吳春法，林傳超，王 敬，藺小梅

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021）

Mobius函數(shù)及Mobius反演公式是個古老而又神秘的數(shù)學(xué)知識，由我國著名學(xué)者、現(xiàn)中科院院士陳難先教授提出的推廣Mobius反演公式到變量連續(xù)形式的Chen-Mobius反演公式，解決了應(yīng)用物理中的各種逆問題[1-2]。近幾年國內(nèi)不少學(xué)者又開創(chuàng)了將 Chen-Mobius反演公式應(yīng)用于通信系統(tǒng)的新領(lǐng)域[3-5]。蘇武潯等研究的利用調(diào)制解調(diào)原理的Chen-Mobius通信系統(tǒng)[6-7]也取得了一定成果。本文利用Chen-Mobius變換生成的函數(shù)族的斜正交性設(shè)計一種高速保密的通信系統(tǒng)。該新型Chen-Mobius通信系統(tǒng)與傳統(tǒng)通信系統(tǒng)比較，主要有傳輸方式不同、保密性好、編碼函數(shù)族簡單等特點。

1 相關(guān)理論與概念

1.1 Mobius函數(shù)性質(zhì)

在數(shù)論中，Mobius函數(shù)定義為[3]：

由式(1)可知 μ(n)只取 1、-1、0三個值。 其前 10個自然數(shù)的 Mobius函數(shù)值為：μ(1)=1，μ(2)=-1，μ(3)=-1，μ(4)=0，μ(5)=-1，μ(6)=1，μ(7)=-1，μ(8)=0，μ(9)=0，μ(10)=1。Mobius函數(shù)有一個重要的特性，即：

若F(x)為連續(xù)變量x的函數(shù)，且滿足：

則：

根據(jù)赫利條件，只要滿足它的周期就可以展開成一系列正（余）弦函數(shù)的傅里葉級數(shù)，而Chen-Mobius變換正好將正（余）弦函數(shù)展開成周期函數(shù)信號。

1.2 新型Chen-Mobius通信系統(tǒng)

圖1 通信模擬示意圖

2 新型Chen-Mobius 8路通信系統(tǒng)的FPGA實現(xiàn)

2.1 發(fā)送部分

周期波形信號發(fā)生器是由8路Chen-Mobius變換生成的函數(shù)族經(jīng)過8路加法器合成的。每個Chen-Mobius函數(shù)族模塊包含使能端、時鐘控制端、波形輸出端。

周期波形信息頭發(fā)生器產(chǎn)生的信息頭使得波形在接收端就可以被識別。本信息頭的設(shè)計規(guī)則是在每個周期波形信號發(fā)生器產(chǎn)生前連續(xù)產(chǎn)生兩個時鐘的周期波形的最小幅值信號和兩個時鐘的周期波形的最大幅值信號。

時序控制器的設(shè)計主要是分配好信號發(fā)生器與信息頭發(fā)生器的時序，因為信息頭發(fā)生器只發(fā)生在波形周期的前4個脈沖。

通信系統(tǒng)的發(fā)送模塊主要由3部分組成：周期波形信號發(fā)生器、周期波形信息頭發(fā)生器和時序控制器。如圖2所示，在一個波形周期的前4個時鐘的值為波形的極小、極大值分別為-8 192、8 191，并在后面緊隨著信號波形。

2.2 接收端的實現(xiàn)

發(fā)送端的信息頭波形發(fā)生器為信息波形添加了頭信號，接收端從線路上取得信號波形后需要判別出不同周期的波形，信息頭判別器就是識別每個波形周期開始的器件。當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是連續(xù)的-8 192、-8 192、8 191、8 191時，就確定是一個新的周期波形的開始。

接收端波形發(fā)生器與發(fā)生端的發(fā)生器類似，只是接收端將產(chǎn)生與發(fā)送端逆信號相對應(yīng)的正信號。根據(jù)Chen-Mobius變換公式， 發(fā)送端的混合信號只有與相應(yīng)的解信號進行乘積并在周期T內(nèi)進行積分才可以得到信號的數(shù)值。

因為乘法累加的結(jié)果會出現(xiàn)誤差，因此信號判別器的作用就是判斷乘法累加的結(jié)果與理想積分值的偏差是否在誤差允許范圍內(nèi)，然后判斷輸入信號為‘1’或‘0’。信號判別器的功能仿真圖如圖3所示。

當(dāng)compare_in_o端的輸入為294 912時，因為信號波形是通過DDS原理產(chǎn)生的，幅值需大于1，因此對正波和逆

通信系統(tǒng)的發(fā)送模塊主要由4個組成部分：信息頭判別器、接收端周期波形發(fā)生器、乘法累加器和信號判別器。分別在Quartus中對其進行功能仿真，對接收端模塊進行封裝，并進行功能仿真，結(jié)果如圖4所示。

當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是連續(xù)的-8 192、-8 192、8 191、8 191時，接收端就開始產(chǎn)生波形并與發(fā)生端的波形進行乘法累加運算。

2.3 新型Chen-Mobius通信系統(tǒng)的實現(xiàn)

通信系統(tǒng)的發(fā)送模塊和接收模塊分別設(shè)計完成后，需要將兩個模塊連接起來驗證新型Chen-Mobius的可行性，并下載到DE2板上進行驗證。

程序通過電腦的USB線對DE2進行配置。由于信號是數(shù)字形式不太好觀察其模擬波形，因此利用Signaltap II Logic Analyer觀察。從圖5可以看到在撥碼開關(guān)SW[0]、SW[2]、SW[4]、SW[6]處于高電平時，相 應(yīng)的 接收 端的數(shù)碼管 LEDG[0]、LEDG[2]、LEDG[4]、LEDG[6]在 信 號 判 別時刻也為高電平。

圖2 通信系統(tǒng)發(fā)送模塊各信號波形圖

圖3 信號判別器功能仿真

圖4 接收端功能仿真

從實驗結(jié)果來看，新型Chen-Mobius通信系統(tǒng)的可行性基本得到驗證。因此，新型Chen-Mobius通信系統(tǒng)在實際應(yīng)用中是可行的，并將有更多的改進。

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[4]李永杰，許金龍，朱傳春.基于 DSP Builder的 Chen-Mobius通信系統(tǒng)實現(xiàn)[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2008，34(9)：35-37，41.

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