陶庭葉，李曉莉，高 飛

(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥230009)

一、引 言

利用GPS導(dǎo)航定位，必須要計(jì)算出衛(wèi)星在相應(yīng)時(shí)刻的坐標(biāo)，而衛(wèi)星的坐標(biāo)主要是通過(guò)星歷得到的。星歷分為廣播星歷與精密星歷兩種。廣播星歷可直接從GPS的導(dǎo)航電文中獲得;精密星歷則由發(fā)布獲得，目前有多家機(jī)構(gòu)發(fā)布精密星歷，這些星歷是利用全球分布的永久GPS跟蹤站數(shù)據(jù)計(jì)算得到的。精密星歷分為事后星歷與預(yù)報(bào)星歷，其精度分別為±0．05m與±0．2m左右。精密星歷一般以SP3格式發(fā)布。目前，IGS及其數(shù)據(jù)分析中心發(fā)布的最終精密星歷(SP3格式)的采樣間隔為15 min，IGS及其一些數(shù)據(jù)分析中心則相繼發(fā)布了間隔更密(如5min和30 s)的精密衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)產(chǎn)品。對(duì)于時(shí)間間隔內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)一般采用多項(xiàng)式擬合或拉格朗日等插值法內(nèi)插求出，其對(duì)內(nèi)插的要求是不能明顯損失原始星歷的精度。因此，高精度、快速實(shí)現(xiàn)對(duì)精密星歷和鐘差參數(shù)的插值或擬合就成為了GPS數(shù)據(jù)處理中一項(xiàng)重要的工作[1-6]。

目前，DMA[7]、NGS[8]、JPL 等機(jī)構(gòu)常用的內(nèi)插方法是8到11階(或9到12階)Lagrange多項(xiàng)式插值。其結(jié)果表明，對(duì)于15 min間隔數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)中間部分，8階 Lagrange多項(xiàng)式插值的精度可達(dá)±1 cm。Schenewerk對(duì)插值方法作了簡(jiǎn)單的總結(jié)，文章研究表明，Lagrange多項(xiàng)式、Chebyshev多項(xiàng)式等類型多項(xiàng)式插值精度相當(dāng)，三角函數(shù)插值精度略好。這些方法基本都能夠得到較好的精度[9]。但是，多項(xiàng)式插值的方法存在著一個(gè)問題，那就是Runge現(xiàn)象(runge phenomenon，RP)。所謂RP是指隨著插值多項(xiàng)式階數(shù)升高，在插值區(qū)間的兩端出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，從而導(dǎo)致兩端的插值精度急劇下降，需要采取分段滑動(dòng)擬合或減小步長(zhǎng)等方法來(lái)減小其影響，但是，這種方法會(huì)增加計(jì)算開支[10]。

針對(duì)利用多項(xiàng)式對(duì)衛(wèi)星坐標(biāo)插值出現(xiàn)Runge現(xiàn)象的問題，本文提出了利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行插值的方法，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法對(duì)精密星歷衛(wèi)星坐標(biāo)插值的計(jì)算具有高效性、高精度與通用性的特點(diǎn)。

二、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值與擬合原理

1．RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11-12]

1985年，Powell提出了多變量插值的徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)方法。1988年Broomhead和Lowe首先將RBF應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)，從而構(gòu)成了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有逼近非線性函數(shù)能力強(qiáng)和網(wǎng)絡(luò)收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。

RBF網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與多層前向網(wǎng)絡(luò)類似，它是一種3層前向網(wǎng)絡(luò)。第1層為輸入層，由信號(hào)源結(jié)點(diǎn)組成;第2層為隱含層，隱單元數(shù)視所要描述的問題而定;第3層為輸出層，它對(duì)輸入模式的作用作出響應(yīng)。從輸入控件到隱含層空間的變換是非線性的，而從隱含層空間到輸出層空間變換是線性的。由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成的一般徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

RBF網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于隱含層節(jié)點(diǎn)徑向基函數(shù)的非線性逼近性能，一般采用的RBF函數(shù)是Gauss分布函數(shù)，即隱含層節(jié)點(diǎn)k的傳遞函數(shù)表達(dá)式為

式中，X=(xi|i=1，2，…，n)，n 為輸入向量;Tki為節(jié)點(diǎn)k的中心Tk的第i個(gè)分量;σk為節(jié)點(diǎn)k的Gauss分布寬度;‖·‖表示歐式范數(shù)。

圖1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

輸出層節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的輸出則可以表示為

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法為：隨機(jī)選取h個(gè)訓(xùn)練樣本作為聚類中心ci(i=1，2，…，h)，將輸入的訓(xùn)練樣本集合按最近鄰規(guī)則分組，計(jì)算各個(gè)聚類集合中訓(xùn)練樣本的平均值，即新的聚類中心，如果新的聚類中心不再發(fā)生變化，則所得到的聚類中心即為RBF網(wǎng)絡(luò)的聚類中心。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)為高斯函數(shù)，因此方差σi可由下式求解

式中，cmax為所選取中心之間的最大距離。

應(yīng)用最小二乘法對(duì)網(wǎng)絡(luò)輸出權(quán)值進(jìn)行訓(xùn)練，其學(xué)習(xí)訓(xùn)練的目標(biāo)是使總誤差達(dá)到最小。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的是非線性映射(橫向?yàn)V波器只作線性映射)。目前，從理論上已經(jīng)證明，只要隱含層神經(jīng)元數(shù)足夠多，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近任何單值連續(xù)函數(shù)[13]。

2．RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值

插值問題的提法為：給定區(qū)間上N個(gè)點(diǎn)xi(i=1，…，N)及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 yi(i=1，…，N)，要求構(gòu)造一元函數(shù)y=f(x)在N個(gè)點(diǎn)處滿足給定的函數(shù)值，即 f(xi)=yi(i=1，…，N)。

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行插值的具體算法如下：

1)將輸入數(shù)據(jù)xi(i=1，…，N)作為樣本集，將yi(i=1，…，N)作為輸出集;

2)計(jì)算各樣本的聚類中心;

4)采用上述RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行插值。

三、基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值試驗(yàn)與結(jié)果分析

本文利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合精密星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)，在保證精度的前提下，要避免高階多項(xiàng)式擬合出現(xiàn)的RP現(xiàn)象，同時(shí)，要保證本方法的計(jì)算效率?；谶@一點(diǎn)，設(shè)計(jì)以下試驗(yàn)方案。

方案1：對(duì)于不同長(zhǎng)度的時(shí)間段，分析RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)衛(wèi)星坐標(biāo)插值效果。

方案2：對(duì)于不同的衛(wèi)星，分析RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)所有32顆GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值效果。

方案3：同時(shí)采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)同一組衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行擬合，在精度相當(dāng)?shù)那闆r下，比較二者所耗費(fèi)計(jì)算時(shí)間差異。

1．方案1試驗(yàn)結(jié)果及分析

采用IGS提供的15min間隔星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)，選用 PG01號(hào)衛(wèi)星2010年11月 7日 00：00：00—00：03：00、00：00：00—00：04：00、00：00：00—00：05：00與00：00：00—00：06：00 4 個(gè)不同長(zhǎng)度時(shí)間段數(shù)據(jù)。抽取30min間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值得到15min間隔星歷數(shù)據(jù)，將插值結(jié)果與真實(shí)坐標(biāo)進(jìn)行比較，求出插值殘差，利用插值殘差絕對(duì)值的最大值(MAX)與標(biāo)準(zhǔn)差(SD)衡量插值精度。

表1為3個(gè)時(shí)間段插值結(jié)果。

表1 不同長(zhǎng)度時(shí)間段插值殘差 m

從表1可以看出，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)不同時(shí)間段的精密星歷擬合效果比較好，殘差標(biāo)準(zhǔn)差都在毫米級(jí)以內(nèi)，有的達(dá)到亞毫米級(jí)甚至更好。在擬合時(shí)間段4～5 h的情況下，擬合效果最佳，擬合殘差最大值在2mm左右，但隨著擬合時(shí)間段變短或者變長(zhǎng)，插值效果逐步變差。這是由于隨著擬合時(shí)間段增加，星歷間的相關(guān)性逐漸下降，導(dǎo)致插值效果變差，而插值時(shí)間段過(guò)短，參與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的樣本數(shù)據(jù)較少，模型效果也相應(yīng)變差。

2．方案2試驗(yàn)結(jié)果及分析

同樣采用IGS提供的15 min間隔星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)，選用PG01—PG32號(hào)衛(wèi)星共32顆2010年11月7 日 00：00：00—00：04：00 共 4 個(gè)小時(shí)數(shù)據(jù)。抽取30min間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值得到15min間隔星歷數(shù)據(jù)，將插值結(jié)果與真實(shí)坐標(biāo)進(jìn)行比較，求出插值殘差，并采用插值殘差絕對(duì)值的最大值(MAX)與標(biāo)準(zhǔn)差(SD)來(lái)衡量插值精度。

圖2表示每個(gè)時(shí)間段每個(gè)衛(wèi)星三維坐標(biāo)插值殘差的最大值與標(biāo)準(zhǔn)差。

圖2 32顆衛(wèi)星星歷擬合殘差最大值與標(biāo)準(zhǔn)差

從圖2可以看出，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，幾乎所有衛(wèi)星的精密星歷衛(wèi)星坐標(biāo)插值殘差的最大值都在1 cm以內(nèi)，只有14號(hào)衛(wèi)星插值殘差的最大值超過(guò)1 cm，達(dá)到1．33 cm，但這只是在個(gè)別歷元上，在各個(gè)歷元擬合殘差的標(biāo)準(zhǔn)差為5．4mm，小于1 cm，這說(shuō)明該衛(wèi)星星歷總體插值效果良好。由此可知，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值方法對(duì)于所有衛(wèi)星的精密星歷衛(wèi)星坐標(biāo)插值效果良好，即使在個(gè)別衛(wèi)星、個(gè)別歷元處于最不理想的狀況，其插值殘差最大值也能達(dá)到1 cm左右，不會(huì)使得精密星歷精度明顯下降，能夠滿足各類定位要求。

3．方案3試驗(yàn)結(jié)果及分析

同樣采用IGS提供的15 min間隔星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)，選用PG01號(hào)衛(wèi)星2010年11月7日00：00：00-00：04：00時(shí)間段數(shù)據(jù)。抽取30 min間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分布采用Lagrange多項(xiàng)式插值與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值得到15min間隔星歷數(shù)據(jù)，將插值結(jié)果與真實(shí)坐標(biāo)進(jìn)行比較，求出擬合差值，采用插值殘差絕對(duì)值的最大值(MAX)與標(biāo)準(zhǔn)差(SD)衡量插值精度，在二者插值精度相當(dāng)時(shí)比較二者耗費(fèi)的CPU時(shí)間。

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值，X方向的插值殘差最大值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為0．2mm與0．05mm，插值所耗費(fèi)CPU時(shí)間為4．765 6 s。

同一數(shù)據(jù)采用Lagrange插值效果如圖3所示。圖3中出現(xiàn)了Runge現(xiàn)象，兩端的插值誤差達(dá)到2 cm以上，中間部分插值效果良好，X方向插值殘差最大值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為5．8mm與2．8mm，每個(gè)所耗費(fèi)CPU時(shí)間為5．359 4 s。

圖3 X方向數(shù)據(jù)Lagrange插值效果圖

這說(shuō)明，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)精密星歷進(jìn)行插值在保證插值精度能夠達(dá)到多項(xiàng)式插值的前提下，插值所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間略優(yōu)于Lagrange插值。這就可以證明采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行精密星歷衛(wèi)星坐標(biāo)插值兼顧了插值精度與計(jì)算效率。

四、結(jié) 論

根據(jù)所設(shè)計(jì)的不同方案，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)IGS精密星歷所提供的GPS衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行了擬合插值，結(jié)果表明：

1)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于長(zhǎng)度為3～6 h時(shí)間段的GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值殘差的標(biāo)準(zhǔn)差均在毫米級(jí)甚至更好，不會(huì)降低IGS星歷提供的衛(wèi)星坐標(biāo)本身的精度，對(duì)4 h時(shí)間段GPS衛(wèi)星坐標(biāo)擬合效果最佳。

2)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于所有GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值殘差的標(biāo)準(zhǔn)差均在毫米級(jí)甚至更好，說(shuō)明該方法對(duì)于GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值擬合具有通用性。

3)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值避免了一般多項(xiàng)式插值在多項(xiàng)式階數(shù)達(dá)到一定程度時(shí)出現(xiàn)RP現(xiàn)象，保證所有插值時(shí)刻都能達(dá)到相應(yīng)的精度。

4)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值在保證精度的前提下，在計(jì)算效率方面不輸于多項(xiàng)式插值。

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