周翔 侯立剛 蘇成利 肖炎良 張勇

(遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

0 引言

齒輪是目前應(yīng)用最為廣泛的傳動(dòng)形式之一。齒輪在高強(qiáng)度的運(yùn)作下會(huì)出現(xiàn)損傷，如斷齒、磨損和剝落等。對(duì)齒輪故障進(jìn)行研究，有助于提高設(shè)備的整體運(yùn)行效率。

時(shí)頻分析方法在齒輪故障診斷中比較常見(jiàn)，但診斷類型比較單一，針對(duì)性強(qiáng)［1］。多數(shù)據(jù)融合的方法是今后齒輪傳動(dòng)故障診斷的主要發(fā)展方向［2］。徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可進(jìn)行齒輪故障診斷［3］。自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet neural network，WNN)方法解決了用二進(jìn)制尺度信號(hào)作為網(wǎng)絡(luò)輸入而故障特征信息可能恰好不在選用的二進(jìn)制尺度上的問(wèn)題［4］。小波包特征熵支持向量機(jī)故障診斷方法解決了建立故障類型識(shí)別模型難的問(wèn)題［5］。但齒輪故障診斷還有許多要改進(jìn)的地方，如時(shí)頻分析方法對(duì)故障診斷的單一性和模糊性、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的波動(dòng)性、網(wǎng)絡(luò)輸入特征信號(hào)的準(zhǔn)確性(信噪比低)等。

本文采用改進(jìn)閾值函數(shù)的方法(一種小波包濾波方法)消除神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入信號(hào)中的噪聲，同時(shí)保留故障中所包含的特征信號(hào)，從而提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入信號(hào)的信噪比。同時(shí)，對(duì)改進(jìn)閾值函數(shù)的可行性進(jìn)行了推導(dǎo)，結(jié)果表明改進(jìn)后的系統(tǒng)能更加快速、準(zhǔn)確地對(duì)多種齒輪故障進(jìn)行判別。

1 小波包去噪

1.1 小波包分析

小波包分析的基本思想是把信號(hào)的高頻和低頻部分同時(shí)投影到由一組互相正交的小波函數(shù)構(gòu)成的子空間上，使信號(hào)在不同尺度上展開(kāi)，從而提取信號(hào)在不同頻帶上的特征，同時(shí)保留信號(hào)在各尺度上的時(shí)域特征。小波包分析是多分辨率分析的深化，有利于更好地提取特征信號(hào)。

尺度函數(shù)和小波函數(shù)的尺度關(guān)系如式(1)所示［6］:

式中:μ0(x)為尺度函數(shù);μ1(x)為小波函數(shù);h(k)、g(k)為由小波函數(shù)確定的兩列共軛濾波器系數(shù)。

μ2l(x)、μ2l+1(x)分別定義為:

則 μn(x)(n=2l或 2l+1，l=0，1，…)即為關(guān)于正交尺度函數(shù)μ0(x)的小波包。

1.2 小波包分解與重構(gòu)

將小波包與多分辨率相結(jié)合，再與歸一化系數(shù)相乘，便可得到小波包分解公式，即:

最終信號(hào)在尺度j=J上進(jìn)行分解的序列為{c2J－1，c2J－1+1，…，c2J}。

對(duì)二進(jìn)制小波進(jìn)行離散變換，可得:

式中:H、G 為矩陣，H=(Hn，k)，G=(Gn，k)，其中，Hn，k=hk－2n，Gn，k=gk－2n。

信號(hào)的重構(gòu)算法為:

式中:矩陣H*、G*為H、G的對(duì)偶算子。通過(guò)分解后的序列，可以逐步恢復(fù)出原始信號(hào)。

1.3 小波包去噪原理和步驟

定義 設(shè)n為正整數(shù)，若存在常數(shù)A＞0和n次多項(xiàng)式Pn(x)，有:

則稱f(x)在點(diǎn)x0處為L(zhǎng)ipα。如果在區(qū)間(a，b)上存在常數(shù)A，對(duì)任意 x(x0∈(a，b))，有 n次多項(xiàng)式Pn(x)滿足式(6)，則稱 f(x)在區(qū)間(a，b)上一致Lipα。在 x=x0處，當(dāng) α≠1，即 Lipα 不為 Lip1 時(shí)，f(x)在x0處是奇異的;若f(x)在x0處有界但不連續(xù)，則Lip的指數(shù)為0，其指數(shù)越大，f(x)越光滑。

對(duì)于噪聲而言，小波變換在不同尺度下高度不相關(guān)，近似于處處奇異，其Lip指數(shù)為負(fù)，奇異性小于0。在小波變換下，噪聲的平均幅值和尺度因子2j成反比關(guān)系，即噪聲能量隨尺度增大而減小。因此，通過(guò)改變小波尺度能夠減小噪聲。

小波包去噪的基本思想就是對(duì)小波包分解后的各層系數(shù)分別進(jìn)行處理。通常有兩種途徑:一是已知所關(guān)心的頻率成分，進(jìn)行小波包分解時(shí)，保留所關(guān)心的頻帶的小波變換結(jié)果，將其他變換結(jié)果清0;二是已知噪聲的頻帶范圍，將小波變換后的噪聲所在頻帶的小波包系數(shù)清0，然后再利用處理后的小波包系數(shù)重構(gòu)出消噪后的信號(hào)。利用小波包進(jìn)行消噪的基本步驟為:①利用小波包對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行分解;②確定最優(yōu)的小波包基;③對(duì)小波包分解的系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理;④利用小波包分解系數(shù)和量化系數(shù)進(jìn)行小波包重構(gòu)。

1.4 改進(jìn)閾值算法

本文選取一種新的閾值算法，克服了軟閾值和硬閾值算法的缺陷，使其具有更強(qiáng)的彈性和適用性。閾值改進(jìn)算法為［7］:

式中:α為階次調(diào)節(jié)因子，α≥0，利用α可使構(gòu)造的新函數(shù)的取值處于軟、硬閾值函數(shù)之間;β為振蕩調(diào)節(jié)因子，0≤β≤1，其影響信號(hào)的信噪比，該值越大，信號(hào)失真越嚴(yán)重，振蕩越小。下面對(duì)改進(jìn)閾值算法的連續(xù)性、可導(dǎo)性和收斂性進(jìn)行分析。

1.4.1 連續(xù)性分析

設(shè)閾值函數(shù)為f(x)，則有:

當(dāng)x=λ時(shí)，可得:

根據(jù)實(shí)際情況可知λ≥0，所以可以對(duì)式(9)繼續(xù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)果為:

此時(shí)選取β=1，可得:

所以，f(x)在x=λ處是連續(xù)的。

1.4.2 可導(dǎo)性分析

當(dāng)x＞0時(shí)，sign(x)=1，因此f(x)可以化簡(jiǎn)為:

對(duì)x求偏導(dǎo)可得:

當(dāng)x=0時(shí)，sign(x)=1，α取值為0，此時(shí)不能直接用求導(dǎo)公式求解，可利用導(dǎo)數(shù)定義求解，即:

當(dāng) x＜0時(shí)，f'(x)=f(x)=0。

所以，f(x)是可導(dǎo)的。

1.4.3 收斂性分析

當(dāng)x≥0時(shí)，有:

當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=0，所以f(x)在無(wú)窮處是收斂的，且f(x)是連續(xù)函數(shù)。因此，f(x)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)是收斂的。

2 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造及其優(yōu)化

本文采用三層緊致型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［8］，小波基函數(shù)選取molet小波，輸出函數(shù)選取sigmoid函數(shù)，即:

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為:

式中:xi為輸入層第i個(gè)輸入分量;yk為輸出層的第k個(gè)輸出分量;n、k、s分別為輸入層、輸出層和隱層的神經(jīng)元個(gè)數(shù);ωji為輸入層第i個(gè)神經(jīng)元到隱層的第j個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán);ωkj為隱層第j個(gè)神經(jīng)元到輸出層第k個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán)。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)函數(shù)為:

式中:tk為期望值。訓(xùn)練算法采用梯度下降法。本文在參數(shù)優(yōu)化方面作了進(jìn)一步改進(jìn)，以對(duì)ωkj的優(yōu)化為例，優(yōu)化內(nèi)容如下:

式中:β為遺忘因子;η為各個(gè)參數(shù)的學(xué)習(xí)速率;α(0＜α＜1)為各個(gè)參數(shù)的動(dòng)量因子。其中，學(xué)習(xí)速率η取值如下:

與以前的優(yōu)化相比，改進(jìn)后的參數(shù)優(yōu)化法添加了遺忘因子β，它能使要優(yōu)化的參數(shù)更加平穩(wěn)，避免了優(yōu)化后的參數(shù)出現(xiàn)太大波動(dòng)。

3 仿真

仿真中用到的數(shù)據(jù)集是通過(guò)試驗(yàn)獲得的。試驗(yàn)中，在軸承底座安裝加速度傳感器，滾動(dòng)軸承帶動(dòng)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)，產(chǎn)生振動(dòng)信號(hào)。滾動(dòng)軸承的轉(zhuǎn)速為1500 r/min。

本文選取db4小波，分解層數(shù)為3，并依據(jù)最小shannon熵準(zhǔn)則選取最優(yōu)小波包基;設(shè)置閾值時(shí)，取α=2.9、β=0.8。

小波包去噪前后的仿真結(jié)果如圖1所示。由圖1可以看出，含噪信號(hào)中的噪聲部分已經(jīng)被很好地去除，信號(hào)特征保持完整。

圖1 小波包去噪前后的仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results of before and after wavelet packet de-nosing

網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中選取，共選取15組樣本，分成3種模式，其中每種模式的最后一組樣本(共3組)用來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。然后對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步處理，即提取信號(hào)特征向量并對(duì)其進(jìn)行規(guī)范化處理，將其變化到［0，1］的范圍，小波包特征向量歸一化處理公式為:

式中:P和Pn分別為歸一化前后小波包特征向量;小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的小波基函數(shù)為molet小波函數(shù);Pnmean和Pstd分別為molet小波特征向量P的均值和方差。

齒輪的振動(dòng)特征參數(shù)選擇為［9－10］:峰值因子、峭度指標(biāo)、脈沖指標(biāo)、裕度指標(biāo)、一-二階嚙合頻率比、一-二階旋轉(zhuǎn)頻率比、一-三階嚙合頻率比和一-三階旋轉(zhuǎn)頻率比共8個(gè)參數(shù)。齒輪故障診斷明細(xì)如表1、表2所示。

表1 齒輪斷齒明細(xì)表Tab.1 The details of broken teeth for gears

表2 齒輪偏心明細(xì)表Tab.2 The details of eccentric gears

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)選取為36，優(yōu)化中的遺忘因子β選取為0.6，學(xué)習(xí)速率η為0.835，目標(biāo)誤差設(shè)為0.01。信號(hào)經(jīng)去噪后的改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)故障診斷的誤差曲線如圖2所示。

圖2 信號(hào)去噪后的改進(jìn)WNN誤差曲線Fig.2 The error curve of improved WNN after signal de-noising

為了表明經(jīng)過(guò)信號(hào)去噪后的改進(jìn)型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能更快更準(zhǔn)確地確定齒輪故障，對(duì)去噪后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和去噪前的改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了對(duì)比，誤差曲線如圖3和圖4所示。

由圖2和圖3可以看出:信號(hào)經(jīng)過(guò)去噪后的改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大約只要470步就能使目標(biāo)達(dá)到要求;BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大約需要1500步才能達(dá)到目標(biāo)要求，訓(xùn)練的起始誤差較大且有一定程度的起始波動(dòng)。即圖2和圖3對(duì)比說(shuō)明了信號(hào)去噪后經(jīng)過(guò)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比經(jīng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度更快、更穩(wěn)定。而信號(hào)未處理的改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則大約需要800步才能達(dá)到目標(biāo)要求，達(dá)到要求后繼續(xù)訓(xùn)練則會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，即圖2和圖4的比較說(shuō)明信號(hào)通過(guò)濾波處理后的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算更快更準(zhǔn)確且不會(huì)產(chǎn)生波動(dòng)。因此，可以得出，信號(hào)去噪后作為網(wǎng)絡(luò)輸入數(shù)據(jù)的改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能快速且穩(wěn)定地判斷齒輪故障。檢驗(yàn)樣本的期望輸出和實(shí)際輸出如表3、表4所示。

表3 檢驗(yàn)樣本的期望輸出Tab.3 The expected output of inspection samples

表4 檢驗(yàn)樣本的實(shí)際輸出Tab.4 The actual output of inspection samples

表3和表4的輸出結(jié)果顯示，實(shí)際輸出與期望值大致吻合，完全在誤差范圍之內(nèi)，進(jìn)一步證明了該方法的可行性和有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

采用小波包分析方法對(duì)齒輪的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行消噪預(yù)處理，有效地消除了信號(hào)當(dāng)中的干擾成分，提高了信噪比。改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在齒輪故障診斷中起著故障分類的作用，且改進(jìn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程比較穩(wěn)定，訓(xùn)練速度也更快。通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，該方法用于齒輪故障診斷是有效可行的，診斷準(zhǔn)確率較高，滿足對(duì)齒輪故障診斷的技術(shù)要求。

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