張銳波

（浙江大學，杭州舟山 310015）

測量結(jié)果表達式與不確定度關系的研究與探討

張銳波

（浙江大學，杭州舟山 310015）

測量不確定度和結(jié)果表達是學習物理實驗的重要概念，它是衡量測量結(jié)果可靠性和準確程度的標志。本文就這些概念以及它們之間關系一一進行闡述，以有利于學生學習與參考。

測量；結(jié)果表達；不確定度；隨機誤差；系統(tǒng)誤差

測量者欲獲得該待測物理量的最佳值是很困難的，盡管采用了盡可能多的有效手段企圖減小測量過程中可能產(chǎn)生的各種誤差，諸如必須的等精度測量，對實驗儀器縝密調(diào)節(jié)與增加測量次數(shù)等，都無異于提高實驗測量精度，原于學生往往忽視對測量過程中存在的已定系統(tǒng)誤差糾正與測量物理量真值所處范圍（不確定度）估測以及測量結(jié)果的正確表達。

1 書寫測量結(jié)果表達式的前提條件

“真值只有定義嚴密時通過完善的測量才可能獲得，它一般無從獲知”［1－3］，其實，真值在任何條件下都無法獲得，也沒有特殊的可能。為此，考慮給予真值存在的范圍（或區(qū)間）有根據(jù)地估測非常有必要。

1.1 結(jié)果表達式的物理涵義

測量某一物理量，它的真值所處范圍必須用測量結(jié)果表達式來表達，其表達形式

圖1 為結(jié)果表達式示意圖

1.2 測量結(jié)果的表達思路

然后，再考慮剩余未定系差，其與統(tǒng)計規(guī)律產(chǎn)生的標準差一同放入不確定度內(nèi)，用來表示測量真值的存在范圍 －不確定度。圖2所示。

圖2 系統(tǒng)誤差與隨即誤差關系

1.3 測量值已定系差的修正

舉一個簡單的例子，若用精度1／100秒表測量某同學的百米用時，該同學聽見槍開始起跑，同時沖刺線處老師開始計時，跑至沖刺線計時結(jié)束，成績?yōu)?4.44秒，根據(jù)聲音在空氣中的傳播速度340m／s，存在系差s／v＝100／340＝0.294秒，因此，該同學的百米測試成績修正為14.146秒。又如用螺旋測微器測一工件厚度，測腳吻合時初值為x0（不為零），該情況下必須對測值結(jié)果進行修正。

2 物理實驗中不確定度估測分類概述

不確定度表明的是被測值的分散性，無法準確獲知以便對測量結(jié)果進行修正的一種未定系差，該值大致范圍只能憑借經(jīng)驗或儀器的生產(chǎn)廠家提供。

2.1 不同類不確定度分量來源涵義與估測

（1）制造廠家對某種型號儀器所規(guī)定的示值誤差的允許范圍，而不是某一臺儀器實際存在的誤差。測量儀器的最大允許誤差可在儀器說明書或名牌中查到，用數(shù)值表示時有正負之分，通常采用絕對誤差、相對誤差、引用誤差或它們的組合形式來表示。一般采用儀器的準確度等級（或級別）來估算，諸如惠斯通電橋在不同測值范圍準確度等級，則準確度就為“級別%”，儀器誤差Δ儀＝最佳測量值×級別%。

（2）測量結(jié)果中由測量儀器引入的不確定度可依該儀器最大允許誤差來評定，它是采用計量局更精密的測量儀器測量同一物理量，然后進行比對來標定該儀器的儀器誤差。制造廠家一般將其標注在儀器說明書（手冊）或銘牌上，大多數(shù)儀器設備都會有不同測值范圍內(nèi)的儀器誤差。例如，螺旋測微器誤差0.004mm、毫米尺上標定的0.1mm等等；

（3）千分尺與角游標尺類型儀器，由于它們讀數(shù)的特點均是依據(jù)游標尺某刻線與主尺某刻線重合（即同一條直線）來讀數(shù)，則儀器誤差均為其最小分格（或稱精度）。如此，還有電子秤、頻率計、數(shù)字電壓電流表、秒表等；

（4）凡存在估讀類的測量儀器，其儀器誤差均為該儀器最小分格（或精度）的一半，除非在該測量儀器上明確標注儀器誤差為多少，此屬第二種情況。諸如，螺旋測微器最小分格為0.01mm，儀器誤差為0.005mm；如此，還有皮尺、鋼尺、光速測定裝置標尺、顯微鏡游標尺、邁克爾遜游標尺、示波器熒光屏最小分格等。此在于測量者在對相關最小分格估讀時，雖然存在隨機性，其都不會超出最小分格的二分之一所致；

減小未定系統(tǒng)誤差，只能通過改進和精心調(diào)節(jié)實驗儀器，盡可能地提高測量精度，使之測量值盡可能地接近真值，進而減小測量真值的表示范圍（區(qū)間），最大限度地提高測量值的置信概率。

2.2 不確定度分量的方和根合成

不確定度按其獲得渠道可分為A、B類分量。A類分量擬采用統(tǒng)計分析方法評定，即標準差（測量次數(shù)n≥2）評定；B類分量稱為隱含著的可估計值，它不能對測量值加以修正，僅能對已修正測量值的不完善而引入的量值歸并入不確定度中，以表示真值所處范圍。它是依據(jù)經(jīng)驗、資料或其他信息來估算，一般采用均勻分布（ΔBi）較為合適。其方和根合成公式

應該特別指出的是惠斯登電橋測電阻，一些同學錯誤地把由于檢流計靈敏度與電阻箱引起的誤差合成只是簡單地采用Rx1＋Rx2代數(shù)和來處理［1］，是沒有道理的。

2.3 擴展不確定度與置信概率的關系

為科學地表示真值所處范圍（區(qū)間），如圖1所示，通常采用總不確定度U＝ciu表示，它是采用合成不確定度 的延展（或拓展）而來，其中ci（i＝1、2、3）為延展系數(shù)，ci值愈大，真值所處范圍的置信概率就越高，嚴格來講ci值由自由度確定，實際教學中，擬采用c＝2或3，其置信概率分別為95.5%和99.7%，此處c的取值自隨即誤差正態(tài)分布2ε、3ε拓展，此處我持反對意見，因u是標差與未定系差合成而來，并非滿足正態(tài)分布規(guī)律，置信概率的隨便套用是不科學的，為此，應向?qū)W生說明［2］。

3 結(jié)果表達式的正確書寫

3.1 擴展不確定度（U）有效數(shù)據(jù)的保留

總不確定度U（ciu）有效數(shù)據(jù)保留幾位，傳統(tǒng)的方法是首位非零數(shù)≤3取兩位、首位數(shù)非零＞3取一位［1］。比如：U＝0.210 1，應保留為0.22；U＝0.410 1，應保留為0.5。上述均是由上述均在保留位加1是由于留位后有數(shù)，其原因在于如圖1所示，以提高真值在該范圍置信概率，以不失去結(jié)果表達式的物理含義。

清華大學牛鶴年老師關于對U的修約是“首位數(shù)字較?。ㄈ?、2等）時一般取兩位，不小于5時通常取1位”［3］，為此，我建議不確定度取位大家應該有一個統(tǒng)一標準。

3.2 測量值有效數(shù)據(jù)的保留

結(jié)果表達式中測量值有效數(shù)據(jù)位數(shù)也有嚴格修約，傳統(tǒng)的方法擬采用與合成不確定度相同數(shù)量級的保留位數(shù)，保留位以5為限，大者進1，小者不進，等者視其前為奇者進、偶者舍的保留模式。

3.3 結(jié)果表達式書寫舉例

結(jié)果表達的形式如（1）式所示，關鍵是要對測量值的系統(tǒng)誤差進行糾正，并按上述規(guī)范推算不確定，以及實際表達時的系微變化。

需要說明的是，若（3）式套用規(guī)范x＝（6.5687±0.0036）mm是不正確的，因測量值估讀至10-3mm，總不確定度（U）按規(guī)范有效數(shù)字保留至10-4mm已沒必要，此時應以測量值估讀末位為準，故總不確定度應保留1位。通常情況，作者主張伸展不確定度c取3較為合適。

4 結(jié) 論

數(shù)據(jù)處理與結(jié)果表達是物理實驗教學中的重要環(huán)節(jié)，是實驗成功與否重要標志。本文系統(tǒng)地分析和闡述了（1）表達式書寫形式、相關因素、一維圖示及其物理涵義；（2）在測量某一物理量時，舉例說明、發(fā)現(xiàn)、糾正系統(tǒng)誤差是測量結(jié)果表達的關鍵，并用圖示說明了系統(tǒng)誤差與隨機誤差是“西瓜與芝麻”之關系；（3）不確定度是標準誤差偏差與未定系統(tǒng)誤差合成，尤其未定系差的4種來源歸類與估算方法；（4）提出了擴展（伸展）不確定概念，及其與置信概率類比拓展關系；（5）結(jié)果表達時測量值與總不確定度有效數(shù)據(jù)位數(shù)的理論依據(jù)與實際應用時的靈活性。

［1］ 陳守川等.新編大學物理實驗教程［M］.浙江：浙江大學出版社，2011：114.

［2］ 方心 張銳波.誤差理論幾個問題的討論［J］.大學物理實驗.2011，24（6）：86-89.

［3］ 牛鶴年.新概念物理實驗測量引論［M］.北京：高等教育出版社，2007.

Research on the Relationship between Expression and Uncertainty of Measuring Result

ZHANG Rui-bo

（Zhejiang University，Hangzhou 310015）

The expression of measuring result and uncertainty are the important concept in the processes of physical experiment study.They also are the important standard to judge the degree of reliability and accuracy of measuring result.In this paper，these concepts and their relation were discussed one by one.These concepts explaining and deriving are beneficial to student’s study.

measurement；result expression；uncertainty；random error；systematic error

O4-8

A

1007-2934（2012）03-0100-03

2011-12-11