嚴(yán) 燕, 韓 笑

(1. 河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系, 鄭州 450046； 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

目前, 關(guān)于中性技術(shù)進(jìn)步與投資控制模型的研究已受到人們廣泛關(guān)注, 并取得了一些研究成果. 文獻(xiàn)[1]建立了宏觀經(jīng)濟(jì)中的投資-生產(chǎn)-再投資過程的發(fā)展模型, 得到了資本按使用期發(fā)布的變化方程, 并研究了該方程的存在唯一性, 得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件; 文獻(xiàn)[2]討論了不同中性技術(shù)進(jìn)步下的多要素生產(chǎn)函數(shù), 獲得了該類生產(chǎn)函數(shù)的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式, 并對(duì)技術(shù)進(jìn)步做了全新分類; 文獻(xiàn)[3]討論了C-D生產(chǎn)函數(shù)和CES生產(chǎn)函數(shù)模型, 并針對(duì)邊界條件用CES生產(chǎn)函數(shù)表示的投資控制模型進(jìn)行了分析, 證明了該投資控制模型解的存在性和唯一性; 文獻(xiàn)[4]討論了中性技術(shù)進(jìn)步條件下的生產(chǎn)函數(shù)模型, 即Hicks中性的具有資金服役時(shí)間的投資模型, 并證明了該投資模型解的存在唯一性; 文獻(xiàn)[5]給出了含有時(shí)滯的中性技術(shù)進(jìn)步的資產(chǎn)投資模型, 證明了該投資系統(tǒng)模型的等價(jià)方程, 同時(shí)得到了等價(jià)積分方程的表達(dá)式. 但上述討論只是針對(duì)確定系統(tǒng)進(jìn)行的研究, 而在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)體系中, 中性技術(shù)進(jìn)步與投資系統(tǒng)必然會(huì)受隨機(jī)因素的影響. 因此, 文獻(xiàn)[6-7]研究了帶有隨機(jī)因素的中性技術(shù)進(jìn)步與投資系統(tǒng)解的存在唯一性, 并給出了解的指數(shù)穩(wěn)定性. 本文在更一般的條件下證明隨機(jī)中性技術(shù)進(jìn)步與投資系統(tǒng)解的存在唯一性. 文獻(xiàn)[6]中的條件是本文的一種特殊情況.

考慮如下隨機(jī)中性技術(shù)進(jìn)步與投資系統(tǒng)模型：

(1)

(2)

本文將給出方程(1)解的存在唯一性的基本假設(shè)條件, 并證明了解的存在性和唯一性. 本文的一些記號(hào)參見文獻(xiàn)[6].

假設(shè)：

?x,y∈C, a.e.t,

?x,y∈C, a.e.t;

(H5) 存在常數(shù)α>0,λ,γ∈R,p>1, 使得下式成立:

?K∈V, a.e.t.

注1當(dāng)c(t)為常數(shù)且κ(u)=u時(shí), 條件(H2)和(H3)即為文獻(xiàn)[6]的假設(shè)條件.

2)Kt∈Ip(0,T;V)∩L2(Ω;C(0,T;H)),p>1,T>0;

3) 對(duì)?t∈[0,T],Kt以概率1滿足方程(2).

特別地, 當(dāng)T=∞時(shí),Kt稱為方程(2)的全局強(qiáng)解.

1 解的唯一性和存在性

定理1在假設(shè)(H1)～(H4)成立的條件下, 方程(2)的解在Ip(0,T;V)∩L2(Ω;C(0,T;H))上是唯一的.

為證明方程(2)解的存在性, 構(gòu)造迭代序列:

對(duì)整數(shù)n≥1,

(3)

對(duì)于?t∈(0,t1], 定義序列{χn(t)}n≥1如下：

利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明: 對(duì)?t∈(0,t1]及?m,n>1, 成立

0≤φm,n(t)≤χn(t)≤χn-1(t)≤…≤χ1(t).

(4)

證明: 用文獻(xiàn)[8]中引理4相同的證明方法. ?n≥2, 可得

由假設(shè)(H5)可得

定理2在假設(shè)(H1)～(H5)成立的條件下, 方程(2)在Ip(0,T;V)∩L2(Ω;C(0,T;H))上的解存在唯一.

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