王 輝

(四川省測(cè)繪產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)站，四川成都610041)

一、引 言

按照城市測(cè)量規(guī)范、工程測(cè)量規(guī)范等規(guī)范要求，城市、工程平面坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇，應(yīng)以長(zhǎng)度變形值不大于2．5 cm/km為原則。當(dāng)長(zhǎng)度變形值不大于2．5 cm/km時(shí)，應(yīng)采用統(tǒng)一的高斯-克呂格投影(簡(jiǎn)稱高斯投影)3°帶平面直角坐標(biāo)系。當(dāng)投影變形值超過(guò)規(guī)范要求時(shí)，通常采用增加抵償高程面或改變中央子午線的方式建立高斯投影的平面直角坐標(biāo)系。

然而，采用嚴(yán)密的計(jì)算公式計(jì)算投影變形值需要計(jì)算參考橢球的幾何量、曲率半徑等，還要進(jìn)行高斯投影坐標(biāo)正算等，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，需要一定的大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)。某些項(xiàng)目，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，地球曲率半徑千篇一律采用一固定常數(shù)，計(jì)算方法不嚴(yán)密，容易出現(xiàn)投影抵償面、中央子午線選取不合理或投影變形值超限的問(wèn)題。為此，本文對(duì)投影變形值的技術(shù)方法進(jìn)行了研究，利用曲面擬合的方式，推算出一套簡(jiǎn)單、可行的投影變形值計(jì)算公式，并通過(guò)試驗(yàn)分析，驗(yàn)證了此計(jì)算方法的精度及可行性。

二、獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)建立原理

實(shí)量邊長(zhǎng)投影到高斯投影面上的變形影響可表示為

式中，Δs1為實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面的投影變形值，與歸算邊高出參考橢球面的平均高程Hm成正比，為負(fù)值;Δs2為將參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的長(zhǎng)度，與歸算邊兩端點(diǎn)距離中央子午線的平均距離ym成正比，其值總為正。消除或減弱投影變形的思路，就是改變Hm或ym來(lái)調(diào)整Δs1、Δs2的數(shù)值大小，利用正、負(fù)抵消的原理削弱邊長(zhǎng)的投影變形，即通過(guò)增加抵償高程面或改變高斯投影中央子午線位置的方法來(lái)消弱投影變形。

三、簡(jiǎn)易算法研究

1．常規(guī)算法

Δs1通常由下列公式計(jì)算得到

式中，s為歸算邊的長(zhǎng)度，計(jì)算每公里投影變形時(shí)取值1000m;R為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑;M為子午圈曲率半徑;N為卯酉圈曲率半徑;A為歸算邊的方位角;B為歸算邊平均緯度;a為參考橢球的長(zhǎng)半軸;b為參考橢球的短半軸;e為參考橢球的第一偏心率。

2．Δs1簡(jiǎn)易算法

由上一節(jié)可知，Δs1的計(jì)算過(guò)程涉及橢球的幾何運(yùn)算，計(jì)算較繁瑣，且對(duì)于地面固定一點(diǎn)，Δs1由于歸算邊方位角不同數(shù)值并不唯一，其值域?yàn)檫@對(duì)工程測(cè)量計(jì)算、分析而言很不方便。若計(jì)算過(guò)程中采用平均曲率半徑代替任意方位角上曲率半徑，計(jì)算方法將得到簡(jiǎn)化，Δs1數(shù)值僅與地面點(diǎn)的緯度和大地高有關(guān)，其值也將是唯一的。通過(guò)計(jì)算分析，對(duì)于我國(guó)絕大部分陸域范圍而言(大地高4000m以內(nèi)、緯度18°～54°之間)，利用平均曲率半徑計(jì)算Δs1與利用任意方向曲率半徑計(jì)算的Δs'1差值在1mm以內(nèi)，對(duì)分析投影變形值Δs1幾乎沒(méi)有影響。

為了簡(jiǎn)化算法，采用二次曲面擬合方式，利用在緯度0°～90°、大地高0～4000m之間均勻分布的14 661個(gè)點(diǎn)位上的Δs1值，計(jì)算得到Δs1的簡(jiǎn)化計(jì)算公式為

式中，B為緯度，單位為度;Hm單位為km，Δs1單位為mm。

此公式適用于在2000國(guó)家大地坐標(biāo)系、1980國(guó)家大地坐標(biāo)系、1954北京坐標(biāo)系采用的橢球體上計(jì)算邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面的投影變形值。當(dāng)大地高低于4000m時(shí)，利用式(2)在上述3個(gè)橢球面上計(jì)算Δs1的最大殘差為0．46mm。擬合殘差如圖1所示。

圖1

四、Δs2簡(jiǎn)易算法研究

1．Δs2常規(guī)算法

Δs2常規(guī)算法公式為

式中，Rm為參考橢球平均曲率半徑，y1、y2為歸算邊端點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2．Δs2簡(jiǎn)易算法

簡(jiǎn)易算法的推導(dǎo)，也是利用了曲面擬合的方法。考慮到我國(guó)陸域范圍主要在北緯18°～54°之間，通常獨(dú)立坐標(biāo)系不會(huì)超過(guò)100 km范圍(此時(shí)Δs2變形值大于10 cm)，曲面擬合時(shí)利用了均勻分布在緯度18°～54°、距離中央子午線150 km(經(jīng)差0°～1．5°)之間的 19 783 個(gè)點(diǎn)位上的 Δs2。擬合的曲面方程為

式中，B為緯度，單位為度;ym單位為 km;Δs2單位為mm。

此公式適用于在2000國(guó)家大地坐標(biāo)系、1980國(guó)家大地坐標(biāo)系、1954北京坐標(biāo)系采用的橢球體上計(jì)算邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面的投影變形值。當(dāng)與中央子午線距離小于150 km(經(jīng)差小于1°30')時(shí)，利用式(5)在上述3個(gè)橢球面上計(jì)算Δs2的最大殘差為0．73mm。擬合殘差如圖2所示。

圖2

五、每公里投影變形值公式

將式(3)、式(5)相加，即得每千米投影變形值簡(jiǎn)化公式為

六、算 例

某測(cè)量項(xiàng)目，測(cè)區(qū)平均海拔為1155 m，平均緯度為26°46'，最邊緣距離標(biāo)準(zhǔn)3°帶中央子午線距離為50．3 km，則有

所以，Δs=Δs1+Δs2=143．9mm

顯然，每千米長(zhǎng)度變形值超過(guò)允許值2．5 cm。

此時(shí)，需改變中央子午線位置，選擇一個(gè)合適的高程參考面，使得長(zhǎng)度變形值小于限差要求，可視Hm為變量，讓?duì)1等于Δs2，即

計(jì)算得到Hm值為0．199 km，這就是說(shuō)，將地面實(shí)測(cè)距離歸算到1155-199≈955m的高程面上，長(zhǎng)度變形值得到完全補(bǔ)償。

七、結(jié)束語(yǔ)

本文所提出的邊長(zhǎng)投影變形值算法，不用計(jì)算橢球參數(shù)、即可進(jìn)行高斯投影正算，算法簡(jiǎn)單，易于操作。在算法推導(dǎo)過(guò)程中，使用了我國(guó)常見(jiàn)的2000國(guó)家大地坐標(biāo)系、1980國(guó)家大地坐標(biāo)系、1954北京坐標(biāo)系采用橢球進(jìn)行推導(dǎo)，算法通用性較好。通過(guò)擬合殘差分析，本算法計(jì)算得到的Δs1實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面的投影變形值和Δs2參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的長(zhǎng)度變形值誤差優(yōu)于1mm，具有較高的精度，在獨(dú)立坐標(biāo)系建立工作中能得到很好的應(yīng)用。

[1]武漢測(cè)繪科技大學(xué)測(cè)量平差教研室，測(cè)量平差基礎(chǔ)[M]．3 版．北京：測(cè)繪出版社，1996．

[2]孔祥元，郭際明，劉宗泉，大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)[M]．武漢：武漢大學(xué)出版社，2006．