賀紅林 劉文光 汪 洋

1.南昌航空大學，南昌，330063 2.中國科學技術大學，合肥，230026

0 引言

機器人軌跡跟蹤控制的基本要求是精密性和魯棒性，但因機器人是高度非線性強耦合系統(tǒng)，要實現(xiàn)上述目標并非易事，對于直接驅動機器人(direct drive robot，DDR)則更是如此，這是因為在DDR中并無減速機構可對其外部擾動與關節(jié)間的非線性耦合進行衰減。要實現(xiàn)DDR精密控制就必須針對其非線性動力學特性設計控制器，設計方法有兩種:一是利用線性化模型替代DDR的非線性模型;二是采用反饋線性化法將機器人模型進行線性化［1］。前者完全忽略關節(jié)間的耦合，控制精度低;后者根據機器人模型并利用反饋線性化去除關節(jié)間的動力耦合，計算力矩(CT)法即為此類方法。在機器人精確建模的前提下，CT法可實現(xiàn)精密軌跡跟蹤。然而機器人的精確模型卻很難得到，一方面是因DDR臂桿系統(tǒng)的實際參數(shù)，如臂桿質心位置、轉動慣量和負載難以確知，存在參數(shù)不確定性;另一方面，機器人的外部擾動和摩擦過程更難把握，存在非參數(shù)不確定性。DDR控制的關鍵就在于消除兩類不確定性。目前針對前者的主要措施是自適應技術;針對后者則是通過提高系統(tǒng)魯棒性來容忍它。在上述解決方法的框架下，人們提出了多種算法，其中較典型的是各種基于CT的自適應法，這些方法兼具CT與自適應控制的優(yōu)點，但它們或要求加速度可測或要求機器人慣性陣可逆，從而影響了其應用［2-4］。

近年來人們將人工神經網絡(ANN)引入機器人，推出了許多新的控制方法［5-8］。這些方法大多利用ANN逼近機器人的整個動力學模型，也有少數(shù)方法保留機器人標稱模型而采用ANN補償模型的不確定部分，但它們或要求慣性陣精確已知，或要求加速度反饋，有的甚至還要求ANN上的權值具有已知上界。這些方法通常都采用了多層前饋ANN，計算量大、實時性差、不利于在線實現(xiàn)。針對這些問題，本文在DDR上引入函數(shù)鏈神經網絡(functional link neural network，F(xiàn)LNN)與PD復合的方法并利用FLNN逼近機器人的模型，實現(xiàn)了機器人的精密控制。

1 機器人動力學模型

1.1 運動方程

DDR的臂桿系統(tǒng)由多根連桿構成，系統(tǒng)的各關節(jié)均通過直接驅動電機進行驅動。對于自由度為n的 DDR，其動力學模型可根據 Euler－Lagrange 方程推導出［9］，即

式中，pc、pv分別為關節(jié)系統(tǒng)的庫侖摩擦力矩和黏性摩擦力矩;ps為黏滯 － 滑動摩擦矢量;ψi(i=1，2，…，n)為常系數(shù)。

對于直接驅動機器人而言，pc、pv、ps具有較大的不確定性。

1.2 特性與假定

作為拉格朗日系統(tǒng)，DDR的動力學模型存在一定的結構特性。在設計機器人控制器時需利用這些特性及下面的合理性假定。

特性1 D(θ)具有一致有界，即總存在正常數(shù) μ2＞ μ1＞ 0，使 μ1≤ ‖D(θ)‖ ≤ μ2。

假定1 機器人的重力矩 G(θ)有界，即‖G(θ)‖ ≤ gB，其中，gB為常數(shù)。

2 控制器的設計

2.1 控制系統(tǒng)結構

為了設計機器人精密軌跡跟蹤控制器，有必要引入廣義軌跡跟蹤誤差，即令

式中，θd∈Rn為機器人在關節(jié)空間內的期望軌跡;e∈Rn為關節(jié)位置偏差為角速度偏差，λ∈Rn×n為適當取定的常值正定陣。

機器人的軌跡跟蹤控制器設計就是要確定控制力矩τ的適當形式，使機器人的實際運行軌跡θ(t)→θd(t)。引入了廣義跟蹤誤差后，機器人控制即是要使

為實現(xiàn)關節(jié)系統(tǒng)的控制，本文在機器人上引入一個由PD控制器和神經網絡組成的復合控制器，并為其構建圖1所示的控制系統(tǒng)。根據該系統(tǒng)的結構，并利用式(1)和式(2)中的關系，可推導出該系統(tǒng)的誤差動力學方程

圖1 機器人的神經網絡控制系統(tǒng)

2.2 控制方案

根據圖1給出的系統(tǒng)控制邏輯，可以寫出該機器人關節(jié)控制力矩的輸出形式［8］

其中，τL為線性控制器的輸出;KL∈Rn×n為適當取定的正定增益陣;τN為函數(shù)鏈神經網絡的輸出，該網絡拓撲結構由圖2給出，其輸出形式為

式中，W為網絡的理想權值陣;φ(·)∈Rl為神經元激活函數(shù);l為隱層節(jié)點數(shù)。

圖2 函數(shù)鏈神經網絡

本文引入FLNN的目的在于對Fs(xs)進行估值。由于FLNN中只有W可調，故它不像多層前饋網絡那樣具有廣泛的函數(shù)逼近能力，但FLNN結構簡單、運行效率高，特別是當φ(·)取定為基函數(shù)向量時，它同樣具有較強的函數(shù)逼近能力。φ(·)成為基函數(shù)的條件是:設D是關于機器人關節(jié)運動狀態(tài)變量的xs上的列緊子集，映射φ:D→Rn有界可積。若存在有限維數(shù) FLNN，使得C2n(D)內的函數(shù)可表示成式(7)形式且使網絡輸出在C2n(D)中是稠密的。那么φ(·)為C2n(D)中的一組基。

如果φ(·)取為基函數(shù)，則對于機器人動力學函數(shù)Fs(xs)∈C2n(D)，總存在一定拓撲形式的FLNN，該FLNN能以給定精度εN對Fs(xs)進行逼近，即總存在以下關系

式中，ε為函數(shù)估值誤差。

FLNN的基函數(shù)可取sigmoid函數(shù)或徑向基函數(shù)。本文根據基函數(shù)條件自行設計基函數(shù)。

2.3 權值學習算法

FLNN控制器設計的關鍵在于其權值學習律的確定。網絡權值的學習不僅應使系統(tǒng)跟蹤誤差足夠小，而且應保證權值的有界性。為了設計權值學習律，構建如下Lyapunov能量函數(shù):

將式(10)對時間進行求導，可得

將式(9)、式(8)、式(6)、式(4)代入式(11)并考慮機器人的斜對稱特性，可得

在式(12)中，若令網絡權值按下式調整:

這里的ρ是適當取定的較小正數(shù)。這樣便可將式(12)將改寫成以下形式:

由于式(14)中的方陣求跡運算滿足

因此，若將式(15)代入式(14)則將得到

式中，KL_min為矩陣KL中的最小元素的值;dB為系統(tǒng)外部擾動量的上界。

式(16)表明，一旦軌跡跟蹤誤差越界，即當

或當網絡權值偏差出現(xiàn)以下情況:

2.4 權值的初始化

網絡權值的初始化是FLNN控制器設計中必須考慮的重要問題。但本文的控制系統(tǒng)按式(6)的形式確定機器人的控制作用時，其網絡的初始權值可全部設為0。之所以可作這種簡單處理，主要是因為在本文的系統(tǒng)中，除了設置有FLNN控制器之外，還引入了一個PD線性反饋補償器。在系統(tǒng)啟動工作初期，由于網絡權值為0，因此FLNN基本上不起控制作用，此時系統(tǒng)通過PD控制器實施控制，但FLNN在經過短暫的權值學習后將逐漸發(fā)揮作用，并將最終主導機器人的控制。

2.5 網絡功能分解

式中，xD、xH、xG、xF分別表示各 FLNN子網的輸入;εD、εH、εG、εF表示各子網的估值誤差。

當采用子網對Fs(x)進行估值時，估值誤差即為各子網估值誤差的和。

2.6 控制實現(xiàn)結構

求解式(16)便得到系統(tǒng)的仿真實現(xiàn)形式:

3 控制仿真實驗

3.1 仿真對象

為驗證上述控制算法的可行性及有效性，針對圖3所示機器人臂桿系統(tǒng)進行了控制仿真。該系統(tǒng)由4根臂桿組成，自由度為2。圖3標示出桿i的桿長li、質量mi、質心位置lci以及繞自身質心的轉動慣量Ii。該機器人的運動方程為

圖3中各臂桿的質心位置及其轉動慣量無法確知，即動力學模型中的 σx1、σx2、σx3、σx4、σx5存在一定不確定性。但在系統(tǒng)仿真時，可設定其真值為

圖3 仿真實驗用機器人臂桿系統(tǒng)

仿真用機器人的摩擦特性參數(shù)的真值、目標軌跡θd(t)和外力矩擾動τd分別按下式取定:

3.2 子網的基函數(shù)設計

根據式(18)中各動力學項的結構，可以設計出其相應的FLNN子網的拓撲及基函數(shù)結構。本文設計的用于逼近Fs(x)中4個分量的子網的結構如圖 4所示(? 表示乘法器)，圖中，ζ=［ζ1ζ2］，對應的基函數(shù)向量分別為

圖4 二自由度直接驅動機器人的FLNN子網

3.3 仿真結果

圖6給出了按系統(tǒng)標稱模型(σ0=［6 0.2 4 13 4］T)進行控制仿真時的結果，不難看出雖然該系統(tǒng)動力學模型的標稱值與真值之間的差距較大，但按模型的標稱值和真值進行仿真時，其軌跡跟蹤精度并無多大差別，之所以如此，主要是因為系統(tǒng)能通過調整權值，較好地減小臂桿系統(tǒng)的參數(shù)誤差所帶來的影響。

圖7給出了系統(tǒng)無外部擾動時的FLNN－PD控制結果。從圖7可見，無擾動時的系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差與系統(tǒng)存在擾動時的跟蹤誤差比較接近，它說明該復合控制算法對系統(tǒng)的外部擾動具有較好的魯棒性。

圖8給出了機器人系統(tǒng)在PD控制器單獨作用時的控制結果，此時系統(tǒng)的轉角誤差和角速度誤差均比較低。造成這種情況的原因主要是因為線性的PD反饋控制器的參數(shù)自適應能力較差，故無法很好地減小系統(tǒng)參數(shù)不確定性所引入的控制誤差。

圖9給出了系統(tǒng)在FLNN單獨控制時的結果，從圖可見，其轉角誤差和角速度誤差比采用FLNN－PD時稍低一些，但卻明顯高于單獨采用PD時的控制精度。

圖5 存在外部擾動時的FLNN-PD控制結果

圖6 基于系統(tǒng)標稱模型仿真的結果

圖7 不存在外部擾動時的FLNN-PD控制結果

4 結語

針對直接驅動機器人動力學模型的高度非線性、強耦合及其存在的參數(shù)和非參數(shù)不確定性，為了實現(xiàn)機器人的精密軌跡跟蹤控制，本文引入函數(shù)鏈神經網絡對機器人的非確定性動力學量進行逼近，并在此基礎上構建出了基于FLNN－PD控制器的機器人雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。通過復合控制結構來減小機器人的非確定性動力學量帶來的控制誤差，以提高系統(tǒng)的控制精度。文中推導了該系統(tǒng)的控制算法，給出了函數(shù)鏈神經網絡控制器的權值學習律，并從理論上證明了FLNN－PD控制器的收斂性及控制系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂性和趨零性。對機器人系統(tǒng)進行了控制仿真，結果顯示，采用FLNN－PD控制器可使系統(tǒng)的轉角誤差和角速度誤差控制在±0.002rad和±0.1rad/s之內，并且該控制器對系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)變化及外部擾動具有較強的自適應性和魯棒性。研究表明，本文提出的FLNN－PD控制方案既能實現(xiàn)機器人的精密軌跡跟蹤，又便于系統(tǒng)的實現(xiàn)，它是一種頗具應用前景的機器人控制方法。

圖8 系統(tǒng)單獨采用PD時的控制結果(有擾動)

圖9 有擾動且單獨采用FLNN控制時的結果

［1］譚偉.直接驅動機器人高性能控制器研究［D］.上海:上海交通大學，2000.

［2］Colbaugh R，Glass K.Adaptive Tracking Control of Manipulators:Theory and Experiments［C］//1994 IEEE International Conference on Robotics and Automation.San Diego，CA，USA:2292-2299.

［3］唐曉騰，陳力.自由漂浮雙臂空間機器人基聯(lián)坐標系內的一種增廣變結構魯棒控制方法［J］.中國機械工程，2008，19(19):2278-2282.

［4］張文輝，齊乃明，尹洪亮.不確定機器人的神經網絡軌跡控制［J］.自動化與儀表，2010，22(5):22-25.

［5］Cheah C C，Slotine J J E.Adaptive Tracking Control for Robots with Uncertainties in Kinematic，Dynamic and Actuator Models［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51(6):1024-1029.

［6］Barambones O，Etxebarra V.Robust Neural Control for Robotic Manipulators［J］.Automatica，2002，38(2):235-242.

［7］Patino H D，Carelli R，Kuchen B R.Neural Networks for Advanced Control of Robot Manipulators［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2002，13(2):343-354.

［8］Patino D，Liu D.Neural Network－based Model Reference Adaptive Control System［J］.IEEE Transactions on System，Man，and Cybernetics，Part B:Cybernetics，2000，30(1):198-204.

［9］Jiang Zhaohui，Ishita Taiki.A Neural Network Controller for Trajectory Control of Industrial Robot Manipulators［J］.Journal of Computers，2008，3(8):1-8.

［10］De Wit C C.Robust Control for Servo－mechanism under Inexact Friction Compensation［J］.Automatics，1993，29(3):757-761.