李玉龍 何忠波 白鴻柏 郝慧榮 陶 帥 劉樹峰

軍械工程學(xué)院，石家莊，050003

0 引言

動(dòng)載體光電平臺(tái)測(cè)試技術(shù)是近年來發(fā)展起來的一門新興技術(shù)，具有機(jī)動(dòng)靈活、實(shí)時(shí)準(zhǔn)確、測(cè)量范圍廣、針對(duì)性強(qiáng)等特點(diǎn)。但是由于動(dòng)載體的振動(dòng)會(huì)使成像儀器產(chǎn)生動(dòng)態(tài)變形，使目標(biāo)成像像點(diǎn)產(chǎn)生移動(dòng)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)成像質(zhì)量劣化、成像對(duì)比度變差及圖像清晰度下降等問題［1］。所以，近年來動(dòng)載體光電平臺(tái)隔振技術(shù)備受關(guān)注，國內(nèi)外專家學(xué)者在這方面做了大量研究，設(shè)計(jì)了多種形式的動(dòng)載體隔振裝置，但這些隔振裝置的設(shè)計(jì)必須有精密的線位移測(cè)試試驗(yàn)設(shè)備、尤其是角位移測(cè)試試驗(yàn)設(shè)備作保障，以檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的隔振裝置的減振性能及可達(dá)到的穩(wěn)定精度。因此，研制光電平臺(tái)線位移、角位移的精密測(cè)試系統(tǒng)具有重要意義。

對(duì)角位移的測(cè)試通常采用目標(biāo)法，用滿足要求的分劃板作為目標(biāo)，觀察目標(biāo)成像情況，但此種方法只是定性分析，且人為因素影響較大，無法得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)；還可以采用編碼器法，在被測(cè)平臺(tái)與轉(zhuǎn)臺(tái)同步的情況下，同時(shí)記錄平臺(tái)和轉(zhuǎn)臺(tái)的數(shù)據(jù)，計(jì)算分析數(shù)據(jù)可得出穩(wěn)定精度，但此種方法很難實(shí)現(xiàn)兩者的完全同步；還有的采用激光自準(zhǔn)直測(cè)量法，但這種方法需要引入穩(wěn)定的激光光束，精密半透反射鏡等光學(xué)設(shè)備，成本高，使用較為復(fù)雜，僅適合在條件較好的光學(xué)實(shí)驗(yàn)室使用，不易推廣［2－5］。筆者將6個(gè)高精度直線微位移傳感器安裝在平臺(tái)適當(dāng)?shù)奈恢?，通過測(cè)試傳感器放置點(diǎn)一定方向的線位移，推導(dǎo)出平臺(tái)振動(dòng)線位移和角位移的測(cè)試方法。理論分析表明，該方法簡單有效，適用范圍廣，具有較大的推廣價(jià)值。

1 光電平臺(tái)測(cè)試系統(tǒng)六自由度位移的理論推導(dǎo)

1.1 坐標(biāo)系的選擇

將光電隔振平臺(tái)等效成如圖1所示模型，從其運(yùn)動(dòng)情況分析來看，為測(cè)得系統(tǒng)的6個(gè)自由度的位移量，需要建立以下幾個(gè)坐標(biāo)系：以平臺(tái)靜止時(shí)的質(zhì)心O為原點(diǎn)，與地基固連的慣性坐標(biāo)系OXYZ，即平臺(tái)慣性坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系各軸相對(duì)于地基固定不動(dòng)；以平臺(tái)質(zhì)心C為原點(diǎn)，與平臺(tái)固連的廣義坐標(biāo)系CXPYPZP，即平臺(tái)固連坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系相對(duì)平臺(tái)自身坐標(biāo)系固定；以平臺(tái)平面一點(diǎn)S為原點(diǎn)，與OXYZ平行的SXSYSZS傳感器平面坐標(biāo)系，三坐標(biāo)系示意圖如圖1所示。顯然，當(dāng)物體僅受到重力作用時(shí)，OXYZ、CXPYPZP這兩個(gè)坐標(biāo)系重合。

圖1 平臺(tái)坐標(biāo)系

1.2 方向余弦變換

平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)可用平臺(tái)相對(duì)于慣性軸的位移來描述，平臺(tái)運(yùn)動(dòng)后質(zhì)心C在慣性坐標(biāo)系中的坐標(biāo)假設(shè)為（xC，yC，zC），剛體繞XP、YP、ZP軸順次轉(zhuǎn)過α、β、γ，如圖2所示。

圖2 坐標(biāo)系變換

不同的坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)不同的基向量組，不同基之間的坐標(biāo)變換可通過方向余弦矩陣來建立。假設(shè)平臺(tái)為剛體，如果坐標(biāo)系間僅是平動(dòng)，而無轉(zhuǎn)動(dòng)（α＝β＝γ＝0），則只需要對(duì)變量作平移變換，即可測(cè)出線位移；若僅繞中心O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，且O點(diǎn)與C點(diǎn)重合，順次繞X、Y、Z三軸轉(zhuǎn)動(dòng)到XP、YP、ZP的過程可以通過三次分轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，每次分轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)一個(gè)方向余弦矩陣（即Aα、Aβ、Aγ），可表示為

連續(xù)三次利用轉(zhuǎn)動(dòng)組合公式，可以得到臺(tái)體繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向余弦矩陣A為

若高精度的光電平臺(tái)隔振系統(tǒng)繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度α、β、γ非常小，可取近似值cosα≈cosβ≈cosγ≈1，sinα≈α，sinβ≈β，sinγ≈γ。研究小平移和小轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)有限轉(zhuǎn)動(dòng)的交換定理，轉(zhuǎn)動(dòng)次序是可以交換的，即轉(zhuǎn)動(dòng)最后位置與轉(zhuǎn)動(dòng)分量的順序無關(guān)，并且繞平臺(tái)軸旋轉(zhuǎn)的角度和繞慣性軸旋轉(zhuǎn)的角度是相等的［6］。交換定理體現(xiàn)在數(shù)學(xué)表達(dá)式上就是忽略坐標(biāo)變換方向余弦陣的高階項(xiàng)。因此，可以將方向余弦陣簡化為

如果物體內(nèi)有一點(diǎn)M，在慣性坐標(biāo)系OXYZ中坐標(biāo)為（xM，yM，zM），在CXPYPZP坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xP，yP，zP），則兩者有如下關(guān)系：

由于傳感器放置于平臺(tái)上平面，測(cè)得的位移變化量是相對(duì)于平臺(tái)平面的值。假設(shè)平臺(tái)上平面與OXYZ坐標(biāo)系的Z軸交點(diǎn)坐標(biāo)為S（0，0，h），以S為原點(diǎn)，建立與OXYZ平行的SXSYSZS傳感器平面坐標(biāo)系。要得到平臺(tái)關(guān)于坐標(biāo)系OXYZ的六自由度位移，首先需要將傳感器信號(hào)通過平移和余弦轉(zhuǎn)動(dòng)陣轉(zhuǎn)換到CXPYPZP坐標(biāo)系中，然后再進(jìn)行一次坐標(biāo)平移轉(zhuǎn)換到OXYZ坐標(biāo)系。還以M 點(diǎn)為例，設(shè)M 在SXSYSZS坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xS，yS，zS），則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程為

其中，（xC，yC，zC）和α、β、γ 可以通過傳感器測(cè)得信號(hào)變換后得到，h可以通過系統(tǒng)辨識(shí)得到，M點(diǎn)在平面坐標(biāo)系SXSYSZS的坐標(biāo)（xS，yS，zS）表示M點(diǎn)在平面中的位置，可以通過直接測(cè)量M點(diǎn)在平面中相對(duì)S點(diǎn)的尺寸得到。

1.3 平臺(tái)六自由度位移的推導(dǎo)計(jì)算

要測(cè)得相對(duì)于慣性坐標(biāo)系OXYZ的三軸平動(dòng)和繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)位移，6個(gè)傳感器均安裝于平臺(tái)上平面上（圖3）。根據(jù)以上分析，首先需要確定6個(gè)傳感器相對(duì)于平臺(tái)上平面坐標(biāo)系SXSYSZS及相對(duì)于CXPYPZP的位置，然后向廣義坐標(biāo)系OXYZ作平移，從而得出系統(tǒng)相對(duì)于固定慣性坐標(biāo)原點(diǎn)的有效信號(hào)值。設(shè)坐標(biāo)系CXPYPZP到SXSYSZS坐標(biāo)系的六自由度平移量、轉(zhuǎn)動(dòng)角分別為xPS、yPS、zPS、α、β、γ，其中，Z 軸向上為正，Y 軸指向傳感器5方向?yàn)檎▓D3）。

圖3 平臺(tái)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

以傳感器Sy1點(diǎn)的坐標(biāo)為例，其在平臺(tái)固連坐標(biāo)系CXPYPZP中的坐標(biāo)Sy1（xy1，yy1，zy1）和固定慣性坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)（x，y，z）間具有如下關(guān)系：

（xPS，yPS，zPS）表 示 CXPYPZP上 任 一 點(diǎn) 到SXSYSZS坐標(biāo)系的平移量，OXYZ與SXSYSZS之間只有Z軸方向上的偏移量h。則坐標(biāo)系SXSYSZS到坐標(biāo)系OXYZ的坐標(biāo)偏移量為

其中，（x0，y0，z0）表示Sy1點(diǎn)在SXSYSZS坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，當(dāng)系統(tǒng)處于初始狀態(tài)下時(shí)，可以認(rèn)為坐標(biāo)系CXPYPZP與坐標(biāo)系OXYZ重合，可以認(rèn)為

由于一般的傳感器只能測(cè)試一個(gè)方向上的線位移，因此每個(gè)傳感器只能測(cè)得δ的一個(gè)元素值。將每一個(gè)傳感器位置坐標(biāo)代入上述坐標(biāo)變換方程，就可以得到一個(gè)包含相對(duì)于坐標(biāo)系OXYZ的6個(gè)未知量的方程，只要6個(gè)傳感器布置合理，就可以得到不相關(guān)的6個(gè)方程組，聯(lián)立求解可得到平臺(tái)的位移。以第一個(gè)傳感器位置Sy1點(diǎn)為例，坐標(biāo)變換關(guān)系式中，有效方程只有一個(gè)，即

同理，可以得到其余5個(gè)傳感器位置的位移方程：

其中，Δy1、Δz2、Δy3、Δz4、Δx5、Δz6分別表示各傳感器所測(cè)得的位移，α、β、γ表示3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，下標(biāo)x、y、z表示傳感器方向，數(shù)字1～6表示傳感器序號(hào)，包含3個(gè)垂直方向和3個(gè)水平方向共6個(gè)傳感器。傳感器位置相對(duì)于平臺(tái)固連坐標(biāo)系的坐標(biāo)（xP，yP、zP）是固定的，傳感器在該坐標(biāo)系中的位置最直觀、最精確，同時(shí)也可避免重心偏移帶來的運(yùn)算誤差，所以假定坐標(biāo)系CXPYPZP是“定坐標(biāo)系”，在該坐標(biāo)系下傳感器Sz2、Sz4、Sz6的坐標(biāo)分別為（l2x，l2y，lz）、（l4x，－l4y，lz）、（－l6x，－l6y，lz），傳感器 Sy1、Sy3、Sx5的坐標(biāo) 分別為 （－l1x，l1y，lz）、（l3x，l3y，lz）、（l5x，－l5y，lz）。 初 始狀態(tài)下，相對(duì)于OXYZ的傳感器坐標(biāo)與在CXPYPZP中的坐標(biāo)重合。由以上坐標(biāo)變換可知，坐標(biāo)平移會(huì)改變剛體中某點(diǎn)相對(duì)不同坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)，但不改變剛體中任意點(diǎn)的位移量和偏轉(zhuǎn)角度。由于OXYZ可以由SXSYSZS平移（0，0，－lz）得到，所以，在任意由OXYZ坐標(biāo)系平移得到的坐標(biāo)系中，傳感器信號(hào)所表示的位置變化量是不變的。在初始情況下，以SXSYSZS為慣性坐標(biāo)系時(shí)，按照以上安裝方法，Sx5、Sz2的橫坐標(biāo)為零，所有傳感器的Z坐標(biāo)為零，即

坐標(biāo)變換時(shí)，由于受傳感器放置方向的限制，得出的Sy3點(diǎn)相對(duì)于慣性坐標(biāo)系SXSYSZS的位移量與傳感器測(cè)得信號(hào)是反向的，設(shè)Sy1、Sz2、Sy3、Sz4、Sx5、Sz6各傳感器測(cè)試的信號(hào)值為S′y1、S′z2、S′y3、S′z4、S′x5、S′z6，那么S′y3＝－Δy3，將式（9）～式（11）聯(lián)立可得

顯然，通過直線位移傳感器的信號(hào)可測(cè)出傳感器安裝點(diǎn)的位移，可利用式（14）推導(dǎo)得到平臺(tái)三軸向的線位移和繞三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移。

2 測(cè)試系統(tǒng)傳感器的選用及安裝位置

以某機(jī)載光電平臺(tái)為例進(jìn)行研究，其要求如下：振動(dòng)沖擊的加速度為5g（20～500Hz）；無角位移減振器三向振動(dòng)衰減率不小于20dB；最大角位移小于40μrad（曝光時(shí)間內(nèi)）；光學(xué)角位移測(cè)量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)測(cè)量精度小于10μrad。由于曝光時(shí)間短，振動(dòng)速度大，測(cè)試精度要求高，傳感器需要具有寬頻帶、高精度、高靈敏度的性能。查閱傳感器參數(shù)可知，中國地震局工程力學(xué)研究所研制的2000－2型拾震器，通頻帶為0.5～1000Hz，測(cè)試位移靈敏度為0.01μm，量程為高速時(shí)500mm，中速時(shí)200mm，低速時(shí)20mm，可以滿足本系統(tǒng)要求。

2.1 傳感器的安裝位置分析

由式（14）可知，傳感器確定以后，影響系統(tǒng)測(cè)試精度的主要因素是傳感器信號(hào)是否能反映安裝點(diǎn)實(shí)際位移情況，因此確定傳感器安裝位置十分重要，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

（1）傳感器的位置要在信號(hào)反應(yīng)最敏感的地方，也是在測(cè)試方向上輸出能量最大的點(diǎn)上，不能放置在節(jié)點(diǎn)位置，以防止傳感器測(cè)不到理想信號(hào)，甚至測(cè)不到信號(hào)［7］。

（2）為了減小傳感器的測(cè)量誤差，傳感器一般沿X軸和Y軸或垂直于X軸和Y軸方向放置。隔振平臺(tái)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)原點(diǎn)選在平臺(tái)重心的位置，而重心一般不在測(cè)量信號(hào)的平臺(tái)平面上，所以當(dāng)傳感器測(cè)量水平、垂直信號(hào)及沿X軸和Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳感器位置與平臺(tái)位置的偏差不會(huì)很大。但是，當(dāng)測(cè)量繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移時(shí)，由于繞軸的真實(shí)位移垂直于測(cè)點(diǎn)到原點(diǎn)的直線，要測(cè)到真實(shí)的繞Z軸的角位移，一般需要將兩個(gè)傳感器對(duì)稱放置在X軸和Y軸上，如傳感器Sy1、Sy3［8］。

（3）為了使傳感器的布置盡量不影響平臺(tái)重心的位置，需要盡可能地在使測(cè)試信號(hào)較大的同時(shí)，將傳感器對(duì)稱布置［9］。

所以，6個(gè)傳感器的安裝位置如圖3所示。

2.2 影響系統(tǒng)測(cè)試精度的因素與使用范圍分析

通過以上分析及推導(dǎo)公式中應(yīng)用的數(shù)據(jù)可知，影響系統(tǒng)測(cè)試精度的因素主要有：①傳感器測(cè)試信號(hào)的精度，傳感器的測(cè)試精度越高，系統(tǒng)的測(cè)試精度也越高，反之越低［9］；② 盡管理想情況下，系統(tǒng)6個(gè)傳感器測(cè)試數(shù)據(jù)反映測(cè)試點(diǎn)的真實(shí)位移，且計(jì)算推導(dǎo)時(shí)各測(cè)試值相互關(guān)聯(lián)，但實(shí)際中，由于傳感器存在個(gè)體差異，所以測(cè)試精度必然會(huì)受到影響；③傳感器采集關(guān)于平臺(tái)平面對(duì)稱的6個(gè)點(diǎn)的位移，安裝位置的精度直接決定計(jì)算的真實(shí)情況，所以應(yīng)盡量保證傳感器安裝位置精度；④其他條件相同時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度越小，測(cè)試的精度越高（方向余弦近似轉(zhuǎn)化時(shí)的近似計(jì)算誤差越小），所以本測(cè)試系統(tǒng)適合微隔振平臺(tái)，對(duì)于角位移較大的隔振平臺(tái)誤差較大。

其中，傳感器的個(gè)體差異不可避免；傳感器放置位置精度越高越好，但誤差無法避免。若假設(shè)兩者都為理想狀態(tài)，只有傳感器的精度和平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的大小對(duì)平臺(tái)測(cè)試精度有影響。選定的傳感器測(cè)試精度（靈敏度）為0.01μm，以測(cè)試?yán)@Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度的Sy1和Sy3傳感器為例（無繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，即α＝β＝0），可以測(cè)得的最小位移為0.01μm。由式（12）得

圖4 線位移與角位移偏移量關(guān)系

3 結(jié)語

本文根據(jù)某課題對(duì)動(dòng)載體光電平臺(tái)隔振效果驗(yàn)證的需求，設(shè)計(jì)了一種用直線位移傳感器測(cè)試平臺(tái)動(dòng)態(tài)線位移、角位移的方法，分析了傳感器參數(shù)與測(cè)試系統(tǒng)精度的相互關(guān)系。該方法利用剛體動(dòng)力學(xué)的基本原理建立平臺(tái)慣性坐標(biāo)系、平臺(tái)固連坐標(biāo)系和傳感器平面坐標(biāo)系，再通過坐標(biāo)變換建立各坐標(biāo)系的相互關(guān)系，推導(dǎo)出傳感器測(cè)試信號(hào)與平臺(tái)線位移、角位移的關(guān)系式。測(cè)試時(shí)，僅需要測(cè)得各傳感器的信號(hào)值，就可以計(jì)算平臺(tái)的6個(gè)自由度的位移，方便有效，操作簡單。選用寬頻域傳感器可實(shí)時(shí)測(cè)試高頻率振動(dòng)下平臺(tái)的位移參數(shù)，對(duì)高頻振動(dòng)環(huán)境下平臺(tái)線位移，尤其是角位移的測(cè)試有較大的應(yīng)用價(jià)值。

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