GIS圖斑面積量算方法及其拓?fù)渑袛?/h1>
2012-12-11 07:27:30嚴(yán)泰來陳亞婷
測(cè)繪通報(bào) 2012年1期
嚴(yán)泰來，陳亞婷，劉 哲
(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)，北京100083)
一、GIS圖斑面積量算方法
在地圖上，一個(gè)用曲線勾劃的封閉區(qū)域就稱為圖斑(parcel)，即一個(gè)地塊。每一個(gè)縣、鄉(xiāng)或村都有邊界，用邊界圍成一個(gè)區(qū)域就是圖斑。對(duì)于圖斑，人們首先關(guān)心其面積，這是任何一個(gè)圖斑最為基本的地理信息之一。
GIS表現(xiàn)地圖的地理信息有兩種基本資料數(shù)據(jù)格式(data format)，即網(wǎng)格格式(grid)和矢量格式(vector)，如圖1所示。
圖1 數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的網(wǎng)格格式和矢量格式
圖1(a)為數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的網(wǎng)格格式，所謂網(wǎng)格格式是指用透明、細(xì)密、均勻的方格網(wǎng)“覆蓋”在地圖上，網(wǎng)格有具體的尺寸，網(wǎng)上的每一方格在地圖上覆蓋的部位具有某一屬性，如網(wǎng)格格式表達(dá)行政區(qū)劃圖，則各個(gè)網(wǎng)格就被賦予對(duì)應(yīng)地圖部位的行政編碼。當(dāng)然，有一些網(wǎng)格可能處于兩個(gè)或三個(gè)地塊的交界處，此種網(wǎng)格的屬性就以分割出最大地塊的屬性為準(zhǔn)。顯然，此時(shí)圖斑的面積A即為屬于該圖斑的網(wǎng)格數(shù)目n乘以一個(gè)網(wǎng)格的面積a，即
這種方法簡(jiǎn)單，但是在GIS中并不常用，原因有兩點(diǎn)：①GIS空間數(shù)據(jù)庫基本用矢量格式，網(wǎng)格格式的空間數(shù)據(jù)庫并不多見;②網(wǎng)格格式的精度受制于空間數(shù)據(jù)庫存儲(chǔ)量的限制，不能將網(wǎng)格設(shè)置過小，所以用這種方法量測(cè)圖斑面積的精度不高，難以滿足實(shí)際需要。
圖1(b)即為數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的矢量格式，所謂矢量格式是指用首尾相接的多條線段鏈接起來的折線，每一個(gè)線段都有方向，用折線逼近曲線的數(shù)據(jù)表達(dá)格式。如果這種折線圍成一個(gè)封閉區(qū)域，就構(gòu)成一個(gè)圖斑，于是圖斑就變?yōu)橛糜邢迋€(gè)線段鏈接起來的多邊形，n個(gè)線段鏈接起來就成為n邊形，有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)都有其坐標(biāo)值(xi，yi)，這里i=1，2，…n。對(duì)于這樣的多邊形，其面積可以用辛普森求積公式計(jì)算，見式(2)。
式(2)是用高等數(shù)學(xué)環(huán)積分的思想推導(dǎo)得到，見圖2，圖2(a)中的陰影部分就是積分的積分單元，是一條線段向y軸投影的面積。這個(gè)單元是一個(gè)梯形，在已知點(diǎn)(xi，yi)和點(diǎn)(xi+1，yi+1)坐標(biāo)情況下，該梯形面積可計(jì)算，然后將各線段對(duì)應(yīng)的面積單元累加得到積分單元面積的代數(shù)和、并經(jīng)過整理可得到如式(2)所示的辛普森公式，式中用到絕對(duì)值符號(hào)，這是因?yàn)槊娣e沒有負(fù)值。請(qǐng)注意公式最右端對(duì)于y0與yn+1的注解，因?yàn)橐阎c(diǎn)中并沒有(x0，y0)與(xn+1，yn+1)這兩點(diǎn)。
任何圖斑都是一個(gè)邊界封閉的圖形，任何一段線段向y坐標(biāo)軸的投影總會(huì)與另一條或多條線段向y坐標(biāo)軸的投影重疊，而且單元面積的代數(shù)和就留下圖斑這一線段條帶在圖斑內(nèi)的面積，以圖2(b)為例，在d－d+條帶中，就有6個(gè)線段陰影條帶重疊，其代數(shù)和就留下多邊形內(nèi)部的區(qū)域。這樣，所有線段向y坐標(biāo)軸的投影的陰影面積代數(shù)和就構(gòu)成了待測(cè)多邊形的面積。
在GIS矢量格式空間數(shù)據(jù)庫中，對(duì)于每個(gè)圖斑邊界的每個(gè)頂點(diǎn)都按照一定順序存儲(chǔ)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，因此，GIS軟件在此基礎(chǔ)上能夠快速、準(zhǔn)確地按照式(2)計(jì)算每個(gè)圖斑的面積。
圖2 辛普森求積公式原理圖
二、GIS基于矢量格式數(shù)據(jù)測(cè)算圖斑面積誤差的估計(jì)
如果一個(gè)閉合區(qū)域確實(shí)是一個(gè)真正的多邊形，即區(qū)域邊界是由直線段組成，而且該多邊形頂點(diǎn)的坐標(biāo)資料完全準(zhǔn)確，用式(2)計(jì)算其面積是沒有誤差的，因?yàn)槭?2)是經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明的。但是基于矢量格式數(shù)據(jù)用式(2)測(cè)算圖斑面積存在誤差，問題在于采集用光滑曲線圍成的閉合區(qū)域坐標(biāo)存在誤差，這里有兩種采集誤差。
1)布點(diǎn)誤差。如圖3所示，一般閉合區(qū)域邊界是一條平滑、自然隨機(jī)彎曲的曲線，而在這種曲線上采集有限個(gè)點(diǎn)，用折線逼近曲線，一定會(huì)有誤差。比如，在A點(diǎn)處，因布點(diǎn)原因，形成的多邊形在這里面積減少了;而在B點(diǎn)處，因布點(diǎn)原因，形成的多邊形在這里面積增加了。對(duì)于整個(gè)區(qū)域，因布點(diǎn)帶來的正負(fù)誤差不能完全抵消，就使面積測(cè)算最終結(jié)果有誤差。
圖3 圖斑邊界采集布點(diǎn)誤差示意圖
2)采點(diǎn)坐標(biāo)誤差。區(qū)域邊界嚴(yán)格意義上是沒有寬度的，但是實(shí)際地圖上區(qū)域邊界總是有寬度的，夸大一點(diǎn)說是一個(gè)條帶。對(duì)地圖上區(qū)域邊界采點(diǎn)，理想位置應(yīng)當(dāng)在邊界條帶的中軸線上，但是人工采點(diǎn)是難以做到的，總會(huì)偏離理想位置，這就產(chǎn)生誤差。
以上布點(diǎn)誤差與采點(diǎn)誤差，不可避免地致使測(cè)算圖斑面積存在誤差，相對(duì)誤差可由式(3)估計(jì)
式中，r為面積計(jì)算的相對(duì)誤差;m為多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的方差;L為多邊形周長(zhǎng);A為多邊形面積;n為多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的數(shù)目。
由式(3)可以看出，面積測(cè)算的相對(duì)誤差與多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的方差成正比;與多邊形的周長(zhǎng)面積比成正比;與采點(diǎn)數(shù)目的平方根成反比。這里“周長(zhǎng)面積比”這一新概念值得注意，事實(shí)上如果一個(gè)圖形的周長(zhǎng)很長(zhǎng)、而面積相對(duì)很小，自然地表物件，如大壩在河流攔截形成的水庫，常常具有這樣的特點(diǎn)。由此說明物件圖形形狀越復(fù)雜，面積測(cè)算誤差就越大。此外，多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的數(shù)目對(duì)面積測(cè)算也有重要影響，采點(diǎn)數(shù)目越多，面積測(cè)算相對(duì)誤差越小，這是因?yàn)殡S著采點(diǎn)數(shù)目的增加，面積測(cè)算正負(fù)誤差相互補(bǔ)償?shù)母怕室苍谠黾樱率瓜鄬?duì)誤差減少。
式(3)適用于估算一個(gè)多邊形面積的測(cè)算誤差，也適用于估算一幅數(shù)字化地圖測(cè)算各圖斑面積的總體相對(duì)誤差，此時(shí)，L取地圖中各多邊形周長(zhǎng)的平均值;A取各多邊形面積的平均值;m經(jīng)試驗(yàn)得到，通常有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值;n取各多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)數(shù)目的平均值，在GIS軟件支持下獲取以上數(shù)據(jù)是不困難的。由此可以看出，地圖的圖形越復(fù)雜，測(cè)算各圖斑面積的總體誤差也就越大。
三、辛普森求積公式法判斷點(diǎn)與矢量線的拓?fù)潢P(guān)系
式(2)所示的辛普森公式有絕對(duì)值符號(hào)，如果將絕對(duì)值符號(hào)去掉，由圖2可知，在左手坐標(biāo)系(Y坐標(biāo)軸橫向，向右為正;X坐標(biāo)軸縱向，向上為正)條件下，多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)按順時(shí)針(如圖2所示)排列，則公式計(jì)算值為正值;反之，多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時(shí)針排列，則公式計(jì)算值為負(fù)值。這個(gè)性質(zhì)可以在GIS拓?fù)渑袛嘀惺褂?，如圖4所示。辛普森公式適用于計(jì)算三角形面積，如圖4中的△ABP，計(jì)算其面積將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入式(2)則有
圖4 拓?fù)渑袛嘣韴D
對(duì)于A值有3種可能：即A＞0，則△ABP按順時(shí)針方向排列，即點(diǎn) P在矢量 AB的右面，如圖4(a)實(shí)線所示;A＜0，則點(diǎn)P'在矢量AB的左面，如圖4(a)虛線所示;A=0，則點(diǎn)P在矢量AB的線上。又分以下三種情況：即點(diǎn)P在矢量AB的線段上，如圖4(b);點(diǎn) P在矢量 AB的延長(zhǎng)線上，如圖4(c);點(diǎn) P在矢量 AB的反向延長(zhǎng)線上，如圖4(d)。3種情況歸于哪一種，由3點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值關(guān)系決定。
這里提到的拓?fù)?Topology)關(guān)系是指空間幾何體，包括點(diǎn)與點(diǎn)、線與線、點(diǎn)與線、面與面、點(diǎn)與面、面與線等相互之間的方位關(guān)系，在GIS軟體運(yùn)行工作中，有大批量的空間資料需要判斷其空間拓?fù)潢P(guān)系。
四、拓?fù)渑袛嘤糜趫D形特征的提取
多邊形在形狀上有多種特征，計(jì)算機(jī)軟體可以自動(dòng)提取這些特征，為識(shí)別多邊形對(duì)應(yīng)的物件提供線索。這里給出多邊形形狀特征的一種判斷表達(dá)方法，見圖5。圖5所示的多邊形是一個(gè)凹多邊形，其頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列，這可以用以上介紹的辛普森公式
圖5 多邊形的一種空間特征提取方法
計(jì)算面積是負(fù)值的結(jié)果判斷出來。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)取多邊形3個(gè)頂點(diǎn)組成三角形，其中，△ABC、△BCD、△CDE、△HIJ、△KLA、△LAB 是逆時(shí)針方向排列;而△EFG、△IJK、△JKL 3個(gè)三角形是順時(shí)針排列，與整個(gè)多邊形頂點(diǎn)排列方向逆向。整個(gè)多邊形的面積可以計(jì)算，逆向排列的三角形面積累加和也可計(jì)算，兩者之比可以作為一個(gè)多邊形的特征加以定量計(jì)算，這個(gè)比稱之為圖形邊界的凹凸比。圖形邊界的凹凸比作為圖形特征的一個(gè)參數(shù)具有實(shí)際意義，因?yàn)橐粋€(gè)物件的影像中難以避免因投影、物件呈現(xiàn)的姿態(tài)等多種原因產(chǎn)生種種變形，而物件對(duì)應(yīng)圖形邊界的凹凸比卻變化很小，利用這一特征參數(shù)就可能為識(shí)別這一物件提供依據(jù)。圖6顯示圖形凹凸比特征在昆蟲識(shí)別中的一個(gè)應(yīng)用。
仔細(xì)觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，圖6左邊蝴蝶包括翅膀在內(nèi)的身體輪廓凹陷點(diǎn)較少，凹陷較淺，但是左右副翼下面各有一個(gè)黑色凸出條帶，致使總體上邊界的凹凸比指數(shù)較大;而右邊蝴蝶包括主翼瘦窄，上下主、副翼之間裂隙較深，但是左右副翼邊界平滑，沒有凸出條帶，致使總體上邊界的凹凸比指數(shù)較小。此外，兩個(gè)蝴蝶的顏色差異較大，用色度學(xué)(Chromatics)原理進(jìn)行分析，又會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的不同。除了物種形體邊界的凹凸比特征指數(shù)外，周長(zhǎng)面積比也是一個(gè)特征指數(shù)，經(jīng)研究還有更多的特征指數(shù)，用計(jì)算機(jī)軟體都可以計(jì)算提取。
如果在計(jì)算機(jī)信息系統(tǒng)中帶有儲(chǔ)存各種昆蟲物種的特征指數(shù)數(shù)據(jù)庫，對(duì)于實(shí)際工作采集來的昆蟲影像樣品計(jì)算其形體特征及色調(diào)特征，并且與特征指數(shù)數(shù)據(jù)庫的資料數(shù)據(jù)逐一加以比對(duì)，就可以判斷待判斷昆蟲物種的歸屬。對(duì)于國(guó)家邊境口岸的海關(guān)人員，識(shí)別境外有害昆蟲物種十分重要，因?yàn)榉胚^帶有有害昆蟲物種的蔬菜、水果入境，將會(huì)造成不可挽回的巨大損失。計(jì)算機(jī)信息系統(tǒng)輔助判別有害昆蟲物種對(duì)于保障國(guó)家的生態(tài)安全、農(nóng)產(chǎn)品安全具有重大意義。事實(shí)上，采用與以上類似算法發(fā)展的計(jì)算機(jī)軟件已經(jīng)應(yīng)用在各個(gè)邊防口岸、衛(wèi)生檢疫部門，應(yīng)用面正在不斷擴(kuò)大。
圖6 兩種蝴蝶影像圖
(略)
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在地圖上，一個(gè)用曲線勾劃的封閉區(qū)域就稱為圖斑(parcel)，即一個(gè)地塊。每一個(gè)縣、鄉(xiāng)或村都有邊界，用邊界圍成一個(gè)區(qū)域就是圖斑。對(duì)于圖斑，人們首先關(guān)心其面積，這是任何一個(gè)圖斑最為基本的地理信息之一。
GIS表現(xiàn)地圖的地理信息有兩種基本資料數(shù)據(jù)格式(data format)，即網(wǎng)格格式(grid)和矢量格式(vector)，如圖1所示。
圖1 數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的網(wǎng)格格式和矢量格式
圖1(a)為數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的網(wǎng)格格式，所謂網(wǎng)格格式是指用透明、細(xì)密、均勻的方格網(wǎng)“覆蓋”在地圖上，網(wǎng)格有具體的尺寸，網(wǎng)上的每一方格在地圖上覆蓋的部位具有某一屬性，如網(wǎng)格格式表達(dá)行政區(qū)劃圖，則各個(gè)網(wǎng)格就被賦予對(duì)應(yīng)地圖部位的行政編碼。當(dāng)然，有一些網(wǎng)格可能處于兩個(gè)或三個(gè)地塊的交界處，此種網(wǎng)格的屬性就以分割出最大地塊的屬性為準(zhǔn)。顯然，此時(shí)圖斑的面積A即為屬于該圖斑的網(wǎng)格數(shù)目n乘以一個(gè)網(wǎng)格的面積a，即
這種方法簡(jiǎn)單，但是在GIS中并不常用，原因有兩點(diǎn)：①GIS空間數(shù)據(jù)庫基本用矢量格式，網(wǎng)格格式的空間數(shù)據(jù)庫并不多見;②網(wǎng)格格式的精度受制于空間數(shù)據(jù)庫存儲(chǔ)量的限制，不能將網(wǎng)格設(shè)置過小，所以用這種方法量測(cè)圖斑面積的精度不高，難以滿足實(shí)際需要。
圖1(b)即為數(shù)字化地圖數(shù)據(jù)的矢量格式，所謂矢量格式是指用首尾相接的多條線段鏈接起來的折線，每一個(gè)線段都有方向，用折線逼近曲線的數(shù)據(jù)表達(dá)格式。如果這種折線圍成一個(gè)封閉區(qū)域，就構(gòu)成一個(gè)圖斑，于是圖斑就變?yōu)橛糜邢迋€(gè)線段鏈接起來的多邊形，n個(gè)線段鏈接起來就成為n邊形，有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)都有其坐標(biāo)值(xi，yi)，這里i=1，2，…n。對(duì)于這樣的多邊形，其面積可以用辛普森求積公式計(jì)算，見式(2)。
式(2)是用高等數(shù)學(xué)環(huán)積分的思想推導(dǎo)得到，見圖2，圖2(a)中的陰影部分就是積分的積分單元，是一條線段向y軸投影的面積。這個(gè)單元是一個(gè)梯形，在已知點(diǎn)(xi，yi)和點(diǎn)(xi+1，yi+1)坐標(biāo)情況下，該梯形面積可計(jì)算，然后將各線段對(duì)應(yīng)的面積單元累加得到積分單元面積的代數(shù)和、并經(jīng)過整理可得到如式(2)所示的辛普森公式，式中用到絕對(duì)值符號(hào)，這是因?yàn)槊娣e沒有負(fù)值。請(qǐng)注意公式最右端對(duì)于y0與yn+1的注解，因?yàn)橐阎c(diǎn)中并沒有(x0，y0)與(xn+1，yn+1)這兩點(diǎn)。
任何圖斑都是一個(gè)邊界封閉的圖形，任何一段線段向y坐標(biāo)軸的投影總會(huì)與另一條或多條線段向y坐標(biāo)軸的投影重疊，而且單元面積的代數(shù)和就留下圖斑這一線段條帶在圖斑內(nèi)的面積，以圖2(b)為例，在d－d+條帶中，就有6個(gè)線段陰影條帶重疊，其代數(shù)和就留下多邊形內(nèi)部的區(qū)域。這樣，所有線段向y坐標(biāo)軸的投影的陰影面積代數(shù)和就構(gòu)成了待測(cè)多邊形的面積。
在GIS矢量格式空間數(shù)據(jù)庫中，對(duì)于每個(gè)圖斑邊界的每個(gè)頂點(diǎn)都按照一定順序存儲(chǔ)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，因此，GIS軟件在此基礎(chǔ)上能夠快速、準(zhǔn)確地按照式(2)計(jì)算每個(gè)圖斑的面積。
圖2 辛普森求積公式原理圖
二、GIS基于矢量格式數(shù)據(jù)測(cè)算圖斑面積誤差的估計(jì)
如果一個(gè)閉合區(qū)域確實(shí)是一個(gè)真正的多邊形，即區(qū)域邊界是由直線段組成，而且該多邊形頂點(diǎn)的坐標(biāo)資料完全準(zhǔn)確，用式(2)計(jì)算其面積是沒有誤差的，因?yàn)槭?2)是經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明的。但是基于矢量格式數(shù)據(jù)用式(2)測(cè)算圖斑面積存在誤差，問題在于采集用光滑曲線圍成的閉合區(qū)域坐標(biāo)存在誤差，這里有兩種采集誤差。
1)布點(diǎn)誤差。如圖3所示，一般閉合區(qū)域邊界是一條平滑、自然隨機(jī)彎曲的曲線，而在這種曲線上采集有限個(gè)點(diǎn)，用折線逼近曲線，一定會(huì)有誤差。比如，在A點(diǎn)處，因布點(diǎn)原因，形成的多邊形在這里面積減少了;而在B點(diǎn)處，因布點(diǎn)原因，形成的多邊形在這里面積增加了。對(duì)于整個(gè)區(qū)域，因布點(diǎn)帶來的正負(fù)誤差不能完全抵消，就使面積測(cè)算最終結(jié)果有誤差。
圖3 圖斑邊界采集布點(diǎn)誤差示意圖
2)采點(diǎn)坐標(biāo)誤差。區(qū)域邊界嚴(yán)格意義上是沒有寬度的，但是實(shí)際地圖上區(qū)域邊界總是有寬度的，夸大一點(diǎn)說是一個(gè)條帶。對(duì)地圖上區(qū)域邊界采點(diǎn)，理想位置應(yīng)當(dāng)在邊界條帶的中軸線上，但是人工采點(diǎn)是難以做到的，總會(huì)偏離理想位置，這就產(chǎn)生誤差。
以上布點(diǎn)誤差與采點(diǎn)誤差，不可避免地致使測(cè)算圖斑面積存在誤差，相對(duì)誤差可由式(3)估計(jì)
式中，r為面積計(jì)算的相對(duì)誤差;m為多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的方差;L為多邊形周長(zhǎng);A為多邊形面積;n為多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的數(shù)目。
由式(3)可以看出，面積測(cè)算的相對(duì)誤差與多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的方差成正比;與多邊形的周長(zhǎng)面積比成正比;與采點(diǎn)數(shù)目的平方根成反比。這里“周長(zhǎng)面積比”這一新概念值得注意，事實(shí)上如果一個(gè)圖形的周長(zhǎng)很長(zhǎng)、而面積相對(duì)很小，自然地表物件，如大壩在河流攔截形成的水庫，常常具有這樣的特點(diǎn)。由此說明物件圖形形狀越復(fù)雜，面積測(cè)算誤差就越大。此外，多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)的數(shù)目對(duì)面積測(cè)算也有重要影響，采點(diǎn)數(shù)目越多，面積測(cè)算相對(duì)誤差越小，這是因?yàn)殡S著采點(diǎn)數(shù)目的增加，面積測(cè)算正負(fù)誤差相互補(bǔ)償?shù)母怕室苍谠黾樱率瓜鄬?duì)誤差減少。
式(3)適用于估算一個(gè)多邊形面積的測(cè)算誤差，也適用于估算一幅數(shù)字化地圖測(cè)算各圖斑面積的總體相對(duì)誤差，此時(shí)，L取地圖中各多邊形周長(zhǎng)的平均值;A取各多邊形面積的平均值;m經(jīng)試驗(yàn)得到，通常有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值;n取各多邊形邊界坐標(biāo)采點(diǎn)數(shù)目的平均值，在GIS軟件支持下獲取以上數(shù)據(jù)是不困難的。由此可以看出，地圖的圖形越復(fù)雜，測(cè)算各圖斑面積的總體誤差也就越大。
三、辛普森求積公式法判斷點(diǎn)與矢量線的拓?fù)潢P(guān)系
式(2)所示的辛普森公式有絕對(duì)值符號(hào)，如果將絕對(duì)值符號(hào)去掉，由圖2可知，在左手坐標(biāo)系(Y坐標(biāo)軸橫向，向右為正;X坐標(biāo)軸縱向，向上為正)條件下，多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)按順時(shí)針(如圖2所示)排列，則公式計(jì)算值為正值;反之，多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時(shí)針排列，則公式計(jì)算值為負(fù)值。這個(gè)性質(zhì)可以在GIS拓?fù)渑袛嘀惺褂?，如圖4所示。辛普森公式適用于計(jì)算三角形面積，如圖4中的△ABP，計(jì)算其面積將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入式(2)則有
圖4 拓?fù)渑袛嘣韴D
對(duì)于A值有3種可能：即A＞0，則△ABP按順時(shí)針方向排列，即點(diǎn) P在矢量 AB的右面，如圖4(a)實(shí)線所示;A＜0，則點(diǎn)P'在矢量AB的左面，如圖4(a)虛線所示;A=0，則點(diǎn)P在矢量AB的線上。又分以下三種情況：即點(diǎn)P在矢量AB的線段上，如圖4(b);點(diǎn) P在矢量 AB的延長(zhǎng)線上，如圖4(c);點(diǎn) P在矢量 AB的反向延長(zhǎng)線上，如圖4(d)。3種情況歸于哪一種，由3點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值關(guān)系決定。
這里提到的拓?fù)?Topology)關(guān)系是指空間幾何體，包括點(diǎn)與點(diǎn)、線與線、點(diǎn)與線、面與面、點(diǎn)與面、面與線等相互之間的方位關(guān)系，在GIS軟體運(yùn)行工作中，有大批量的空間資料需要判斷其空間拓?fù)潢P(guān)系。
四、拓?fù)渑袛嘤糜趫D形特征的提取
多邊形在形狀上有多種特征，計(jì)算機(jī)軟體可以自動(dòng)提取這些特征，為識(shí)別多邊形對(duì)應(yīng)的物件提供線索。這里給出多邊形形狀特征的一種判斷表達(dá)方法，見圖5。圖5所示的多邊形是一個(gè)凹多邊形，其頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列，這可以用以上介紹的辛普森公式
圖5 多邊形的一種空間特征提取方法
計(jì)算面積是負(fù)值的結(jié)果判斷出來。進(jìn)一步觀察可以發(fā)現(xiàn)，連續(xù)取多邊形3個(gè)頂點(diǎn)組成三角形，其中，△ABC、△BCD、△CDE、△HIJ、△KLA、△LAB 是逆時(shí)針方向排列;而△EFG、△IJK、△JKL 3個(gè)三角形是順時(shí)針排列，與整個(gè)多邊形頂點(diǎn)排列方向逆向。整個(gè)多邊形的面積可以計(jì)算，逆向排列的三角形面積累加和也可計(jì)算，兩者之比可以作為一個(gè)多邊形的特征加以定量計(jì)算，這個(gè)比稱之為圖形邊界的凹凸比。圖形邊界的凹凸比作為圖形特征的一個(gè)參數(shù)具有實(shí)際意義，因?yàn)橐粋€(gè)物件的影像中難以避免因投影、物件呈現(xiàn)的姿態(tài)等多種原因產(chǎn)生種種變形，而物件對(duì)應(yīng)圖形邊界的凹凸比卻變化很小，利用這一特征參數(shù)就可能為識(shí)別這一物件提供依據(jù)。圖6顯示圖形凹凸比特征在昆蟲識(shí)別中的一個(gè)應(yīng)用。
仔細(xì)觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，圖6左邊蝴蝶包括翅膀在內(nèi)的身體輪廓凹陷點(diǎn)較少，凹陷較淺，但是左右副翼下面各有一個(gè)黑色凸出條帶，致使總體上邊界的凹凸比指數(shù)較大;而右邊蝴蝶包括主翼瘦窄，上下主、副翼之間裂隙較深，但是左右副翼邊界平滑，沒有凸出條帶，致使總體上邊界的凹凸比指數(shù)較小。此外，兩個(gè)蝴蝶的顏色差異較大，用色度學(xué)(Chromatics)原理進(jìn)行分析，又會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的不同。除了物種形體邊界的凹凸比特征指數(shù)外，周長(zhǎng)面積比也是一個(gè)特征指數(shù)，經(jīng)研究還有更多的特征指數(shù)，用計(jì)算機(jī)軟體都可以計(jì)算提取。
如果在計(jì)算機(jī)信息系統(tǒng)中帶有儲(chǔ)存各種昆蟲物種的特征指數(shù)數(shù)據(jù)庫，對(duì)于實(shí)際工作采集來的昆蟲影像樣品計(jì)算其形體特征及色調(diào)特征，并且與特征指數(shù)數(shù)據(jù)庫的資料數(shù)據(jù)逐一加以比對(duì)，就可以判斷待判斷昆蟲物種的歸屬。對(duì)于國(guó)家邊境口岸的海關(guān)人員，識(shí)別境外有害昆蟲物種十分重要，因?yàn)榉胚^帶有有害昆蟲物種的蔬菜、水果入境，將會(huì)造成不可挽回的巨大損失。計(jì)算機(jī)信息系統(tǒng)輔助判別有害昆蟲物種對(duì)于保障國(guó)家的生態(tài)安全、農(nóng)產(chǎn)品安全具有重大意義。事實(shí)上，采用與以上類似算法發(fā)展的計(jì)算機(jī)軟件已經(jīng)應(yīng)用在各個(gè)邊防口岸、衛(wèi)生檢疫部門，應(yīng)用面正在不斷擴(kuò)大。
圖6 兩種蝴蝶影像圖
(略)
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