劉曉靜, 張斯淇, 王 婧, 巴 諾, 王清才, 王 巖, 吳義恒, 郭義慶

(1. 吉林師范大學(xué) 物理學(xué)院, 吉林 四平136000; 2. 中國(guó)科學(xué)院 高能物理研究所, 北京 100049)

Yablonovitch[1]和John[2]各自提出了光子晶體(PC)和光子帶隙(PBG)結(jié)構(gòu)的概念, 并指出光子晶體的兩個(gè)基本性質(zhì): 光子帶隙和光子局域. 光子晶體是一種介電常數(shù)周期性排列的人工介質(zhì), 對(duì)光具有頻率選擇性, 即某些頻率的光不能在光子晶體中存在或傳輸. 光子晶體中介質(zhì)折射率周期性變化對(duì)光子的影響與半導(dǎo)體材料中周期性勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子的影響類似[3-4]. 光子晶體應(yīng)用廣泛, 如利用光子晶體可制作光反射鏡、 光濾波器、 零閾值的激光器和發(fā)光二極管等[5-8]. 計(jì)算光子晶體禁帶的方法包括傳輸矩陣法、 平面波展開(kāi)法、 時(shí)域有限差分法、 有限元法和多重散射法等[9-12].

本文提出一種新型函數(shù)光子晶體, 其介質(zhì)層的折射率為隨空間位置變化的周期函數(shù); 并給出光在函數(shù)光子晶體中的運(yùn)動(dòng)方程, 根據(jù)光學(xué)傳輸理論計(jì)算一維函數(shù)光子晶體的傳輸特性, 給出一維函數(shù)光子晶體的色散關(guān)系、 帶隙結(jié)構(gòu)和透射率. 計(jì)算結(jié)果表明, 利用函數(shù)光子晶體可設(shè)計(jì)出比傳統(tǒng)光子晶體更寬或更窄的帶隙結(jié)構(gòu).

1 光在一維函數(shù)光子晶體中的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于函數(shù)光子晶體, 介質(zhì)層的折射率為隨空間位置變化的周期函數(shù), 一維函數(shù)光子晶體對(duì)應(yīng)介質(zhì)層的折射率為n(z). 當(dāng)光在一維光子晶體中二維空間傳播時(shí), 其運(yùn)動(dòng)軌跡在xz平面上. 入射光波照射在A點(diǎn), 曲線AB和BC分別表示光的入射路徑和反射路徑, 如圖1所示.

圖1 光在函數(shù)光子晶體中任意層的傳播路徑Fig.1 Path of light transmission in arbitrary middle medium

由費(fèi)馬原理可得

(1)

在二維傳播空間中的線元ds為

(2)

(3)

方程(3)即為光在一維光子晶體中二維空間傳播的運(yùn)動(dòng)方程.

2 單介質(zhì)層中傳輸矩陣的推導(dǎo)

圖2 光在折射率為n(z)的介質(zhì)層中傳播時(shí)的電磁場(chǎng)分布Fig.2 Distribution of electromagnetic field when light transmits in the medium with refractive index n(z)

由電磁場(chǎng)在介質(zhì)分界面處的邊值關(guān)系可知, 在分界面的切向方向上電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是連續(xù)的, 因此在界面Ⅰ兩側(cè)切向方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為

(4)

在界面Ⅱ兩側(cè)切向方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為

(5)

電場(chǎng)強(qiáng)度Et1和Ei2分別為

(6)

(7)

其中xA和xB分別為A和B在x軸方向上的坐標(biāo)分量.

將方程(3)兩邊積分可得

(8)

(9)

將方程(9)代入方程(7)可得

Et1eiδb,

(10)

其中

同理可得

(11)

(12)

其中

(13)

3 一維函數(shù)光子晶體中傳輸矩陣的推導(dǎo)

由半個(gè)周期的M矩陣可得介質(zhì)層B和A構(gòu)成一個(gè)周期的M矩陣為

(14)

對(duì)N個(gè)周期的光子晶體特征方程為

(15)

其中M=MbMaMbMa…MbMa為一維函數(shù)光子晶體的傳輸矩陣.

4 一維函數(shù)光子晶體的反射率、 透射率和色散關(guān)系

根據(jù)第一個(gè)界面和第N+1個(gè)界面上的電磁分量方程, 由方程(15)可求出一維光子晶體的透射系數(shù)、 透射率、 反射系數(shù)和反射率, 分別為:

透射系數(shù)

(16)

透射率

T=t·t*;

(17)

反射系數(shù)

(18)

反射率

R=r·r*.

(19)

根據(jù)Bloch定理, 有

(20)

其中:d=b+a;k為Bloch波矢. 從而有

(21)

由方程(21)有非零解條件可得

(22)

方程(22)即為一維周期性結(jié)構(gòu)函數(shù)光子晶體的色散關(guān)系.

5 數(shù)值分析

本文選取函數(shù)光子晶體的折射率分布函數(shù)為

(23)

圖4 當(dāng)入射角θ=π/3, A1=30, A2=0.3時(shí)的函數(shù) 光子晶體色散關(guān)系和透射率曲線Fig.4 Dispersion relation and transmissivity of function photonic crystals when θ=π/3, A1=30 and A2=0.3

圖5 當(dāng)入射角θ=5π/12, A1=0.001, A2=1.3時(shí)的函數(shù) 光子晶體色散關(guān)系和透射率曲線Fig.5 Dispersion relation and transmissivity of function photonic crystals when θ=5π/12, A1=0.001 and A2=1.3

綜上,本文提出一種新型函數(shù)光子晶體,其折射率為空間位置函數(shù).由費(fèi)馬原理給出了光在一維函數(shù)光子晶體中的運(yùn)動(dòng)方程,并利用光的傳輸矩陣?yán)碚撚?jì)算了一維函數(shù)光子晶體的色散關(guān)系、帶隙結(jié)構(gòu)和透射率,得到了比常規(guī)光子晶體更寬或更窄的禁帶結(jié)構(gòu).

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