印 松

上海電機(jī)學(xué)院，上海，200245

0 引言

從運(yùn)動(dòng)形式來(lái)看，踝關(guān)節(jié)可視為球鉸，具有繞3個(gè)垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，即背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻、內(nèi)旋/外旋。目前臨床使用的踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，功能單一，僅提供繞1個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(背伸/跖屈)，因此康復(fù)訓(xùn)練并不全面。從關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的原理來(lái)看，肌肉群共同作用牽引骨骼產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，這與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作方式非常相似。此外，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛性、高承載能力等特點(diǎn)，且能以緊湊的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)多個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。因此，采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練具有廣闊的應(yīng)用前景。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了廣泛的應(yīng)用研究。美國(guó)新澤西州立大學(xué)研制的Rutgers踝關(guān)節(jié)康復(fù)訓(xùn)練器借助于虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)來(lái)幫助患者實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練［1］。由于其主體結(jié)構(gòu)采用了氣壓驅(qū)動(dòng)的六自由度Stewart平臺(tái)，除帶來(lái)噪聲影響之外，還提高了整個(gè)設(shè)備的復(fù)雜性和成本。Dai等［2-4］所開(kāi)發(fā)的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人采用了3－SPS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)。Liu等［5-6］提出的踝關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人則采用了3－RSS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)。上述兩類機(jī)構(gòu)本質(zhì)相同，由于中間球關(guān)節(jié)的約束作用，該類機(jī)構(gòu)具有與踝關(guān)節(jié)相同的球面運(yùn)動(dòng)特征，但其轉(zhuǎn)動(dòng)中心與踝關(guān)節(jié)并不重合，因此可能引起踝關(guān)節(jié)非預(yù)期的運(yùn)動(dòng)。通過(guò)分析現(xiàn)有踝關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人的不足，邊輝等［7］提出一種新型的2－RRR/UPRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)，該機(jī)構(gòu)具有遠(yuǎn)程回轉(zhuǎn)中心，可保證機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)中心與踝關(guān)節(jié)重合。這種機(jī)構(gòu)采用了非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其回轉(zhuǎn)中心固定，不能滿足具有不同關(guān)節(jié)尺寸用戶的使用需求。

本文采用基于3－PUS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的康復(fù)機(jī)器人來(lái)輔助病人實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練，通過(guò)踝關(guān)節(jié)到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)映射分析，以解決機(jī)器人回轉(zhuǎn)中心與踝關(guān)節(jié)中心不重合的問(wèn)題，為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的有效控制提供了依據(jù)。

1 踝關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人設(shè)計(jì)

如圖1所示，人體踝關(guān)節(jié)可視為1個(gè)具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度(背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻、內(nèi)旋/外旋)的球關(guān)節(jié)。因此，為了全面、有效地實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)訓(xùn)練，機(jī)器人應(yīng)具備球面運(yùn)動(dòng)的能力。傳統(tǒng)的踝關(guān)節(jié)康復(fù)儀僅提供單個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，顯然不能滿足踝關(guān)節(jié)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的需要。本文采用3－PUS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)踝關(guān)節(jié)康復(fù)機(jī)器人。

圖1 踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)模型

假定并聯(lián)機(jī)構(gòu)滿足:①機(jī)構(gòu)原動(dòng)件數(shù)等于機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器的自由度，即原動(dòng)件數(shù)為3，機(jī)構(gòu)既非欠驅(qū)動(dòng)也非冗余驅(qū)動(dòng);②每個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈僅含1個(gè)原動(dòng)件，即分支運(yùn)動(dòng)鏈數(shù)為3;③各分支運(yùn)動(dòng)鏈具有相同的結(jié)構(gòu)形式;④機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)之間通過(guò)1個(gè)S副(球面副)運(yùn)動(dòng)鏈連接，以保證機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)繞定點(diǎn)(球面副中心點(diǎn))的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

滿足以上條件的球面運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖2所示。假定各構(gòu)件之間通過(guò)單自由度的基本副連接，Kutzbach Grubler自由度計(jì)算公式為

化簡(jiǎn)得

圖2 球面運(yùn)動(dòng)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)

由于n'和g'皆為整數(shù)，因此可取n'=5，g'=6，即該類球面運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的分支運(yùn)動(dòng)鏈需包含6個(gè)單自由度簡(jiǎn)單副或等價(jià)的多自由度運(yùn)動(dòng)副，這里選用PUS型運(yùn)動(dòng)支鏈。然而，并聯(lián)機(jī)構(gòu)屬于復(fù)雜空間機(jī)構(gòu)，必須考慮各運(yùn)動(dòng)鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)所產(chǎn)生約束的類型、方向等因素對(duì)自由度計(jì)算公式所產(chǎn)生的影響［8］。旋量理論在分析機(jī)構(gòu)自由度的數(shù)目及自由度的具體性質(zhì)方面有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，下面采用旋量理論來(lái)分析3－PUS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。

圖3所示的3－PUS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)之間通過(guò)3個(gè)對(duì)稱分布的PUS運(yùn)動(dòng)支鏈連接。包含球鉸O的中間支撐鏈上下端O1、O2分別與動(dòng)靜平臺(tái)中心固定連接。下角點(diǎn)A1、A2、A3和上角點(diǎn)C1、C2、C3分別均勻布置在半徑為r1和r2的圓周上。移動(dòng)副P(pán)匯交于點(diǎn)D，且與靜平臺(tái)形成夾角θ。U副第一回轉(zhuǎn)軸線與靜平臺(tái)平行且與P副方向垂直。在O點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系OXYZ，X軸位于O1A1O2平面內(nèi)且與靜平臺(tái)平行，Z軸豎直向上。初始狀態(tài)，動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)平行且點(diǎn)O、A1、O1、C2和O2位于同一平面內(nèi)。

圖3 3-PUS/S型并聯(lián)機(jī)構(gòu)

式中，z為Z軸的單位方向向量。

式中，u1為桿B1C1的單位方向向量;l為B1C1的長(zhǎng)度，定值。

球鉸等價(jià)于3個(gè)軸線互相正交的轉(zhuǎn)動(dòng)副，其相關(guān)向量可視為

則可得該運(yùn)動(dòng)支鏈運(yùn)動(dòng)旋量系:

式中，b1為點(diǎn)B1的位置向量;r1為靜平臺(tái)外接圓的半徑;h1為球鉸中心O到靜平臺(tái)的距離;L1為移動(dòng)副的位移;c1=(xc，yc，zc)為點(diǎn) C1的位置向量。

從式(7)可看出，該旋量系線性無(wú)關(guān)，即

根據(jù)互易螺旋理論，該運(yùn)動(dòng)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)無(wú)約束作用。對(duì)其他兩運(yùn)動(dòng)支鏈進(jìn)行分析可得到同樣的結(jié)論，即動(dòng)平臺(tái)在PUS型運(yùn)動(dòng)支鏈的作用下，可存在任意形式的運(yùn)動(dòng)。因此，添加帶球鉸的中間支撐鏈即可限制動(dòng)平臺(tái)的平移運(yùn)動(dòng)。

由上面的分析可知，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)僅存在繞定點(diǎn)的球面運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)方式與踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方式相同。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

對(duì)運(yùn)動(dòng)鏈j(j=1，2，3)進(jìn)行分析，由空間向量關(guān)系可得

式中，aj為點(diǎn)Aj的位置向量;c'j為點(diǎn)Cj在動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系下的位置向量;R為3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣。

式(9)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘uj可得

當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)角信息(α，β，γ)，即可根據(jù)式(10)計(jì)算出各運(yùn)動(dòng)支鏈移動(dòng)副的位移。

為了得到機(jī)構(gòu)的速度關(guān)系式，將式(9)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

式中，ωj、W分別為桿BjCj和動(dòng)平臺(tái)的角速度;aj為一常值向量，其導(dǎo)數(shù)為零。

式(10)兩端點(diǎn)乘uj，可得

式(12)揭示了輸入速度與動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，其矩陣的形式為

其中，J為3×3的Jacobian雅可比矩陣。

3 踝關(guān)節(jié)與機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)映射

盡管3－PUS/S型球面運(yùn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有與踝關(guān)節(jié)相同的繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，但其轉(zhuǎn)動(dòng)中心與踝關(guān)節(jié)中心并不重合。為了正確、有效地實(shí)現(xiàn)康復(fù)訓(xùn)練，必須對(duì)踝關(guān)節(jié)和機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)映射關(guān)系進(jìn)行分析。

3.1 背伸/跖屈

背伸/跖屈是踝關(guān)節(jié)的主要運(yùn)動(dòng)形式。為了實(shí)現(xiàn)該種形式的訓(xùn)練，患者呈坐姿，并將其腳與動(dòng)平臺(tái)固定。將機(jī)構(gòu)和患者下肢投影至OXZ平面。由于腳與動(dòng)平臺(tái)固定在一起，因此可將其視為一個(gè)構(gòu)件OD，同樣，機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)和座椅等靜止部件可用構(gòu)件OF來(lái)代替。這樣，就可得到圖4所示的平面四桿機(jī)構(gòu)ODEF。

圖4 踝關(guān)節(jié)背伸 /跖屈運(yùn)動(dòng)分析簡(jiǎn)圖

對(duì)四桿機(jī)構(gòu)ODEF進(jìn)行分析，得

消除式(14)中的角度σ，可得

動(dòng)平臺(tái)繞Y軸的角位移可表示為

式中，δ0為DO和OF的初始夾角。

背伸/跖屈角位移βf為Z軸和小腿DE之間的夾角:

當(dāng)給定了背伸 /跖屈角位移，即可通過(guò)式(10)、式(15)～式(17)來(lái)計(jì)算驅(qū)動(dòng)器位移Lj。

3.2 內(nèi)翻 /外翻

為了實(shí)現(xiàn)內(nèi)翻 /外翻訓(xùn)練，將機(jī)構(gòu)和患者下肢投影至OYZ平面，得圖5。圖5中，同樣可得到一個(gè)近似的平面四桿機(jī)構(gòu)ODEF。通過(guò)對(duì)該四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，可得

式中，α為動(dòng)平臺(tái)繞X軸的轉(zhuǎn)角;φ1為內(nèi)翻 /外翻運(yùn)動(dòng)角位移。

一旦給定內(nèi)翻/外翻運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角，就可通過(guò)式(10)、式(18)來(lái)計(jì)算驅(qū)動(dòng)器位移Lj。

圖5 踝關(guān)節(jié)內(nèi)翻/外翻運(yùn)動(dòng)分析簡(jiǎn)圖

3.3 內(nèi)旋 /外旋

為研究踝關(guān)節(jié)內(nèi)旋/外旋運(yùn)動(dòng)與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系，將機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)和患者下肢投影至OXY平面，得圖6。圖6中，患者腳隨動(dòng)平臺(tái)C1C2C3繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，D0O和DO分別為腳初始方向和轉(zhuǎn)動(dòng)后的方向，其夾角∠D0OD即為踝關(guān)節(jié)內(nèi)旋 /外旋運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角。由圖6可知，轉(zhuǎn)角∠D0OD與動(dòng)平臺(tái)歐拉角γ相等。

圖6 踝關(guān)節(jié)內(nèi)旋/外旋運(yùn)動(dòng)分析簡(jiǎn)圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)相關(guān)參數(shù)如下:a=200mm，b=400mm，c=450mm，d=800mm，a1=200mm，b1=200mm，c1=100mm，d1=300mm，δ0=40°，∠O2OF=60°，在 MATLAB中建立各轉(zhuǎn)角關(guān)系式，當(dāng)背伸/跖屈、內(nèi)翻/外翻運(yùn)動(dòng)變化范圍為［－30°，30°］時(shí)，仿真結(jié)果如圖 7、圖8 所示。

圖7 背伸/跖屈運(yùn)動(dòng)

圖8 內(nèi)翻/外翻運(yùn)動(dòng)

由圖7可見(jiàn)，背伸/跖屈運(yùn)動(dòng)與動(dòng)平臺(tái)繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)并不相同，當(dāng)背伸/跖屈運(yùn)動(dòng)線性均勻變化時(shí)，β呈非線性非均勻變化。因此將機(jī)器人回轉(zhuǎn)中心等同于踝關(guān)節(jié)中心，將導(dǎo)致錯(cuò)誤的控制結(jié)果。內(nèi)翻/外翻運(yùn)動(dòng)(圖8)可得到同樣的結(jié)論。

5 結(jié)語(yǔ)

采用自由度分析方法，設(shè)計(jì)了具有球面運(yùn)動(dòng)能力的并聯(lián)機(jī)構(gòu)來(lái)輔助踝關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)康復(fù)訓(xùn)練。旋量理論分析表明，機(jī)構(gòu)的PUS運(yùn)動(dòng)支鏈不對(duì)動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生任何約束，具有與踝關(guān)節(jié)相同的球面運(yùn)動(dòng)的能力。在建立機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)之上，將機(jī)構(gòu)與人體下肢視為平面四桿機(jī)構(gòu)。通過(guò)對(duì)該平面四桿機(jī)構(gòu)的分析，得到踝關(guān)節(jié)到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)映射關(guān)系。數(shù)值仿真表明，機(jī)器人回轉(zhuǎn)中心與踝關(guān)節(jié)中心不重合，人－機(jī)運(yùn)動(dòng)映射有助于正確、有效地實(shí)現(xiàn)踝關(guān)節(jié)的康復(fù)運(yùn)動(dòng)控制。

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