葉麗霞

(浙江外國(guó)語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

1 引言

在同調(diào)代數(shù)中，范疇的始對(duì)象、終對(duì)象和零對(duì)象是非常重要的概念.

定義1［1］11設(shè)C為范疇.若I∈obC滿足

定義2［1］11設(shè)C為范疇.若I∈obC滿足

則稱I為C的一個(gè)終對(duì)象.若Z同時(shí)是C中的始對(duì)象與終對(duì)象，則稱Z為C的一個(gè)零對(duì)象.

定義 3［2］172設(shè)有向圖 D= ＜ V，E ＞=m.令為頂點(diǎn)vi鄰接到頂點(diǎn)vj的邊的條數(shù)，稱()n×n為D的鄰接矩陣.

定義4［2］206一棵非平凡的有向樹，如果有一個(gè)頂點(diǎn)的入度為0，其余頂點(diǎn)的頂點(diǎn)的入度均為1，則稱此有向樹為根樹.在根樹中，入度為0的頂點(diǎn)稱為樹根;入度為1，出度為0的頂點(diǎn)稱為樹葉.

定義 5［2］157設(shè) D= ＜ V，E ＞ 為 n 階有向圖，若，即圖中每個(gè)頂點(diǎn)的度都是0，則稱D為n階零圖.特別地，1階零圖也稱為平凡圖.

定義6［2］162設(shè)D= ＜V，E＞為n階有向簡(jiǎn)單圖，

則稱D為n階圈圖.

可以看出，范疇的定義比較抽象，而且范疇的始對(duì)象或終對(duì)象不一定存在.在文獻(xiàn)［1］的例5中，作者用圖來表示范疇，這樣就可以相對(duì)直觀地判斷出范疇的特殊對(duì)象.本文利用圖論知識(shí)建立了判斷范疇的始對(duì)象、終對(duì)象和零對(duì)象的兩個(gè)等價(jià)定理，并得到了偏序范疇等特殊范疇的相關(guān)推論.

2 主要結(jié)論及相關(guān)推論

設(shè)C為范疇，其中對(duì)象集是obC={a1，a2，…，an}.現(xiàn)規(guī)定obC為圖的頂點(diǎn)集，當(dāng)不同對(duì)象ai到aj存在態(tài)射時(shí)，則在兩頂點(diǎn)之間連上一條有向邊，但忽略各對(duì)象到自身的恒等態(tài)射，于是范疇C可表示為一個(gè)沒有環(huán)和重邊的n階有向簡(jiǎn)單圖.

定理1 設(shè)C為范疇，其中obC={a1，a2，…，an}.設(shè)圖G為范疇C對(duì)應(yīng)的n階圖，則有

(1)若在圖G中，頂點(diǎn)ai到其余n－1個(gè)頂點(diǎn)都只有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，則ai是范疇的一個(gè)始對(duì)象;

(2)若在圖G中，其余n－1個(gè)頂點(diǎn)到頂點(diǎn)ai都只有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，則ai是范疇的一個(gè)終對(duì)象;

(3)若頂點(diǎn)ai同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，則ai是范疇的一個(gè)零對(duì)象.

證明 若在范疇C對(duì)應(yīng)的圖G中，頂點(diǎn)ai到其余n－1個(gè)頂點(diǎn)都只有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，則在范疇C中，對(duì)象ai到其余n－1個(gè)對(duì)象都只有一個(gè)態(tài)射，而ai到自身存在恒等態(tài)射，于是ai到每個(gè)對(duì)象都只有一個(gè)態(tài)射，根據(jù)定義1，ai是范疇C的一個(gè)始對(duì)象;同理，若在圖G中，其余n－1個(gè)頂點(diǎn)到頂點(diǎn)ai都只有一條有向通路，則在范疇C中每個(gè)對(duì)象到ai都只有一個(gè)態(tài)射，根據(jù)定義2，ai是C的一個(gè)終對(duì)象.第三種情形顯然成立.

由于任何一個(gè)有向圖都有唯一的鄰接矩陣，故定理1有以下一個(gè)等價(jià)定理:

定理2 設(shè)C為范疇，其中obC={a1，a2，…，an}.設(shè)圖G為范疇C對(duì)應(yīng)的n階圖，A為圖G的鄰接矩陣，令矩陣 B=A+A2+ … +An－1，則有

(1)若在矩陣B的第i行中，bii=0，該行其余元素都是1，則頂點(diǎn)ai是范疇C的一個(gè)始對(duì)象;

(2)若在矩陣B的第i列中，bii=0，該列其余元素都是1，則頂點(diǎn)ai是范疇C的一個(gè)終對(duì)象;

(3)若在矩陣B的第i行和第i列中，bii=0，第i行和第i列的其余元素都是1，則頂點(diǎn)ai是C的一個(gè)零對(duì)象.

當(dāng)范疇對(duì)應(yīng)的圖是一些特殊圖時(shí)，可得到相應(yīng)的推論.

任意偏序集合C=(obC，≤)可看作一個(gè)范疇，其中obC的元素為對(duì)象，對(duì)象ai到aj存在一個(gè)態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)ai≤aj.把偏序關(guān)系的關(guān)系圖刪去所有環(huán)，就得到偏序范疇對(duì)應(yīng)的圖，于是有以下結(jié)論:

推論1 設(shè)C是一個(gè)偏序范疇，于是范疇存在始對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng)obC存在一個(gè)最小元;范疇存在終對(duì)象當(dāng)且僅當(dāng)obC存在一個(gè)最大元.特別地，若范疇只有一個(gè)對(duì)象，則此對(duì)象是零對(duì)象.

證明 若ai是偏序集C=(obC，≤)的最小元，則ai≤aj對(duì)所有aj∈obC都成立.于是在范疇C對(duì)應(yīng)的圖中，頂點(diǎn)ai到其余n－1個(gè)頂點(diǎn)都只有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，由定理1，ai是C的一個(gè)始對(duì)象.同理可證最大元就是終對(duì)象.若范疇只有一個(gè)對(duì)象，則此對(duì)象既是最小元也是最大元，從而它是零對(duì)象.

實(shí)際上，由于偏序范疇對(duì)應(yīng)的圖和哈斯圖一一對(duì)應(yīng)，因此在推論1的實(shí)際應(yīng)用中，也可以根據(jù)哈斯圖來判斷特殊對(duì)象.在哈斯圖中，若最下端的頂點(diǎn)只有一個(gè)，那么它就是始對(duì)象;若最上端的頂點(diǎn)只有一個(gè)，那么它就是終對(duì)象.在全序關(guān)系的哈斯圖中，最下端的頂點(diǎn)就是始對(duì)象，最上端的頂點(diǎn)就是終對(duì)象.

例 集合obC={1，2，3，6}上的整除關(guān)系是一個(gè)偏序關(guān)系，偏序范疇C對(duì)應(yīng)的圖和哈斯圖分別如圖1中(1)、(2)所示，顯然最小元1和最大元6分別是偏序范疇的始對(duì)象和終對(duì)象.

圖1 偏序范疇對(duì)應(yīng)的圖和哈斯圖

推論2 若范疇對(duì)應(yīng)的圖是一棵根樹，則根樹的樹根為范疇的始對(duì)象，當(dāng)且僅當(dāng)根樹只有一片樹葉時(shí)，該樹葉是范疇的終對(duì)象.另外，當(dāng)根樹是一棵平凡樹時(shí)，它的唯一頂點(diǎn)是范疇的零對(duì)象.

證明 由定義4易知樹根到其余頂點(diǎn)都只有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，由定理1，樹根為范疇的始對(duì)象.若根樹只有一片樹葉，那么其余頂點(diǎn)到該樹葉都只有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，于是該樹葉是范疇的終對(duì)象.當(dāng)根樹是一棵平凡樹時(shí)，它的唯一頂點(diǎn)顯然是零對(duì)象.

推論3 若范疇對(duì)應(yīng)的圖是一個(gè)n階零圖，則當(dāng)n＞1時(shí)，范疇不存在始對(duì)象和終對(duì)象;當(dāng)n=1時(shí)，該唯一頂點(diǎn)是零對(duì)象.

證明 由定義5易知零圖中的每個(gè)頂點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，則每個(gè)頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)都沒有通路，于是只有當(dāng)n=1時(shí)，該唯一頂點(diǎn)是零對(duì)象.

推論4 設(shè)范疇C對(duì)應(yīng)的圖是一個(gè)n階圈圖，其中obC={a1，a2，…，an}，且邊集E={＜a1，a2＞，＜a2，a3＞，…，＜an－1，an＞，＜an，a1＞}，則頂點(diǎn) a1是零對(duì)象.

證明 由定義6，圈圖的邊集 E={＜a1，a2＞，＜a2，a3＞，…，＜an－1，an＞，＜an，a1＞}，則頂點(diǎn) a1到每個(gè)頂點(diǎn)都有一條長(zhǎng)度小于n的有向通路，根據(jù)定理1，頂點(diǎn)a1是零對(duì)象.

［1］佟文廷.同調(diào)代數(shù)引論［M］.北京:高等教育出版社，1998.

［2］屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學(xué)［M］.2版.北京:清華大學(xué)出版社，2008.