肖 杰，張 錦

(1．中國科學(xué)院測量與地球物理研究所，湖北武漢430077;2．中國科學(xué)院動力大地測量學(xué)重點實驗室，湖北武漢430077;3．中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049;4．太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系，山西太原030024)

一、引 言

建立礦區(qū)似大地水準面模型的主要目的是要將GPS觀測所獲取的大地高轉(zhuǎn)化為我國工程常用的正常高，從而替代勞動強度大、效率低的水準測量。將某一點的大地高轉(zhuǎn)化為正常高，其關(guān)鍵是要知道該點的高程異常值。

高程異常的確定方法有重力法和幾何法。重力法需要精度和分布較好的重力數(shù)據(jù)及地形數(shù)據(jù)，但由于我國重力數(shù)據(jù)較為稀缺及重力施測的難度和精度問題，限制了此方法的使用。幾何法則是通過模型擬合高程異常曲面，然后用內(nèi)插的方法獲得待定點的高程異常值。由于所選模型的不同，產(chǎn)生了不同的擬合方法，基本可分為函數(shù)模型和統(tǒng)計模型。函數(shù)模型有多項式擬合[1-2]、多面函數(shù)法[3]及多種模型組合擬合[4]等;統(tǒng)計模型有加權(quán)平均法[5]、Kriging 方法[6]等，其實質(zhì)都是對局部區(qū)域內(nèi)似大地水準面的逼近。本文利用某礦區(qū)GPS/水準數(shù)據(jù)，通過對多種擬合模型擬合精度的比較分析，建立適合礦區(qū)的似大地水準面擬合模型，方便礦區(qū)測繪生產(chǎn)。

二、常用擬合模型

1．加權(quán)平均模型

加權(quán)平均模型的基本原理是：設(shè)有n個控制點，則高程異常ζ的計算公式為

式中，pi是已知點的權(quán)函數(shù)。

2．Shepard插值模型

Shepard于1964年提出了一種局部逼近模型，選定R＞0，并規(guī)定權(quán)函數(shù)為[7-8]

此方法是一種改進的加權(quán)平均法，需要合理選擇R，使恰當數(shù)量的點(xi，yi)落入圓域中。權(quán)函數(shù)的光滑性和衰減性越好，曲面的擬合效果就越好。

3．三次多項式模型

多項式擬合模型在水準面擬合中是應(yīng)用最多也是最普遍的，三次多項式擬合模型為[1]

式中，α0，α1，…，α9為多項式擬合系數(shù);ζ為高程異常值，即GPS所測大地高與水準高程之差，單位為m;xm、ym為擬合區(qū)的中心平面坐標，單位為m。

4．多面函數(shù)模型

多面函數(shù)法[9-10]是Hardy于1977年提出的，該方法認為任何一個圓滑的數(shù)學(xué)表面總可用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和以任意精度逼近。

多面函數(shù)方程的一般形式為

式中，ζ可看做水準面擬合的高程異常值;ai為待定系數(shù);q(x，y，xi，yi)為核函數(shù)，通常為 x、y 的二次函數(shù)，其表達式為

式中，(x，y)為待求點坐標;(xi，yi)為中心點坐標，即核函數(shù)結(jié)點坐標;δ2為光滑因子，用來對核函數(shù)進行調(diào)整;β一般可選某個非零實數(shù)，如 0．5、1、-0．5等，選0．5 時為正雙曲面，選 -0．5 時為倒雙曲面。

多面函數(shù)法中的核函數(shù)和光滑因子δ2對最終的擬合效果有非常重要的影響，文獻[10]對光滑因子的選取作了詳細介紹，認為相同的光滑因子正雙曲面擬合精度高于倒雙曲面擬合精度。除此之外，核函數(shù)結(jié)點的選擇也是非常重要的，一般的原則是選擇分布均勻：區(qū)域內(nèi)具有代表性的特征點作為結(jié)點，不同的結(jié)點坐標和結(jié)點密度將直接影響最終的擬合效果。

當確定了以上各個參數(shù)，即可列出誤差方程，用最小二乘法進行待定系數(shù)求解ai，其矩陣表達式用A表示，矩陣A的求解表達式可表示為

當計算出系數(shù)矩陣A后，即可通過式(3)求取各個點位的高程異常值。

三、礦區(qū)GPS/水準數(shù)據(jù)擬合

圖1為某礦區(qū)控制點點位分布圖，共191個控制點，均進行了不少于2 h的GPS靜態(tài)觀測和三等或四等水準觀測。整個礦區(qū)控制網(wǎng)覆蓋范圍約1000 km2，礦區(qū)地形起伏較大，最大高差約517m。

為保證有足夠精度的大地高，采用CGCS2000坐標系下約束平差后的大地高(用4個分布均勻的國家高等級控制點的CGCS2000坐標進行約束平差)代替WGS-84坐標系下的大地高。根據(jù)控制點的大地高和水準高程可以計算出各點的高程異常值。下面分別用上述4種擬合模型計算高程異常值。其中多面函數(shù)法經(jīng)反復(fù)試算，選用62個分布均勻的控制點作為結(jié)點坐標。加權(quán)平均模型、Shepard插值模型、三次多項式模型亦選用此62個控制點作為已知點參與計算，其余點作為外部檢核點。圖2為參與解算的62個已知點點位分布圖。

圖1 礦區(qū)控制點點位分布圖

圖2 62個控制點點位分布圖

圖3為三次多項式模型內(nèi)符合精度差值圖，圖4為加權(quán)平均模型、Shepard插值模型和三次多項式模型外符合精度差值圖。

圖3 三次多項式內(nèi)符合精度差值

圖5為多面函數(shù)法內(nèi)符合精度插值圖。多面函數(shù)法的擬合計算選某礦區(qū)的182個GPS/水準點參與擬合參數(shù)計算。圖2為多面函數(shù)結(jié)點點位分布圖，其中，光滑因子δ取0．01，β取0．5。經(jīng)計算后，內(nèi)符合檢核點高程異常值計算結(jié)果與實測高程異常值(GPS控制點的大地高與水準觀測的正常高之差，以下同)計算結(jié)果之差如圖5所示，內(nèi)符合檢核點中差值的絕對值大于4 cm的點數(shù)有35個，差值最大的數(shù)值高達0．3m。

圖4 加權(quán)平均模型、Shepard插值模型和三次多項式模型外符合精度差值

圖5 多面函數(shù)法高程異常值計算結(jié)果與實測值之差

從以上4種擬合方法的計算結(jié)果來看，加權(quán)平均模型插值效果最差，Shepard模型較加權(quán)平均模型插值效果有極大提高。多面函數(shù)法是GPS/水準擬合中應(yīng)用較多的方法，其結(jié)點坐標，δ、β值的選擇對計算結(jié)果影響較大，需反復(fù)試算。4種方法的均方根誤差(RMSE)見表1。

表1 4種方法擬合均方根誤差 m

從表1中可以看出，三次多項式擬合方法的均方根誤差最小。

四、組合擬合法

通過上述實例數(shù)據(jù)可以看出，在類似于某礦區(qū)這種大范圍的、地形較復(fù)雜的地區(qū)單純用一種方法來擬合整個礦區(qū)的似大地水準面，其擬合精度不夠理想。根據(jù)似大地水準面的特性，可以把高程異常曲面分為中長波項和短波項，用不同的擬合方法分別進行擬合，然后組合在一起，這樣可以發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢，彌補其劣勢，達到提高擬合精度的目的。

通常曲面的中長波項(即趨勢項)是比較平滑的曲面，用多項式擬合即可很好地去除，剩余的部分即為短波項影響，一般由于地形的高低起伏等因素引起，用Shepard插值法或多面函數(shù)法即可很好地對剩余高程異常進行擬合。圖6為用三次多項式去除趨勢項，用Shepard插值模型擬合的結(jié)果與實測高程異常之差值比較，均方根誤差±0．018m。

圖6 組合法擬合結(jié)果與實測值之差

五、結(jié)束語

文中首先分別用加權(quán)平均模型、Shepard插值模型、多項式擬合模型及多面函數(shù)法4種方法對某礦區(qū)控制點的GPS/水準數(shù)據(jù)進行似大地水準面擬合，對4種方法進行對比分析和精度評定，在這種單獨擬合的情況下，三次多項式擬合精度較其他3種方法較高。根據(jù)局部似大地水準面的物理和幾何特性，用組合擬合法進一步改善了擬合精度，擬合均方根誤差不超過±2 cm，表明此模型可以在地形起伏較大的礦區(qū)加以應(yīng)用，結(jié)合GPS觀測成果可以取代四等及以下幾何水準測量。

[1]中華人民共和國國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局，中國國家標準化管理委員會．GB/T 23709—2009區(qū)域似大地水準面精化基本技術(shù)規(guī)定[S]．北京：中國標準出版社，2009．

[2]劉長建，柴洪洲，吳洪舉，等．GPS水準多項式擬合自動優(yōu)選算法[J]．測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報，2009(1)：49-51．

[3]陶本藻，姚宜斌，趙美超．論多面函數(shù)推估與協(xié)方差推估[J]．測繪通報，2002(9)：4-6．

[4]鐘波，羅志才．GPS水準綜合模型的應(yīng)用研究[J]．測繪通報，2007(6)：5-7．

[5]張玲彬，武雁剛，張坤軍．GPS水準加權(quán)綜合擬合模型的應(yīng)用研究[J]．黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008(3)：37-39．

[6]李明，高星偉，文漢江，等．Kriging方法在GPS水準擬合中的應(yīng)用[J]．測繪科學(xué)，2009(1)：106-107．

[7]黃友謙．曲線曲面的數(shù)值表示和逼近[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1984．

[8]史利民，王仁宏．幾種基于散亂數(shù)據(jù)擬合的局部插值方法[J]．數(shù)學(xué)研究與評論，2006(2)：283-291．

[9]劉經(jīng)南，施闖，姚宜斌，等．多面函數(shù)擬合法及其在建立中國地殼平面運動速度場模型中的應(yīng)用研究[J]．武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版，2001，26(6)：500-503．

[10]馬洪濱，董仲宇．多面函數(shù)GPS水準高程擬合中光滑因子求定方法[J]．東北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29(8)：1176-1178．