鄺 鈺 吳 潤 李 巖

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854

分?jǐn)?shù)階微積分把傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的階次推廣到了復(fù)數(shù)形式［1］，此概念最早是1695年Leibniz 和Hospital 提出的，經(jīng)過300 多年的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)應(yīng)用到材料記憶、力學(xué)和電特性的描述、粘彈性阻尼、分形理論等諸多工程領(lǐng)域［2］，分?jǐn)?shù)階微積分在控制系統(tǒng)中應(yīng)用還比較新。理論上，控制系統(tǒng)既包括分?jǐn)?shù)階被控對象又包括分?jǐn)?shù)階控制器［3］。朱呈祥等人對被控對象的分?jǐn)?shù)階辨識進(jìn)行了研究［4］，然而，在控制實(shí)踐中，被控對象的模型已經(jīng)有了經(jīng)典的整數(shù)階模型，所以往往僅考慮控制器為分?jǐn)?shù)階［3］，例如，Alain Oustaloup 等人提出了非整數(shù)階魯棒控制(CRONE)［5］，以及目前國內(nèi)外研究較多的分?jǐn)?shù)階PID(PIλDμ)控制［2，6］也是如此。

傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)，廣泛應(yīng)用于航天、冶金、電力等過程控制中，而PIλDμ控制是傳統(tǒng)PID 控制的推廣，它比PID 控制多了積分階次λ 和微分階次μ 這2個(gè)可調(diào)參數(shù)，控制器參數(shù)的整定范圍更廣，控制更靈活。本文首先研究了分?jǐn)?shù)階控制器的模擬及數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法，然后以閥控對稱液壓缸PIλDμ控制系統(tǒng)為例，對分?jǐn)?shù)階控制器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了研究與驗(yàn)證。

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分的基本算子為a，a 和t 是積分的上、下限，α 為微積分階次，可以是一個(gè)復(fù)數(shù)，本文只研究α∈R 的情況。

分?jǐn)?shù)階微積分定義有多種，常見的分?jǐn)?shù)階微積分定義有Grünwald－Letnikov(G－L)定義、Riemann－Liouville(R－L)定義和Caputo 定義等［8］，以常用的R－L 定義為例，其分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中，0 ＜α ＜1，Gamma 函數(shù)Γ(λ)定義為

由式(2)的積分定義，還可以定義出分?jǐn)?shù)階微分。假設(shè)分?jǐn)?shù)階n－1 ＜β ＜n，則其微分定義為

R －L 定義的分?jǐn)?shù)階積分式(2)和分?jǐn)?shù)階微分式(3)的Laplace 變換分別為

和

式中F(s)為f(t)的Laplace 變換。特別地，若函數(shù)f(t)及其各階微分的初值均為0，則

對于廣類實(shí)際函數(shù)，G－L 定義和R －L 定義的分?jǐn)?shù)階微積分完全等效，而Caputo 定義更適合于分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題的描述［7］。

2 模擬分?jǐn)?shù)階微積分器件

理想電容的阻抗為1/(jωC)，而現(xiàn)實(shí)比較理想的電容阻抗表達(dá)式為1/(jωC)α，這里α 取值從0.999 到0.9999 或者更好［8］，典型情況下，我們希望電容的α 值盡量接近“1”。然而，實(shí)際的電容大都表現(xiàn)出一定的“分?jǐn)?shù)度”，Schmidt 和Drumheller研究發(fā)現(xiàn)，LiN2H5SO4(Lithium Hydrazinium Sulfate)這種材料在一個(gè)很大的溫度和頻率范圍內(nèi)，其導(dǎo)納的實(shí)部與虛部數(shù)值可達(dá)到106，而且隨頻率的f－1/2變化［9］。考 慮LiN2H5SO4這 種 材 料 導(dǎo) 納 的實(shí)部與虛部數(shù)值巨大且近似相等，可得其阻抗表達(dá)式為

其中K 為整合后的系數(shù)。式(7)的Laplace 變換為

圖1 和圖2 分別為使用LiN2H5SO4材料做成的元器件所構(gòu)成的模擬分?jǐn)?shù)階積分與微分電路，此電路僅適用積分與微分階次大約為0.5 的情況，其它階次并不適用。

圖1 分?jǐn)?shù)階積分電路

圖2 分?jǐn)?shù)階微分電路

3 分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)字實(shí)現(xiàn)

文獻(xiàn)［7］給出了可由Fourier 級數(shù)展開的已知函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算方法，但實(shí)際應(yīng)用中，信號的函數(shù)表達(dá)式經(jīng)常是無法預(yù)先知道的，對于這種情況，可以通過構(gòu)造數(shù)字濾波器的方式對信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值處理，信號經(jīng)過濾波器的輸出結(jié)果就是信號分?jǐn)?shù)階微積分的近似結(jié)果。

分?jǐn)?shù)階微積分可用Laplace 變換寫成s±r形式。要構(gòu)造數(shù)字濾波器，需要引入生成函數(shù)s =ω(z－1)對分?jǐn)?shù)階微積分算子s±r(r∈(0，1))進(jìn)行離散化，生成函數(shù)的形式及其展開方法不同，所構(gòu)造濾波器輸出結(jié)果逼近原信號分?jǐn)?shù)階微積分的程度也不同。已經(jīng)提出的分?jǐn)?shù)階離散化數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法有對Euler算子的連分式展開(CFE)法和冪級數(shù)展開(PSE)法，對Tustion 算子的遞歸式展開法和CFE 法，以及對Al－Alaoui 算子的PSE 法等。

理想積分算子s－1在高頻段的幅頻響應(yīng)位于Simpson 積分算子HS(z)和梯形積分算子HT(z)幅頻響應(yīng)之間，為改善高頻段響應(yīng)，在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，引入加權(quán)系數(shù)a∈［0，1］，兼顧Simpson 積分算子和梯形積分算子，可以得到一種新的積分算子［3］

一般情況下，任何函數(shù)G(z)都可以用CFE 法展開成如下形式

對式(10)選擇不同的加權(quán)系數(shù)a，或按照不同的擬合階次進(jìn)行CFE 展開，就可以得到不同的濾波器，最終實(shí)現(xiàn)對分?jǐn)?shù)階微積分的離散數(shù)字化。

以分?jǐn)?shù)階微積分s±0.3和s±0.7為例，取加權(quán)系數(shù)a=0.5，采樣周期T=0.01S，分?jǐn)?shù)階次r =0.3，0.7，對式(12)進(jìn)行3 階CFE 展開，可分別得到濾波器GF(r)的表達(dá)式分別為

如果r ＞1，也即r=［r］+r'，則可以先利用已有的方法，對整數(shù)階微積分部分進(jìn)行離散化后，然后再用上面講的方法對分?jǐn)?shù)階部分進(jìn)行離散化，所以通過式(12)～(15)，我們還可以得到s±1.3，s±1.7的數(shù)字化表達(dá)式。

4 分?jǐn)?shù)階PID 控制器

分?jǐn)?shù)階PID 控制器即PIλDμ控制器，其積分階次λ 和微分階次μ 為任意正實(shí)數(shù)，其傳遞函數(shù)為

其中KP為比例增益，KI和KD分別是積分和微分常數(shù)。顯然，當(dāng)λ=μ=1 時(shí)，PIλDμ退變?yōu)榻?jīng)典的整數(shù)階PID，類似地，PD 或PDμ控制都是PIλDμ的特例。

5 數(shù)值仿真

閥控對稱液壓缸是較為常見的一種電液伺服動(dòng)力機(jī)構(gòu)，如果忽略結(jié)構(gòu)柔度、摩擦負(fù)載和彈性負(fù)載的影響，其連續(xù)數(shù)學(xué)模型可表示為［10］

式中:y 為液壓缸活塞桿的位移(m);kv為系統(tǒng)的速度增益(rad/s);ζh為動(dòng)力機(jī)構(gòu)的阻尼比;ωh為動(dòng)力機(jī)構(gòu)的固有頻率(rad/s);xv為伺服閥閥芯位移(m)。

當(dāng)選取參數(shù)kv= 15. 96rad/s，ζh= 0. 8，ωh=16.85rad/s，對閥控對稱液壓缸進(jìn)行傳統(tǒng)的連續(xù)PID控制器設(shè)計(jì)時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

假設(shè)期望的系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為－ 10，－ 10，－3.48 ±j9，則可以求出PID 控制器參數(shù)KP=0.5646，KI=2.0548，KD=0.017。

為便于分析PIλDμ控制器參數(shù)λ 和μ 對系統(tǒng)的影響，在對上述閥控對稱液壓缸進(jìn)行PIλDμ控制器設(shè)計(jì)時(shí)，選取與連續(xù)PID 控制相同的控制參數(shù)KP，KI和KD。使用MATLAB 分別對閥控對稱液壓缸PIλDμ控制系統(tǒng)，在不同積分階次λ 和微分階次μ作用下的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行研究，具體如下:

當(dāng)積分階次λ=1，微分階次μ 分別取0.7，1 和1.3 時(shí)的單位階躍響應(yīng)如圖3 所示。

圖3 不同微分階次下階躍響應(yīng)

當(dāng)微分階次μ=1，積分階次λ 分別取0.7，1 和1.3 時(shí)的單位階躍響應(yīng)如圖4 所示。

圖4 不同積分階次下階躍響應(yīng)

λ=μ=1 和λ=0.3，μ=1.7 兩種情況下的單位階躍響應(yīng)如圖5 所示。

圖5 整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階PID 階躍響應(yīng)

仿真結(jié)果表明:在選擇相同Kp，KI和KD參數(shù)的情況下，隨著λ 或μ 的增大，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量減小的同時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度會(huì)有所減慢;微分階次μ在減小超調(diào)量方面的作用強(qiáng)于積分階次λ，而積分階次λ 在提高系統(tǒng)響應(yīng)速度方面的作用優(yōu)于微分階次μ;適當(dāng)減小積分階次，增大微分階次，可以達(dá)到如圖5 所示的理想控制效果。仿真結(jié)果不僅驗(yàn)證了PIλDμ控制比經(jīng)典PID 控制多了2個(gè)可調(diào)參數(shù)，可以更好地改善系統(tǒng)性能，還進(jìn)一步驗(yàn)證了數(shù)字實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階控制器方法的正確性與可行性。

6 結(jié)論

本文對分?jǐn)?shù)階控制器的模擬與數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了闡述與研究，并以閥控對稱液壓缸分?jǐn)?shù)階PID控制為例，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階控制性能的優(yōu)越性，以及分?jǐn)?shù)階控制器數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法的可行性。

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