沈雪明，袁衛(wèi)明，陳法鑫，劉際軒，李凌豐

（1.浙江申達機器制造股份有限公司，浙江杭州310038；2.浙江大學機械工程學系，浙江杭州310027）

電動注塑機用滾珠絲杠副的動態(tài)應(yīng)力分析

沈雪明1，袁衛(wèi)明1，陳法鑫1，劉際軒2，李凌豐2

（1.浙江申達機器制造股份有限公司，浙江杭州310038；2.浙江大學機械工程學系，浙江杭州310027）

通過建立電動注塑機用滾珠絲杠副接觸角等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及速度和加速度的動態(tài)受力模型，利用螺母和絲杠的速度關(guān)系，得到二者之間加速度的關(guān)系。應(yīng)用赫茲應(yīng)力公式推導出螺母側(cè)和絲杠側(cè)的接觸應(yīng)力公式，并進一步分析了接觸角等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及速度和加速度對絲杠副接觸應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，對于電動注塑機用滾珠絲杠副，速度的增大會造成接觸應(yīng)力的明顯增加，加速度的增加也會造成接觸應(yīng)力的增加。

滾珠絲杠副；電動注塑機；動態(tài)受力模型；加速度；離心力；赫茲接觸應(yīng)力

0 前言

全電動注塑機具有環(huán)保、節(jié)能、噪聲低、注射控制精度高、制品品質(zhì)好等優(yōu)點，但在合模動作時，其合模機構(gòu)中滾珠絲杠副由于負載大而磨損較為嚴重。對于這一問題，目前還沒有很好的解決辦法［1－2］。滾珠螺旋絲杠副實際工作過程中內(nèi)部及外部復(fù)雜的傳動力學因素往往是造成滾珠絲杠副失效的主要原因。失效是由接觸應(yīng)力引起的接觸疲勞破壞造成的，降低滾珠接觸應(yīng)力可有效抑制滾珠、絲杠及螺母的磨損，從而提高滾珠絲杠副的工作壽命。國內(nèi)外許多學者對滾珠絲杠副的彈性變形和接觸應(yīng)力進行了深入研究。程光仁等［3］對滾珠絲杠副的接觸變形進行了原理性闡述；Wei等［4］對考慮彈性變形和變化的接觸角情況下的滾珠絲杠副進行了動態(tài)分析；Mei等［5］對存在加工誤差情況下滾珠間的載荷分布進行了計算，提出可通過正向誤差來使載荷分布更加均勻，但誤差會引起滾珠絲杠副的振動；Braccesi等［6］應(yīng)用彈塑性理論對返回裝置變形前后的載荷及應(yīng)力進行了計算和分析。但這些研究都集中于研究工藝參數(shù)對接觸應(yīng)力的影響，運動參數(shù)方面的研究還很少，而合模用絲杠副在實際工作過程中是變速運動，工作負荷也隨著工作過程不斷變化，滾珠和螺母都受到一定程度的沖擊，另外，當絲杠高速運轉(zhuǎn)時，滾珠離心力的作用也不可忽略。

本文主要通過建立滾珠絲杠副的動態(tài)受力模型，將絲杠側(cè)和螺母側(cè)區(qū)別開來，分別推導出包含接觸角等結(jié)構(gòu)參數(shù)以及速度和加速度的彈性形變公式，并進一步分析絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及轉(zhuǎn)速和加速度對接觸應(yīng)力的影響。為方便計算：本文作以下假設(shè)：（1）忽略摩擦力和潤滑因素；（2）滾珠與絲杠和螺母之間是純滾動。

1 滾珠絲杠副動態(tài)受力模型

建立如圖1所示坐標系，X′OYZ′和XOYZ坐標系，X′軸是絲杠軸線方向，YOZ′為絲杠軌道法向截面。

圖1 絲杠副動態(tài)受力模型Fig.1 Dynamic stress model of ball screw

設(shè)滾珠直徑為d，滾珠螺旋副的滾珠中心圓直徑為d0，t為滾道曲率比值，是一設(shè)計經(jīng)驗值，接觸角為β，螺旋升角為λ，導程為L，滾珠絲杠副工作時的瞬時載荷為F，絲杠轉(zhuǎn)速為n，螺母直線運動速度為v，加速度為a，滾珠水平方向的加速度為a1，在接觸力方向上的加速度為a2。滾珠在A點和絲杠接觸，在B點和螺母接觸，考慮到加速度的存在和曲率半徑的不同，2點的接觸應(yīng)力顯然不同。

不考慮滑動，滾珠中心的線速度（v0）為［7］：

絲杠旋轉(zhuǎn)一周，螺母前進一個導程，可以得到螺母的速度：

分別對公式（1）和（2）求導，可得加速度之間的關(guān)系：

由圖1幾何關(guān)系可知：

2 滾珠與絲杠和螺母接觸點的主曲率

如圖1所示，滾珠與螺母軌道接觸點B處的4個主曲率分別為：

式中 R——螺母滾道的一個曲率半徑

螺母側(cè)綜合曲率為：

滾珠與絲杠軌道接觸點A處的4個主曲率分別為：

式中 R22——絲杠滾道的一個曲率半徑

絲杠側(cè)綜合曲率為：

3 動態(tài)載荷與結(jié)構(gòu)、運動參數(shù)的關(guān)系

考慮到螺母加速度的影響，實際工作的載荷（Fd）為：

式中 m1——工作臺質(zhì)量

考慮螺旋升角的影響，若認為在理想工作情況下，軸向工作載荷均勻地分配給所有的工作滾珠，且每個滾珠的法向力的合力通過絲杠軸線，忽略摩擦力因素，則法向力（P）為：

式中 z——總的工作滾珠數(shù)，可以用式（15）近似求

?。?/p>

式中 i——滾珠螺母的工作圈數(shù)乘以列數(shù)

式中 m——滾珠質(zhì)量

a2——接觸力方向上的加速度

r0——滾珠螺旋副的滾珠中心圓半徑

P1——螺母表面法向力

P2——絲杠表面法向力

4 動態(tài)彈性接觸變形計算

根據(jù)彈性接觸理論，2個自由彈性體在壓力P作用下點接觸時，接觸橢圓區(qū)各點的應(yīng)力按半橢球規(guī)律分布，其值為［8］：

礦床儲量規(guī)模分布的數(shù)學模型是根據(jù)礦床儲量的統(tǒng)計自相似性，應(yīng)用概率統(tǒng)計方法建立模型，并通過模型及其分維值的數(shù)理分析，得出不同分維值的地學解釋 [3] 。

其中，長半軸（a）、短半軸（b）的計算公式為：

式中 α、γ——主曲率確定的幾何系數(shù)，由文獻［9］確定

μ1、μ2——材料的泊松比

E1、E2——材料的彈性模量

進一步求出最大接觸應(yīng)力為：

Z軸方向上，絲杠側(cè)和螺母側(cè)曲面均被壓縮，壓縮量為：

式中 J——主曲率值決定的橢圓積分

當2個彈性體均為鋼時，由于鋼的彈性模量E＝2.1×105MPa，泊松比μ＝0.3，螺母表面的接觸彈性形變?yōu)椋?/p>

同理可得絲杠表面的接觸彈性形變：

由式（25）和（26）可知，滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及運動參數(shù)對于絲杠和絲杠螺母的接觸應(yīng)力起著決定性的作用。

5 算例和動態(tài)接觸應(yīng)力影響因素分析

以某型號電動注塑機上滾珠絲杠副為例，分析相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、速度和加速度對絲杠副接觸應(yīng)力的影響。滾珠絲杠副工藝參數(shù)如表1所示。

表1 滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters for ball screw

由于滾珠絲杠副整個工作過程中僅注塑過程存在較大的力的變化，而整個注塑過程可分為圖2中的5個步驟，根據(jù)工作壓力曲線圖2所示，用5段壓力近似代替整個注塑過程，確定各段壓力所占時間比例。由于縱向力與壓力成線性關(guān)系，相應(yīng)地計算各段的工作壓力值，將計算數(shù)值列于表2。滾珠絲杠副的運動參數(shù)如表3所示。

圖2 注塑過程的壓力曲線Fig.2 Pressure curve for plastic injection process

表2 注塑過程的壓力值Tab.2 Pressure value for plastic injection process

表3 滾珠絲杠副的運動參數(shù)Tab.3 Motion parameters for ball screw

5.1 接觸角β對動態(tài)接觸應(yīng)力的影響

根據(jù)公式（18）和（19）得到圖3的彈性變形和接觸角的關(guān)系。由圖3可知，隨著接觸角的不斷增大，螺母側(cè)和絲杠側(cè)接觸應(yīng)力都是不斷減小，當接觸角β接近45°（β＝0.7854rad），接觸彈性變形量趨于平緩。因此，合理地增大接觸角，不僅僅可以減少接觸應(yīng)力，還可以適當?shù)靥岣叨ㄎ痪?。但當接觸角＞45°時，接觸應(yīng)力的變化就不再明顯，而且接觸角的增大會增加螺旋軌道的加工難度，因此設(shè)計時β通常不大于45°。另外，絲杠側(cè)和螺母側(cè)的彈性變形之所以出現(xiàn)圖3中的差異，除了綜合曲率半徑不同之外，滾珠產(chǎn)生的離心力大大增加了螺母側(cè)的彈性形變。

圖3 接觸應(yīng)力和接觸角β之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between contact stress and contact angleβ

5.2 螺旋升角λ對動態(tài)接觸應(yīng)力的影響

根據(jù)（25）和（26）得到圖4中彈性變形量和螺旋升角的關(guān)系。由圖4可知，絲杠側(cè)彈性變形量變化趨勢和螺母側(cè)一致，隨著螺旋升角的增大，接觸應(yīng)力不斷增大，絲杠側(cè)的接觸應(yīng)力之所以小于螺母側(cè)是因為螺母側(cè)要承受來自滾珠的離心力的作用。但考慮到螺旋角與導程之間存在所以螺旋角越小，導程越小，滾珠絲杠副的傳動效率就會急劇降低，高速化性能也會減弱。再考慮到大導程絲杠副的加工是一個難題，所以一般螺旋升角的取值在3°～10°。

圖4 接觸應(yīng)力和螺旋升角λ的關(guān)系Fig.4 Relationship between contact stress and lead angleλ

5.3 速度對動態(tài)接觸應(yīng)力的影響

滾珠在螺旋軌道內(nèi)運動時，會產(chǎn)生離心力的作用，如圖5所示，隨著速度的不斷增大，螺母側(cè)的彈性變形量逐漸變大，速度提高10%，接觸彈性變形量也提高10%，基本呈現(xiàn)線性變化趨勢，絲杠側(cè)不發(fā)生變化。所以對于高速重載的滾珠絲杠副，滾珠質(zhì)量大，運轉(zhuǎn)速度高，此部分的作用力十分明顯。因此，實現(xiàn)重載滾珠絲杠副高速化是很困難的。

圖5 接觸應(yīng)力和速度的關(guān)系Fig.5 Relationship between contact stress and speed

5.4 加速度對動態(tài)接觸應(yīng)力的影響

實際工作過程中，合模機構(gòu)不是勻速運動，螺母也就不可能勻速運動，滾珠也不可能勻速地運行，故工作臺和滾珠速度地變化都會造成沖擊載荷，從而使接觸應(yīng)力增大。本文討論的是高速重載滾珠絲杠副，加速度基本維持在5～15m／s2。如圖6所示，在加速度影響下，螺母側(cè)和絲杠側(cè)的彈性形變趨勢基本一致，加速度增加1m／s2，彈性變形量增加0.5μm。相對離心力引起的變化，加速度對接觸應(yīng)力的影響較小。但對于沖擊載荷較大的滾珠絲杠副，加速度達到一定值時對絲杠副的破壞還是十分明顯的。

圖6 接觸應(yīng)力和加速度的關(guān)系Fig.6 Relationship between contact stress and acceleration

5.5 滾珠螺旋副的滾珠中心圓直徑d0對動態(tài)接觸應(yīng)力的影響

由式（16）和（17）知，滾珠與螺旋軌道的接觸應(yīng)力與滾珠螺旋副的滾珠中心圓d0成反比，d0的增加也會明顯增加絲杠的抗扭剛度和強度，而且，d0增加使設(shè)計大直徑滾珠的滾珠絲杠副成為可能，滾珠直徑越大，承受載荷的能力越強，這對高速重載的滾珠絲杠副具有很大的意義。但美中不足的是d0增加會造成絲杠副的尺寸增加，而滾珠直徑的增大會造成離心力的增加。

6 結(jié)論

（1）滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定了其工作性能，接觸角增大有利于減少接觸應(yīng)力；螺旋升角增大不僅增加接觸應(yīng)力，而且會使加工更加困難；滾珠螺旋副的滾珠中心圓d0和絲杠副接觸應(yīng)力近似反比例變化；

（2）速度對絲杠側(cè)的接觸應(yīng)力影響不大，但對螺母側(cè)接觸應(yīng)力造成很大影響，速度越大，接觸應(yīng)力越大，加速度對絲杠側(cè)和螺母側(cè)都會產(chǎn)生影響，加速度越大，接觸應(yīng)力也越大；

（3）本文推導出的公式，不僅適用于注塑機用滾珠絲杠副，對于普通的滾珠絲杠副也適用。

［1］ 黃步明，許忠斌.高超密精密注塑機的技術(shù)進展及發(fā)展動向［J］.工程塑料應(yīng)用，2002，30（12）：47－49.

Huang Buming，Xu Zhongbin.Technology Development Trend of Carmel High Precision Injection Molding Ma－chine［J］.Engineering Plastics Application，2002，30（12）：47－49.

［2］ Maruyama D，Miyaguchi K.Development of HTF Series Ball Screws for High Load Drive Application［J］.Motion＆Control，2002，13：27－34.

［3］ 程光仁，施祖康，張超鵬.滾珠螺旋傳動設(shè)計基礎(chǔ)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1987：72－102.

［4］ Wei Chin Chung，Lin Jen Fin.Kinematic Analysis of the Ball Screw Mechanism Considering Variable Contact Angles and Elastic Deformations［J］.Journal of Mechanical Design，2003，125：717－733.

［5］ Mei Xuesong，Tsutsumi M，Tao T，et al.Study on the Load Distribution of Ball Screws with Errors［J］.Mechanism and Machine Theory，2003，38：1257－1269.

［6］ Braccesi C，Landi L.A General Elastic－plastic Approach to Impact Analysis for Stress State Limit Evaluation in Ball Screw Bearings Return System［J］.International Journal of Impact Engineering，2007，34：1272－1285.

［7］ 姜洪奎.大導程滾珠絲杠副動力學性能及加工方法研究［D］.濟南：山東大學機械工程學院，2007.

［8］ 徐芝綸.彈性力學（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2006：295－302.

［9］ Liukexin B C.刀具設(shè)計的螺旋面理論［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1984：9－10.

Dynamic Stress Analysis of Ball Screw for Electric Operated Injection Molding Machine

SHEN Xueming1，YUAN Weiming1，CHEN Faxin1，LIU Jixuan2，LI Lingfeng2

（1.Zhejiang Sound Machinery Manufacture Co，Ltd，Hangzhou 310038，China；2.Department of Mechanical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

A dynamic force model of the ball screw used for electric operated injection molding machine was established using contact angle，velocity，acceleration，and others as structure parameters.Relationship between the velocity and acceleration of nut and screw was obtained.The contact stress at the nut and screw sides was described in terms of Hertz stress formula，and the effect of the structure and motion parameters on the contact stress of ball screw was further analyzed.It showed that，for a ball screw，increase in either velocity or acceleration could cause increase in contact stress significantly.

ball screw；injection molding machine；dynamic force model；acceleration；centrifugal force；Hertz contact stress

TQ320.66＋2

B

1001－9278（2012）03－0103－05

2011－12－30

聯(lián)系人，zjsounddjs＠163.com

（本文編輯：劉 學）