周召發(fā)，王振業(yè)，郭曉松，魏皖寧

(1西北工業(yè)大學(xué)，西安 710072;2第二炮兵工程學(xué)院，西安 710025)

0 引言

正切法常用于軸角測量[1]、光柵測角[2]、同步機(jī)角度測量[3]等高精測角場合。由于正切函數(shù)的在區(qū)間內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)性，故其計算可靠性較高，因此正切法也廣泛應(yīng)用于捷聯(lián)尋北中。傳統(tǒng)正切法有兩種實(shí)現(xiàn)方式，一種是直接查表方式，這種方式應(yīng)用于捷聯(lián)尋北中;另一種采用八區(qū)間查表法來實(shí)現(xiàn)。不論采用哪種方式在建立表格時都需要占用較大的存儲空間，且在查詢時代碼執(zhí)行效率較低，因此較難以用普通的單片機(jī)來實(shí)現(xiàn)?；诖瞬蛔悖闹刑岢隽艘环N基于最小二乘原理的快速正切算法，下面將詳細(xì)介紹算法的實(shí)現(xiàn)過程。

圖1 理想狀態(tài)下載體方位角的解算模型

1 捷聯(lián)尋北原理

當(dāng)陀螺儀工作于理想狀態(tài)(靜基座、無傾角、無誤差)時，可以通過陀螺敏感軸上的輸出與陀螺方位角之間的正切關(guān)系解算出陀螺的方位角，從而確定載體與真北方向的夾角。設(shè)地球坐標(biāo)系(n系)xnynzn為東北天坐標(biāo)系OENT，靜基座下陀螺坐標(biāo)系(g系)xgygzg和載體坐標(biāo)系(b系)xbybzb重合，zg軸與OT軸平行也指向天頂。地球自轉(zhuǎn)角速度ωie在n系中的投影為=[0 ωiecosφ ωiesinφ]T，其中φ為載體所在緯度。理想狀態(tài)下載體無傾角，設(shè)載體的方位角為φ，ωie的北向分量ωiecosφ在g系中的投影如圖1所示，此時ωx=ωNcosφ，ωy= ωNsinφ，其中 ωx、ωy為陀螺兩敏感軸 x軸和y軸的軸向輸出，可以通過傳感器測量輸出，如果不考慮漂移等誤差影響，載體方位角 φ =

2 八區(qū)間正切查表法

由上面的分析可知，理想狀態(tài)下，方位角φ與陀螺輸出ωx、ωy成簡單的正切關(guān)系，方位角φ的變化范圍為極性將方位角φ定位在小于的區(qū)間內(nèi)，實(shí)現(xiàn)八細(xì)分，如表1和圖2所示。

表1 八細(xì)分區(qū)間

在文獻(xiàn)[1－4]中通常進(jìn)行八細(xì)分后就不再往下分，而是根據(jù)所需精度，建立0°～45°的正切值表，然后采用軟件查表法求得相應(yīng)的角度準(zhǔn)確值。如果要達(dá)到10″的求角精度，則至少要建立45個60×6的數(shù)組，如果用浮點(diǎn)數(shù)建表，則至少需要127K的制表空間，這就增加了單片機(jī)的實(shí)現(xiàn)難度，另外采用查詢方式求角，需要通過循環(huán)查詢或多次比較才能得到所對應(yīng)的角度值，雖然精度較高，但代碼執(zhí)行效率較低，因此需要找到一種快速高效的正切算法來克服傳統(tǒng)正切查表法帶來的不足。

圖2 八細(xì)分區(qū)間示意圖

3 基于最小二乘原理的快速正切算法

線性最小二乘擬合在科學(xué)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計方法中經(jīng)常使用。它的具體操作過程是從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)中擬合出函數(shù)關(guān)系y=f(x)，擬合的標(biāo)準(zhǔn)是使(f(xi)－yi)的平方取極小值。數(shù)學(xué)描述如下：

用線性函數(shù)：y=f(x)=ax+b

擬合離散數(shù)據(jù)：(xi，yi)，i=0，1，2，…，n

在最小二乘意義上有：

解出a與b的值，則得到線性最小二乘函數(shù)。

基于最小二乘法原理可以對反正切函數(shù)在0°～45°區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分段線性化。由上述分析可知，根據(jù)陀螺敏感軸上的輸出值ωx、ωy的極性和的比值可以確定方位角φ所在的區(qū)間，然后結(jié)合捷聯(lián)尋北30″的尋北精度的實(shí)際要求在八區(qū)間細(xì)分的基礎(chǔ)上再進(jìn)行分段，最后采用最小二乘法實(shí)現(xiàn)對各段的線性擬合。用最小二乘實(shí)現(xiàn)分段線性擬合的實(shí)現(xiàn)流程如圖3所示。

通過程序可以得到其分段表達(dá)式如表2所示。

圖3 用最小二乘原理實(shí)現(xiàn)分段線性擬合流程圖

表2 作用區(qū)間分段表達(dá)式

圖4 誤差曲線

由圖3可知，誤差μ嚴(yán)格控制在30″以內(nèi)，完全滿足捷聯(lián)尋北的實(shí)際要求。通過計算得出采用12個分段函數(shù)就能將求角方法誤差控制在1'以內(nèi)，占用存儲空間為0.14K;采用29個分段函數(shù)就能將求角方法誤差控制在10″以內(nèi)，占用存儲空間為0.34K。

4 結(jié)論

從仿真結(jié)果可以明顯看出算法能有效控制誤差，說明文中提出的快速算法是切實(shí)可行的。從算法實(shí)現(xiàn)來看，當(dāng)要控制精度在30″以內(nèi)時，快速算法只需存儲51個數(shù)據(jù)，即只需占用0.2K的存儲空間;如果用直接查表法，則需要存儲43200個數(shù)據(jù)占用約169K的存儲空間;如果在八區(qū)間細(xì)分的基礎(chǔ)上再采用查表法，也需要存儲5400個數(shù)據(jù)占用21.2K的存儲空間，因此在30″精度時，快速算法相對于八區(qū)間基礎(chǔ)上的查表法節(jié)省了106倍的存儲空間，相對于直接查表法，節(jié)省了844倍的存儲空間。說明文中提出的快速算法極大的縮小了數(shù)據(jù)存儲所需空間，因此更容易選取合適的單片機(jī)型號;且程序執(zhí)行相當(dāng)簡單，這樣就極大的提高了程序的執(zhí)行效率。

[1]張恒，馮旭升，薛東方，等.基于正切算法的軸角數(shù)字轉(zhuǎn)換器設(shè)計[J].軍械工程學(xué)院學(xué)報，2010，22(3)：40－43.

[2]藺小軍，史耀耀，汪文虎，等.光柵信號軟件細(xì)分技術(shù)及其誤差分析[J].工具技術(shù)，2006，40(10)：72－74.

[3]于恩祥.同步機(jī)角度——數(shù)字轉(zhuǎn)換的一種新方法及其實(shí)現(xiàn)[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2001(1)：53－56.

[4]唐小琦，劉世峰，王平江，等.正切法莫爾條紋信號幅值分割細(xì)分的誤差分析[J].測量學(xué)報，2007(2)：8－11.