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        Cesaro函數(shù)空間CESp 的依測度收斂的Opial性質(zhì)和強端點

        2012-12-10 03:59:50于非非
        天津科技大學學報 2012年3期
        關鍵詞:范數(shù)端點中點

        于非非,李 君

        (天津科技大學理學院,天津 300457)

        Opial于 1967年[1]引入了 Opial性質(zhì)的概念,這一性質(zhì)蘊含不動點性質(zhì),這樣的 Opial性質(zhì)為序列空間所獨有.1996年王廷輔等[2]討論了 Orlicz序列空間的 Opial性質(zhì).對于函數(shù)空間,作者在文獻[3]中引入了函數(shù)空間中的新概念——依測度收斂的 Opial性質(zhì),并且討論了 Orlicz函數(shù)空間LM中依測度收斂的Opial性質(zhì)的等價敘述,給出了LM中依測度收斂的Opial模的計算公式.

        Cesaro函數(shù)空間CESp是全體定義在(0,+∞)并具有有限范數(shù)

        的可測函數(shù) f(x)所構成的空間,其中1<p<∞.對于該空間的性質(zhì)討論并不多,1987年 Polly等[4]論證了CESp是可分的Banach空間,在等價范數(shù)意義下討論了共軛空間;2003年劉郁強[5]用矢值序列空間的方法研究了 Cesaro函數(shù)空間的幾何性質(zhì),其中就論證了Cesaro函數(shù)空間嚴格凸但非一致凸;2008年Astashkin 等[6]證明了CESp不具有不動點性質(zhì),2011年[7]又討論了CESp的同構問題.

        不影響討論結果的情況下簡記為

        定義2 x∈S(X )稱為B(X)的強端點,如果{xn}?X,{yn}?X ,xn+yn=2x(n=1,2,3?),→1,→ 1,蘊含→ 0(n→ ∞).

        定義3 如果S(X)中的任一點均為B(X)的強端點,則X是中點局部一致凸的.

        本文論證了CESp在上述范數(shù)意義下具有依測度收斂的 Opial性質(zhì);證明了?z∈S (CESp)都是B(CESp)的強端點,進而證明了CESp(0<p<∞)是中點局部一致凸的.這樣的論證對于該函數(shù)空間幾何性質(zhì)、點態(tài)性質(zhì)的完善具有重要意義.有關 Banach空間的幾何理論及常見記號見參考文獻[8]

        定理1 Cesaro函數(shù)空間CESp(1<p<∞)具有依測度收斂的Opial性質(zhì).

        于是容易得到

        所以在區(qū)間(0,a)有

        由空間理論知識及式(1)知

        而n充分大時,總有

        結合式(2)—(4)有

        所以

        這也就證明了

        即CESp(1<p <∞)具有依測度收斂的Opial性質(zhì).

        定理2 ?z∈S (CESp)都是B(CESp)的強端點.

        這樣就證明了?z∈S (CESp)都是B(CESp)的強端點.

        推論 Cesaro函數(shù)空間CESp(1<p<∞)是中點局部一致凸的.

        關于函數(shù)空間CESp(1<p<∞)的其他點態(tài)性質(zhì)、幾何性質(zhì)及各種幾何常數(shù)的討論,有待于大量研究工作予以完善.

        [1] Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings[J]. Bulletin of the American Mathematical Society,1967,73(4):591–597.

        [2] 王廷輔,崔云安. Orlicz序列空間的 Opial性質(zhì)[J]. 應用數(shù)學,1996,9(3):392–394.

        [3] 于非非,崔云安. Orlicz函數(shù)空間的依測度收斂的Opial性質(zhì)[J]. 黑龍江大學自然科學學報,2002,19(1):6–9.

        [4] Polly Wee Sy,Zhang Wenyao,Lee Peng Yee. The dual of Cesaro function spaces [J]. Glasnik Matematicki,1987,22(42):103–112.

        [5] 劉郁強. Cesaro函數(shù)空間的幾何性質(zhì)[J]. 華南師范大學學報:自然科學版,2003(4):1–4.

        [6] Astashkin S V,Maligranda L. Cesaro function spaces fail the fixed point property [J]. Proceedings of the American Mathematical Society,2008,136(12):4289–4294.

        [7] Astashkin S V,Maligranda L. Geometry of Cesaro function spaces [J]. Functional Analysis and Its Applications, 2011,45(1):64–68.

        [8] 俞鑫泰. Banach空間幾何理論[M]. 上海:華東師范大學出版社,1985:213–301.

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