消失，這就是重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅所能分辨的最大深度．另外，隨著埋深的增加，各形體外側(cè)邊緣的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置向形體內(nèi)側(cè)方向收斂，直到某一個埋深時兩個極大值位置重合，變?yōu)橐粋€極大值位置并一直趨于一個穩(wěn)定值，該位置就是兩個直立平行四邊形的中心位置．這種變化規(guī)律與單一直立平行四邊形的變化規(guī)律一致．

圖9 直立平行四邊形組合模型及重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅剖面圖；（b）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置斷面圖；（c）直立平行四邊形組合模型．Fig．9 Profile map of VDR＿ASM of gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM for Compound models（a）Profile map of the VDR＿ASM of gravity anomaly，（b）Sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM and（c）Compound model of the vertical parallelograms．

3．7 點質(zhì)量模型——球體

球體重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM的表達式為

圖10 直立六面體模型及重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅平面圖和極大值位置斷面圖（a）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置斷面圖；（b）重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅平面圖．Fig．10 Vertical hexahedron model，plane map of VDR＿ASM for gravity anomaly and sectional drawing of the extreme value position from the VDR＿ASM（a）Sectional drawing of the extreme value position of the VDR＿ASM，（b）Plane figure of the VDR＿ASM of gravity anomaly．

由于（14）中第二個方程無實數(shù)解，只有第一個方程的解為rm＝0．故對于球體來講，其重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅只有一個極值，且該極值就是極大值，位于球心在水平面的投影處，與重力異常解析信號振幅的極大值位置相同．

3．8 直立邊界三度體模型——直立六面體

直立六面體重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅VDR＿ASM 的表達式為

這里

由于直立六面體重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置的解析式難以得到，故通過平面圖和斷面圖來研究其空間變化規(guī)律．圖10為重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅平面等值線圖和z＝0以上半空間y＝0的斷面等值線圖．從其平面變化特征來看，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置比重力異常解析信號振幅極大值位置更接近形體的上頂邊緣位置．從斷面圖來看，當(dāng)?shù)刭|(zhì)體埋深較淺時，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置接近形體的上頂邊緣位置；隨著地質(zhì)體埋深的增加，重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置自形體邊緣內(nèi)側(cè)向形體中心收斂，最后收斂到一個穩(wěn)定值——形體中心位置．重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置變化規(guī)律和重力異常解析信號振幅極大值位置的變化規(guī)律一致，比重力異常解析信號振幅極大值位置更靠近形體的上頂邊緣位置．

4 結(jié)論與建議

通過對重力異常解析信號振幅和重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅的極大值位置空間變化規(guī)律研究，得出以下結(jié)論與建議：

（1）在單一直立邊界上，利用重力異常解析信號振幅極大值位置能夠準(zhǔn)確識別直立邊界位置，而在其他任何模型上利用重力異常解析信號振幅極大值位置均不能準(zhǔn)確識別其邊緣位置，其偏移量大小隨地質(zhì)體埋深、水平尺寸、傾斜角等因素發(fā)生變化．在單一傾斜邊界模型上，重力異常解析信號振幅極大值位置偏向傾向一側(cè)，并且隨埋深的增大而增加，但偏移量不超過傾斜面水平寬度的一半；在雙邊界模型上，重力異常解析信號振幅極大值位置的空間變化規(guī)律與單一邊界模型的空間變化規(guī)律差別很大，隨著埋深的增大，重力異常解析信號振幅極大值位置自形體上頂邊緣位置向形體內(nèi)側(cè)偏移，之后很快收斂到一個穩(wěn)定值——形體的“中心位置”，其軌跡類似“叉子狀”，而且有可能出現(xiàn)“極大值位置盲區(qū)”使得無法識別地質(zhì)體的邊緣位置；在多邊界模型上，重力異常解析信號振幅極大值位置的空間變化規(guī)律與雙邊界模型上的空間變化規(guī)律基本一致．三度體中心剖面上重力異常解析信號振幅極大值位置的空間變化規(guī)律與二度體的基本相似．

（2）在單一直立邊界上，利用重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置能夠準(zhǔn)確識別直立邊界的位置，而在其他任何模型上的重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極大值位置與其邊緣位置均有偏移，其偏移量大小隨形體埋深、水平尺寸、傾斜角等因素發(fā)生變化，且小于重力異常解析信號振幅極大值位置的偏移量．重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅和重力異常解析信號振幅的極值位置空間變化規(guī)律一致，只是前者的峰值更加尖銳、橫向分辨能力更強．

（3）通過對重力異常解析信號振幅和重力異常垂向?qū)?shù)解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律的研究得出：位場解析信號振幅適合于識別單一邊界地質(zhì)體的邊緣位置；對于多邊界地質(zhì)體，當(dāng)?shù)刭|(zhì)體埋深較淺時，位場解析信號振幅適合于識別地質(zhì)體的邊緣位置，但當(dāng)其埋深較大時，位場解析信號振幅不適合于識別地質(zhì)體的邊緣位置，但適合于識別地質(zhì)體的“中心位置”．位場解析信號振幅的這一變化規(guī)律必須引起使用者足夠重視．

致 謝感謝潘作樞教授、朱光明教授以及審稿專家對本文提出的修改意見，也感謝本文責(zé)任編輯對文章的編輯、加工．

（References）

［1］ 王萬銀，邱之云，楊永等．位場邊緣識別方法研究進展．地球物理學(xué)進展，2009，25（1）：196－210．Wang W Y，Qiu Z Y，Yang Y，et al．Some advances in the edge recognition of the potential field．Progress in Geophysics（in Chinese），2009，25（1）：196－210．

［2］ Hood P，McClure D J．Gradient measurements in ground magnetic prospecting．Geophysics，1965，30（3）：403－410．

［3］ Bhattacharyya B K．Two－dimensional harmonic analysis as a tool for magnetic interpretation．Geophysics，1965，30（5）：829－857．

［4］ Hood P J，Teskey D J．Aeromagnetic gradiometer program of the Geological Survey of Canada．Geophysics，1989，54（8）：1012－1022．

［5］ 鐘清，孟小紅，劉士毅．重力資料定位地質(zhì)體邊界問題的探討．物探化探計算技術(shù)，2007，29（增刊）：35－38．Zhong Q，Meng X H，Liu S Y．A discussion of boundary mapping by using gravity data．Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration（in Chinese），2007，29（S1）：35－38．

［6］ Cordell L．Gravimetric expression of graben faulting in Santa Fe Country and the Espanola Basin．New Mexico：New Mexico Geol．Soc．Guidebook，30th Field Conf．，1979：59－64．

［7］ Cordell L，Grauch V J S．Mapping basement magnetization zones from aeromagnetic data in the San Juan Basin，New Mexico．／／Hinze W J Ed．The utility of regional gravity and magnetic anomaly maps．Soc．Explor．Geophys．，1985：181－197．

［8］ Grauch V J S，Cordell L．Limitations of determining density or magnetic boundaries form the horizontal gradient of gravity or pseudo－gravity data．Geophysics，1987，52（1）：118－121．

［9］ 余欽范，樓海．水平梯度法提取重磁源邊界位置．物探化探計算技術(shù)，1994，16（4）：363－367．Yu Q F，Lou H．Locating the boundaries of magnetic or gravity sources using horizontal gradient anomalies．Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration（in Chinese），1994，16（4）：363－367．

［10］ Nabighian M N．The analytic signal of two－dimensional magnetic bodies with polygonal cross－section：its properties and use for automated anomaly interpretation．Geophysics，1972，37（3）：507－517．

［11］ Nabighian M N．Toward a three－dimensional automatic interpretation of potential field data via generalized Hilbert transforms：Fundamental relations．Geophysics，1984，49（6）：780－786．

［12］ Nelson J B．Comparison of gradient analysis techniques for linear two－dimensional magnetic sources．Geophysics，1988，53（8）：1088－1095．

［13］ Roest W R，Verhoef J，Pilkington M．Magnetic interpretation using the 3－D analytic signal．Geophysics，1992，57（1）：116－125．

［14］ Qin S．An analytic signal approach to the interpretation of total field magnetic anomalies．Geophysical Prospecting，1994，42（6）：665－675．

［15］ Miller H G，Singh V．Potential field tilt—a new concept for location of potential field sources．Journal of Applied Geophysics，1994，32（2－3）：213－217．

［16］ Wijns C，Perez C，Kowalczyk P．Theta map：Edge detection in magnetic data．Geophysics，2005，70（4）：L39－L43．

［17］ 胡中棟，余欽范，樓海．三維解析信號法．物探化探計算技術(shù)，1995，17（3）：36－42．Hu Z D，Yu Q F，Lou H．3－D analytic signal method．Computing Techniques for Geophysical and Geochenical Exploration（in Chinese），1995，17（3）：36－42．

［18］ Agarwal B N P，Shaw R K．Comment on“An analytic signal approach to the interpretation of total magnetic anomalies”by Shuang Qin．Geophysical Prospecting，1996，44（5）：911－914．

［19］ 管志寧，姚長利．傾斜板體磁異?？偺荻饶７囱莘椒ǎ厍蚩茖W(xué)——中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)報，1997，22（1）：81－85．Guan Z N，Yao C L．Inversion of the total gradient modulus of magnetic anomaly due to dipping dike．Earth Science：Journal of China University of Geosciences（in Chinese），1997，22（1）：81－85．

［20］ 黃臨平，管志寧．利用磁異?？偺荻饶４_定磁源邊界位置．華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報，1998，21（2）：143－150．Huang L P，Guan Z N．The determination of magnetic causative boundaries using total gradient modules of magnetic anomalies．Journal of East China Geological Institute（in Chinese），1998，21（2）：143－150．

［21］ Li X．Understanding 3Danalytic signal amplitude．Geophysics，2006，71（2）：L13－L16．

［22］ Nabighian M N．Additional comments on the analytic signal of two－dimensional magnetic bodies with polygonal crosssection．Geophysics，1974，39（1）：85－92．

［23］ Hsu S K，Sibuet J C，Shyu C T．High－resolution detection of geologic boundaries from potential－field anomalies：An enhanced analytic signal technique．Geophysics，1996，61（2）：373－386．

［24］ Debeglia N，Corpel J．Automatic 3－D interpretation of potential field data using analytic signal derivatives．Geophysics，1997，62（1）：87－96．

［25］ 秦葆瑚．用解析信號計算傾角異常．物探化探計算技術(shù)，1998，20（3）：261－266．Qin B H．Calculation of tilt by analytic signal．Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration（in Chinese），1998，20（3）：261－266．

［26］ Bournas N，Baker H A．Interpretation of magnetic anomalies using the horizontal gradient analytic signal．Annali Di Geofisica，2001，44（3）：505－526．

［27］ Wang W Y，Zhang G C，Liang J S．Spatial variation law of vertical derivative zero points for potential field data．Applied Geophysics，2010，7（3）：197－209．

［28］ 王萬銀．位場總水平導(dǎo)數(shù)極值位置空間變化規(guī)律研究．地球物理學(xué)報，2010，53（9）：2257－2270．Wang W Y．Spatial variation law of the extreme value positions of total horizontal derivative for potential field data．Chinese J．Geophys．（in Chinese），2010，53（9）：2257－2270．

Spatial variation law of the extreme value position of analytical signal amplitude for potential field data

WANG Wan－Yin

InstituteofGravityandMagneticTechnology，Chang′an University，College of Geology Engineering and Geomatics，Chang′an University，Key Laboratory of Western China′s Mineral Resources and Geological Engineering，Ministry of Education，Chang′an University，Xi′an 710054，China

In this paper，the extreme value position and their spatial variation rules of analytic signal amplitude of gravity anomaly and gravity anomaly vertical derivative were analyzed by the means of single－border，double－border，multi－borders and point（or line）quality models．The research results indicated that the analytic signal amplitude of gravity anomaly vertical derivative have the same extreme value position as that of the RTP magnetic anamoly，and have the similar spatial variation rules as that of gravity anomaly．We can accurately recognize edge location of the single－border vertical body by the means of the maximum value position，but can not accurately recognize to any other geological bodies，and the offset varies with the buried depth，horizontaldimension and the degree of inclination of the geological bodies．Although the analytic signal amplitude of gravity anomaly vertical derivative has even more incisive peak than that of gravity anomaly，has more powerful crosswise recognition capability，and the extreme value position is nearer to the top edge of the geological body，but both influenced by the buried depth of the geological body；With increasing of the buried depth，the extreme value position of the potential field analytic signal amplitude converges fast to the central location of the geological body，and the orbit is similar to fork shape；And for the multi－border model，we can not recognize edge location of the body because of the blind spot of the maximum location of analytic signal amplitude．The above theories researches show that the analytic signal amplitude of potential field is suitable for recognize the edges location of the single－border geological body only，and should not be used to recognize the edge location of the multi－borders geological body，but can be used to recognize the central location of the multi－borders geological body．

Analytic signal amplitude，Extreme value position，Spatial variation rule，Edge location，Central place，Blind spot of the maximum location，F(xiàn)ork shape

P631收修定稿2011－04－06，2011－06－28收修定稿

國家科技重大專項《大型油氣田及煤層氣開發(fā)》之“海洋深水區(qū)油氣勘探關(guān)鍵技術(shù)”項目（2008ZX05025）、國土資源部全國油氣資源戰(zhàn)略選區(qū)項目（2009GYXQ03）和國土資源部《高精度航空物探調(diào)查》計劃項目之“新疆東昆侖祁漫塔格地區(qū)1∶5萬航磁調(diào)查”項目（1212010913037）聯(lián)合資助．

王萬銀，男，1962年生，博士，教授，主要從事重、磁位場數(shù)據(jù)處理、解釋以及正、反演研究工作．E－mail：wwy790223＠263．net．cn

王萬銀．位場解析信號振幅極值位置空間變化規(guī)律研究．地球物理學(xué)報，2012，55（4）：1288－1299，

10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．024．

Wang W Y．Spatial variation law of the extreme value position of analytical signal amplitude for potential field data．Chinese J．Geophys．（in Chinese），2012，55（4）：1288－1299，doi：10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．024．

10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．024

（本文編輯 劉少華）