高國(guó)章 勞 深

（武漢理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院1） 武漢 430063） （武漢理工大學(xué)國(guó)際教育學(xué)院2） 武漢 430063）

0 引 言

利用狀態(tài)方程分析電網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)［1］時(shí)，常常要用到系數(shù)矩陣A．文獻(xiàn)［2］中已經(jīng)證明，在多元有理函數(shù)域F（z）上，A的特征根可能是“0”或者不相等的非常數(shù)根．根據(jù)電網(wǎng)絡(luò)理論，當(dāng)A有“0”根時(shí)，表明網(wǎng)絡(luò)中有全電容割集（包括電容電流源割集）和或者全電感回路（包括電感電壓源回路）．

眾所周知，全電容割集和全電感回路并不改變網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度（N）．一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的非零特征根的個(gè)數(shù)（N－（NL＋NC））等于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度減去網(wǎng)絡(luò)中“獨(dú)立”的全電容割集數(shù)（NC）和全電感回路的個(gè)數(shù)（NL）的和．那么該如何去查尋一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中有多少個(gè)“獨(dú)立”的全電容割集和全電感回路呢？對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)顯然人工難以去確定．如果利用計(jì)算機(jī)來(lái)完成，則需要確定一個(gè)算法．本文主要討論查尋網(wǎng)絡(luò)中“獨(dú)立”的全電容割集的算法．

在討論之前，先給出下文中要利用的關(guān)于“環(huán)和”的定義．

定義 設(shè)S，S1，S2是3個(gè)集合，且S＝｛S1－（S1∩S2）｝∪｛S2－（S1∩S2）｝，那么稱S 為S1和S2的“環(huán)和”，記為：S＝S1⊕S2．

根據(jù)文獻(xiàn)［3－4］確定電網(wǎng)絡(luò)的全部割集可以采用如下步驟：（1）確定網(wǎng)絡(luò)的一棵正則樹；（2）確定每條樹支所對(duì)應(yīng)的基本割集矩陣Qf；（3）對(duì)Qf中的行向量執(zhí)行所有的環(huán)和；（4）消除環(huán)和所產(chǎn)生的冗余行向量，即得到Qa．

很顯然，全電容割集也是網(wǎng)絡(luò)所有割集中的一部分，所以它們所對(duì)應(yīng)的集合也對(duì)應(yīng)著Qa中的某些行向量，但是它們所對(duì)應(yīng)的全電容割集并不都是我們所要尋找的“獨(dú)立”的割集．

1 電網(wǎng)絡(luò)中全電容割集的確定方法

對(duì)于已經(jīng)找出的網(wǎng)絡(luò)中的所有割集，“獨(dú)立”的全電容割集及其數(shù)目可以按如下步驟搜尋．

步驟1 確定網(wǎng)絡(luò)的一顆正則樹．

步驟2 寫出每一個(gè)樹支電容所對(duì)應(yīng)的基本割集矩陣Qfcap．

假定網(wǎng)絡(luò)中有m個(gè)樹支電容SBCap＝｛Ct1，Ct2，…，Ctm｝，它們所對(duì)應(yīng)的基本割集分別Cut1，Cut2，…，Cutm．這些基本割集中，有些可能是全電容割集，有些則可能不是，具體見(jiàn)下文的實(shí)例分析中．

步驟3 判斷全電容割集 一般地，電容電流源割集也包含在全電容割集中．根據(jù)前面割集集合的尋找方法，全電容割集的集合應(yīng)該由兩部分組成，一部分是樹支電容所對(duì)應(yīng)的基本割集，另一部分是由樹支電容所對(duì)應(yīng)的基本割集環(huán)和產(chǎn)生，所以Cut1，Cut2，…，Cutm中包含了第一部分．為了找出全部的全電容割集，這一步中應(yīng)完成如下工作：

1）對(duì)Cut1，Cut2，…，Cutm，判斷每一個(gè)割集中的元素，若它們都是電容或者電流源，則該基本割集就是一個(gè)全電容割集（即單樹支電容的割集）；否則不是．假設(shè)其中有p個(gè)這樣的全電容割集，分別記為：Cut1，Cut2，…，Cutm（0≤p≤m）；

2）對(duì)Cut1，Cut2，…，Cutm執(zhí)行所有的環(huán)和，即先取任意2個(gè)求環(huán)和，然后取3個(gè)求環(huán)和，如此直至取m個(gè)求環(huán)和，并判斷，因此總的求環(huán)和的次數(shù)為＋＋…＋＝2m－1－m（m≥2）．記某次求環(huán)和所得到的集合為Ssum＝Cuti⊕Cutj⊕…⊕Cutk．其中（0＜i，j，k≤m，i≠j≠…≠k），若Ssum＝Cuti⊕Cutj＝Cuti∪Cutj，則Ssum為冗余項(xiàng)，則消除，說(shuō)明本次環(huán)和所得到的新集合不是一個(gè)割集，它也不屬于Qa，即Ssum?Qa；否則，Ssum∈Qa．記所有屬于Qa的割集集合為：CSsumc1，CSsumc2，…，CSsumcr．顯然r小于等于Qa的維數(shù)．也就是說(shuō)，含有樹支電容的割集除了Cut1，Cut2，…，Cutm以外，還有CSsumc1，CSsumc2，…，CSsumcr，但這些割集并不都是全電容割集．

3）判斷CSsumc1，CSsumc2，…，CSsumcr是否是全電容割集．任取其中一個(gè)割集CSsumci（0≤i≤r），判斷CSsumci的元素是否都是電容或者電流源，若是，則該割集為全電容割集；否則不是．記其中的全電容割集為ACSsumc1，ACSsumc2，…，ACSsumcq（0≤q≤r）．

4）網(wǎng)絡(luò)中的全電容割集為：ACC＝｛Cut1，Cut2，…，Cutp，ACSsumc1，ACSsumc2，…，ACSsumcq｝，其數(shù)目為：Nacc＝p＋q，但是，Nacc并不是網(wǎng)絡(luò)中“獨(dú)立”的全電容割集數(shù)．

2 電網(wǎng)絡(luò)中“獨(dú)立”的全電容割集及其數(shù)目

對(duì)于已經(jīng)搜尋出的網(wǎng)絡(luò)中所有的全電容割集，它們并不是每一個(gè)都是“獨(dú)立”的．重記ACC中的每一集合，令：Acc1＝Cut1，Acc2＝Cut2，…，Accp＝Cutp，Accp＋1＝ACSsumc1，…，Accp＋q＝ACSsumcq，則：ACC＝｛Acc1，Acc2，…，Accp＋q｝．

從某種程度上說(shuō)，ACC中每一個(gè)集合都是“獨(dú)立”的，但它們的“獨(dú)立”性具有一定的相對(duì)性．比如，假設(shè)Accj∈ACC（j＝1，2，3），但是Acc3＝Acc1⊕Acc2，那么可以認(rèn)為其中的任意2個(gè)都是獨(dú)立的，另外一個(gè)可由其他2個(gè)求“環(huán)和”得到．根據(jù)KCL定理，每一個(gè)割集都對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，那么ACC就對(duì)應(yīng)了一個(gè)方程組．這些割集不是“獨(dú)立”的原因，是因?yàn)榉匠探M中的某些方程可以由其他的幾個(gè)方程通過(guò)線性變換得到，所以尋找獨(dú)立的割集過(guò)程也就是消除方程組的相關(guān)性的過(guò)程．當(dāng)消除相關(guān)性以后，剩下的方程的個(gè)數(shù)，就是“獨(dú)立”的割集的個(gè)數(shù)．很顯然，仍然可以通過(guò)求環(huán)和的方法來(lái)消除這些多余的割集（也就是多余的方程）．令網(wǎng)絡(luò)中"獨(dú)立"的全電容割集個(gè)數(shù)為Nindac，非“獨(dú)立”的個(gè)數(shù)為K，這個(gè)過(guò)程可按如下步驟進(jìn)行．

步驟1 先取出Acc1分別與Acc2，…，Accp＋q兩兩求環(huán)和．令K＝0，RN＝2．p＋q＝RN嗎？若是，則程序結(jié)束；否則往下執(zhí)行．假設(shè)記：Set＝Acc1cct（2≤t≤p＋q），若Set∈ACC，則Set是一個(gè)割集，假設(shè)為Accj（3≤j≤p＋q），但它是非“獨(dú)立”的，消除它，程序中可將該集合的元素全部置“0”的方法來(lái)標(biāo)記，同時(shí)K＝K＋1；否則，t＝t＋1，且Acc1不再與Accj求環(huán)和．

步驟2 對(duì)ACC中的剩下的非“0”向量每3個(gè)求環(huán)和．RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K 嗎，若是，則程序結(jié)束；否則繼續(xù)．同步驟1一樣，如果環(huán)和所得到的集合仍為一個(gè)屬于ACC的元素，則消除它．

…

假設(shè)經(jīng)過(guò)這樣的消除過(guò)程以后，ACC中的剩下的非“0”元素為（p＋q－K）個(gè)．

（p＋q－K－1） 在剩下的（p＋q－K）個(gè)非“0”集合中取（p＋q－K－1）個(gè)求環(huán)和．RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K 嗎，若是，則程序結(jié)束；否則繼續(xù)．執(zhí)行類似消除過(guò)程．

（p＋q－K） RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K嗎，若是，則程序結(jié)束；否則繼續(xù)．結(jié)束程序．記錄ACC和K，則可將ACC中的集合中的“非”零的集合，作為“獨(dú)立”的全電容割集．其個(gè)數(shù)為：Nindac＝p＋q－K．

3 應(yīng)用實(shí)例

考慮如圖1所示的電網(wǎng)絡(luò)．

圖1 電網(wǎng)絡(luò)

按前文的算法，文獻(xiàn)［1，4］中提到作者所在的課題組已經(jīng)開發(fā)了一個(gè)分析電網(wǎng)絡(luò)的軟件［5－7］，利用該軟件不難得到一顆正則樹，同時(shí)得到樹支中的電容集合．如圖1軟件選擇C1，C2，C3，C4，C5，C6，R1，V1為樹枝，則上文中的步驟如下．

1）選定正則樹和確定樹支電容集合 令選取的樹支中電容集合為SBCap＝｛C1，C2，C3，C4，C5，C6｝．

2）找出樹支電容所對(duì)應(yīng)的基本割集 Cut1＝｛C1，I1｝，Cut2＝｛C2，I1，L2｝，Cut3＝｛C3，L2｝，Cut4＝｛C4，L1，L2｝，Cut5＝｛C5，C7，L2｝，Cut6＝｛C6，R2｝．

3）確定全電容割集 對(duì)Cut1，Cut2，…，Cut6執(zhí)行所有的環(huán)和，共執(zhí)行26－1－6＝57次．限于篇幅，這里不列出所有的環(huán)和結(jié)果，這里只列出Step1－3－4的結(jié)果，也就是網(wǎng)絡(luò)中所有的全電容 割 集，ACC ＝ ｛Cut1，ACSsumc1，ACSsumc2，ACSsumc3，ACSsumc4，ACSsumc5｝，其中 Acc1＝Cut1＝｛C1，I1｝，Acc2＝ ACSsumc1＝｛C2，C3，I1｝，Acc3＝ ACSsumc2＝ ｛C2，C5，C7，I1｝，Acc4＝ACSsumc3＝｛C3，C5，C7｝，Acc5＝ ACSsumc4＝｛C1，C2，C3｝，Acc6＝ ACSsumc5＝｛C1，C2，C5，C7｝，所以程序執(zhí)行到此，可以知道，p＝1，q＝5．接下來(lái)，找出這些全電容割集中的“獨(dú)立”的部分．

4）兩兩求環(huán)和 令RN＝2．p＋q＝6≠RN程序往下執(zhí)行．開始執(zhí)行求環(huán)和．如：Set＝Acc1⊕Acc2＝｛C1，C2，C3｝，顯然，Set＝Acc5，所以，可以認(rèn)為Acc5是非獨(dú)立的，應(yīng)消除它，同時(shí)令A(yù)cc5＝｛0｝，K＝1，Acc1不再與Acc5求環(huán)和．在還沒(méi)有消除Acc4之前，程序執(zhí)行到Set＝Acc1⊕Acc4＝｛C1，I1，C3，C5，C7｝得到兩個(gè)割集的并集，則不必管它，不執(zhí)行消除判斷．本例中，這一步還可消除Acc6＝Acc1⊕Acc3和Acc4＝Acc2⊕Acc3，所以K＝3．經(jīng)過(guò)這一步，ACC中還剩下3個(gè)集合中的元素不為“0”，即（p＋q－K）＝1＋5－3＝3．

5）執(zhí)行每3個(gè)集合求環(huán)和 RN＝RN＋1，RN＝p＋q－K＝3嗎，若是，則程序結(jié)束．由于只剩下3個(gè)集合，所以不可能再消除某一個(gè)集合，所以程序不再往下執(zhí)行．記錄下Nindac＝p＋q－K＝3，而"獨(dú)立"的全電容割集就是Acc1，Acc2和Acc3．

4 結(jié) 論

如果某電網(wǎng)絡(luò)有NC個(gè)全電容割集，那么網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)矩陣A有NC個(gè)“0”特征根．圖1中，利用分析軟件易知，網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度為8，系數(shù)矩陣A的秩為5，且能控性矩陣的TC的秩為6，因此系統(tǒng)是不能控的，這意味著某個(gè)“0”根對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量是能控的．進(jìn)一步分析3個(gè)全電容割集，可以知道，在Cut1中，電容C1的電壓是能控的，這正是在分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性質(zhì)時(shí)，需要找出這些“0”根的特殊結(jié)構(gòu)，而研究這個(gè)算法的原因．

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［3］Chen Shubai，Zuo Kai，Zhang Liangzhen．Network graph theory and its application ［M］．Beijing：Science Press，1982．

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