丁杰雄，譚 陽，崔浪浪，趙 波，王 偉

(電子科技大學機械電子工程學院，成都 611731）

0 引言

數(shù)控機床加工，尤其是五軸聯(lián)動數(shù)控機床加工作為一種先進的制造方法，在現(xiàn)代加工中有著越來越廣泛的應用。數(shù)控機床出廠安裝、調(diào)試和后續(xù)生產(chǎn)、維護、維修都需要對其加工精度進行測評，機床的加工性能直接反映在工件精度上。評價機床加工精度，其中一個有效的方法是試切機床檢驗試件，檢驗試件的精度可以直接反映機床加工精度和性能。

國家標準中規(guī)定機床檢驗試件分用戶試件和標準試件［1］。用戶試件是由機床使用者提供的面向加工零件的檢驗試件，標準試件是機床行業(yè)使用的面向機床本身的檢驗試件。

美國宇航局(NASA）在1969年提出了NAS979試件對數(shù)控機床進行綜合檢測［2］，如圖1所示。作為一種機床檢驗標準試件，在數(shù)控機床行業(yè)得到了普遍的認同和廣泛應用。

圖1 NAS979試件

NAS979試件由孔、正方形、菱形邊界和3度傾斜的四方形組成綜合體，NAS979在美國波音公司的航空件制造中被要求強制推行。通過基于NAS979試件切削的一系列12項測試，可以綜合反映出機床加工的最大扭矩、最大功率、最大進給步長、過切、欠切、運動精度、重復性和加工精度等。

針對飛機結(jié)構(gòu)件加工特點，中航工業(yè)成都飛機工業(yè)公司提出了一種S形機床檢驗標準試件，并申請了美國專利［3］。它是由給定的離散點通過樣條插值，作為試件的上下邊界，再通過掃掠的方法構(gòu)造出直紋面，如圖2所示。它的設(shè)計表達了航空件的薄壁特性，可以考察多軸機床工作時開、閉角的轉(zhuǎn)換，在航空制造業(yè)中得到了一定的推廣。

圖2 S試件

對于檢驗試件型面精度的測量，通常由三坐標測量儀完成。三坐標測量儀的測試報告能給出測試點相較于理論值的法向誤差，但當測試點較多時，則不便于生產(chǎn)人員快速判斷檢驗試件的加工質(zhì)量。本文研究一種利用數(shù)學分析軟件Matlab對S形檢驗試件進行輪廓誤差處理與顯示的技術(shù)，分別運用了曲線樣條插值和平面線性插值的方法，對理論曲面進行重構(gòu)以及再加入三坐標測量儀測試的型面誤差數(shù)據(jù)后，得到實際S試件的誤差分布三維圖形，并對誤差進行數(shù)據(jù)分析。通過型面構(gòu)造和型面誤差的可視化，較直觀的反映出機床加工精度和性能。

1 S形檢驗試件曲面分析及重構(gòu)

1.1 檢驗試件曲面特點

S試件如圖3所示，可分為大致左右對稱的7個區(qū)域:1、7區(qū)域是試件的兩端，在XOY面單調(diào)遞增，且斜率很大;2、6區(qū)域單調(diào)遞減，且斜率絕對值很大，與前后區(qū)域銜接處出現(xiàn)X方向反向;3、5區(qū)域為平滑弧線，考驗機床動態(tài)跟蹤性能，且該區(qū)域出現(xiàn)Y方向的反向;加工4區(qū)域時，刀具會出現(xiàn)開閉角的轉(zhuǎn)換。

S試件厚度為3mm，屬于薄壁件，剛度小，對振動敏感，需要小進給量，高速加工，對機床剛度要求高。

1.2 樣條插值重構(gòu)曲線

對S試件上下邊界進行重構(gòu)。由給定的50個空間點組成的點集，每個點由x，y，z三個坐標表示。對曲線的插值采用三次樣條插值，這種方法克服了分段三次埃爾米特插值的弱點，它只需要在插值區(qū)間端點比拉格朗日插值多兩個邊界條件，就可以構(gòu)造出插值函數(shù)，而且這類插值函數(shù)在插值節(jié)點處具有二階導數(shù)連續(xù)，從而具有更好的光滑性。樣條插值的思想來源于工程實際問題，而它成熟的數(shù)學方法又在工程實際中得到廣泛應用［4］。

圖3 S試件俯視圖

三次樣條曲線是由多段三次多項式曲線光滑拼接而成，相鄰段之間端點處的一階導數(shù)與二階導數(shù)相同。設(shè)平面上有n個節(jié)點，表示為式(1）:

并且相鄰樣條曲線節(jié)點處的一階導數(shù)和二階導數(shù)相等，如式(3）所示:

在滿足上面條件的情況下，再增加邊界條件，用待定系數(shù)法可依求出n個分段三次多項式，把這n個分段多項式統(tǒng)稱為該問題的三次樣條插值函數(shù)。限定兩端切線方向，給定兩端切向量。認定曲線在第1段與最后一段(n-1段）為拋物線，即這兩段曲線的二階導數(shù)為常數(shù)，讓端點處的二階導數(shù)為?［5］。

將S試件原始點位數(shù)據(jù)載入Matlab，共兩組數(shù)據(jù)，每組50個點，每個點由X，Y，Z三個坐標值表示，相鄰點之間直線距離為13.65mm左右，作為曲線顯示間隔偏大，需通過插值密化顯示點。

表1 S試件部分原始點位數(shù)據(jù)

spline函數(shù)就是Matlab中三次樣條插值的函數(shù)名。運用此函數(shù)將第一組點位數(shù)據(jù)載入，結(jié)果如圖4所示。

可以看出插值效果不好，圖中小圓點為插值節(jié)點，在S試件的2356區(qū)域出現(xiàn)了很大振蕩。出現(xiàn)這一情況的原因是，S件1，2，6，7區(qū)域在x方向不單調(diào)且斜率趨近于無窮，而式(1）中的限制條件x1＜x2＜…xn，要求插值節(jié)點應單調(diào)遞增。通過計算機的數(shù)值插值計算，出現(xiàn)了圖形的劇烈跳動。

圖4 下邊界樣條插值效果圖

1.3 分段線性插值重構(gòu)曲線

針對上述遇到的困難，改用分段線性插值，通過密化插值點位，運用線性插值，以解決曲線振蕩問題。類似的，設(shè)平面上有n個節(jié)點，表示為式(4）:

L(x）表示分段函數(shù)，且:

第i段的函數(shù)表達式為:

直接采用50個點位分段線性插值，弦高約為0.35mm。增加從S件數(shù)字模型上提取的數(shù)據(jù)點，在200個左右出現(xiàn)拐點。綜合精度與計算量兩方面因素，在試件頂部和底部輪廓線上各提取225個插值節(jié)點進行分段線性插值，較為合適。由于是以直線代替樣條曲線，在S件曲率最大的3號區(qū)域，將圖形放大如圖5所示。

圖5 S試件底部輪廓線放大對比圖

虛線為分段插值的直線，實線為沒有振蕩現(xiàn)象的樣條曲線，可以看到弦高大約為0.05mm。密化后兩相鄰插值節(jié)點間的距離為3mm左右，弦高占節(jié)點間距的1.67%，在視覺感受中差別可忽略，因此可將分段插值用作顯示的基準輪廓偏差。結(jié)果如圖6所示。

圖6 S試件頂部和底部輪廓線

1.4 三維線性插值重構(gòu)曲面

類似分段線性插值的方法，通過三維線性插值的方法可對點云數(shù)據(jù)劃分網(wǎng)格，重構(gòu)三維曲面。這種方式應用較廣，一般說來在曲面曲率較大時，點云分布較密集［6］。

由于S試件沿z軸方向曲率變化不大，在S試件的數(shù)字模型上采用均勻取點的方式，朝向Y軸負方向的表面上，選取15層，每層按圖6均勻選取225個插值節(jié)點，對曲面進行重構(gòu)。每個節(jié)點有x，y，z三個坐標值，將點位數(shù)據(jù)整理成3個225*15的矩陣［xi］，［yi］，［zi］，分別代表所有節(jié)點在 x，y，z三個方向的坐標。Matlab提供了繪制陰影曲面的surf函數(shù)，構(gòu)造出的曲面是由很多較小的四邊形構(gòu)成。代碼為:surf(xi，yi，zi，ones(225，15））。繪制的 S 試件基準顯示型面如圖7所示，星號為坐標原點:

圖7 S試件型面網(wǎng)格圖

2 基于測試點云的檢驗試件輪廓誤差處理及可視化

2.1 S試件的型面法向誤差插值

三坐標測量儀得到的是各測試點相對基準型面的法向誤差，測量時需要輸入測試點的三維坐標以及測量頭的進給方向?？紤]到測量機的檢測效率，不可能按圖7中S型面225*15個節(jié)點來測量曲面上每個點的偏差數(shù)據(jù)，僅需測量重點區(qū)域的部分點位，一般選擇實際加工中容易出現(xiàn)超差的100個點，其余節(jié)點的誤差可通過插值的方法來估計。一般情況下，S試件的1，7區(qū)域，由于端部屬懸臂支撐，剛度小;試件3，5區(qū)域的曲率最大;4號區(qū)域出現(xiàn)了機床開閉角的轉(zhuǎn)換，在這些區(qū)域選擇測試點位適當密集些。

根據(jù)測試點位的離散誤差數(shù)據(jù)，利用插值方法使其分布在S試件整個表面。為使圖7中225*15個節(jié)點都有誤差，需對法向誤差數(shù)據(jù)進行二維插值。如圖8所示設(shè)四個插值點(矩形的四個頂點）處的誤差值為式(8）:

圖8 二維插值原理圖

運用Matlab自帶的一般分布二維散點數(shù)據(jù)插值函數(shù)，代碼如下:ci=griddata(x，y，c，xi，yi，＇v4＇）。其每個參數(shù)的含義如下:

ci:每個插值節(jié)點插值后的法向誤差數(shù)據(jù)，為一個225*15的矩陣。

griddata:非網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值函數(shù)名，由于測量點為離散點，所以用此方法進行插值計算。

(3)運用SVM算法[7]，檢索提取的特征向量構(gòu)成的最優(yōu)超平面，并以此來構(gòu)造寫作風格分類器，通過利用訓練集的數(shù)據(jù)進行訓練，得到作者身份識別模型。

x:測試點x坐標，為一個100*1的矩陣，表示100個測試點的x坐標值。

y:同 x。

c:實際測量100個測試點對應的法向誤差。

xi:插值節(jié)點x坐標，為一個225*15的矩陣。

yi:同 xi。

＇v4＇:griddata函數(shù)中的一種插值方法，其余方法還有＇linear＇、＇nearest＇、＇spline＇、＇cubic＇，分別代表雙線性插值、最近鄰插值、三次樣條插值、雙三次插值，＇v4＇代表Matlab4.0提供的非網(wǎng)格數(shù)據(jù)優(yōu)化插值算法，公認效果較好。將100個測試點位的法向誤差映射到S試件基準型面的225*15個顯示節(jié)點上，從而形成密化的誤差數(shù)據(jù)。

值得一提的是，上一小節(jié)提到的網(wǎng)格重構(gòu)曲面的方法用于顯示試件型面，它會引入微小誤差，這種誤差表示重構(gòu)后的型面和理論型面之間的差異，在視覺上這種微小誤差是不會影響試件型面的可視化顯示的。本小結(jié)提到以試件法向誤差與重構(gòu)型面時引入的微小誤差不同，它表示通過三坐標測量機測量出的實際零件型面和理論型面之間的法向距離。

2.2 將法向誤差分解在坐標軸上的處理方法

為了得到S試件基準型面上的每個節(jié)點疊加法相誤差后的實際位置，需將每個節(jié)點的法向誤差投影在x，y，z軸上，與該節(jié)點的基準坐標位置進行相加運算。計算圖7中試件型面各節(jié)點的法向方向。由插值點的前后左右相鄰兩點與之構(gòu)成的交叉向量叉乘，法向量n=A×B，原理如圖9所示。

圖9 求曲面法向原理圖

計算結(jié)果如圖10所示。

圖10 S試件節(jié)點法向圖

根據(jù)空間幾何平行四邊形法則，可求得S試件基準顯示型面上每個節(jié)點在坐標軸上的投影分量，矩陣［ci］的每個元素分別乘以矩陣［u］［v］［w］的對應元素，得到的矩陣［cx］，［cy］，［cz］即是誤差在各坐標軸上的投影。

2.3 等高線方式顯示誤差

S試件實際點云可以由誤差數(shù)據(jù)加上理論點位坐標數(shù)據(jù)而來。通過類似等高線的方式可以表示S試件型面。這樣的表示方法，可以作為機床加工S試件表面走刀路徑的參考，但由于加工誤差的數(shù)量級為亞毫米級，表示出來很不明顯。沈向東針對傳統(tǒng)方法檢測零件表面的缺點，研究開發(fā)出了零件表面檢測系統(tǒng)，旨在對超精密加工的零件表面質(zhì)量進行檢測、分析與評價，他將零件表面的三維立體圖沿其高度方向上放大了一千倍，而使表面的狀態(tài)峰谷高度差變得明顯，可以清晰地看出零件表面的紋路方向［7］。本文采用類似的方法，將 S試件的誤差［cx］，［cy］，［cz］矩陣乘上一個放大系數(shù) 10 后，結(jié)果如圖11所示。

圖11 S試件等高線放大誤差圖

可以看出，S試件型面不再光滑，有明顯的凹凸感，配合文字注釋，有助于對S試件質(zhì)量作出快速判斷。

2.4 灰度方式顯示誤差

以等高線的方式表示誤差分布，雖然可以快速判斷試件表面質(zhì)量好壞，但無法知道誤差的大小，配合灰度比對表以灰度的方式表達試件表面誤差的分布，可以解決上述的弊端。這種方法可用于顯示誤差，也常見于溫度場，流速場的繪制中［8］。針對S試件的誤差表達，運用灰度對型面網(wǎng)格著色，來區(qū)別誤差的正負、大小，越亮表示正誤差越大，越暗表示負誤差越大。配合灰度譜，可以很快的得到試件的誤差分布和大致的誤差大小，如圖12所示。

圖12 S試件灰度顯示誤差圖

從圖中右側(cè)的灰度譜可以判斷S試件的誤差大都分布在-015mm～+0.1mm之間。

值得一提的是，若以彩色塊顯示的方式表達型面誤差效果更佳，由于文章排版受限，本文以灰度方式顯示誤差。

2.5 動態(tài)圖形的輸出

以上兩種誤差顯示方法只表示了一個視角的S試件的誤差分布，在Matlab中可以通過鼠標旋轉(zhuǎn)觀察，但不方便移植在其他平臺上。運用Matlab的文件寫入函數(shù)可以實現(xiàn)gif動態(tài)圖形格式的輸出，可以將S試件的顯示制作為旋轉(zhuǎn)的動畫。原理是通過設(shè)定的圖形旋轉(zhuǎn)角度和動畫幀數(shù)，將每一幀圖片寫入到指定路徑下的gif文件當中。

3 結(jié)束語

(1）運用計算機數(shù)值計算對S型檢驗試件上下邊界曲線進行樣條插值，在曲線不單調(diào)的情況下很難得到理想插值結(jié)果，并針對這一現(xiàn)象提出了一種針對點云數(shù)據(jù)分段線性插值的替代方法。

(2）基于數(shù)學軟件Matlab，針對S形檢驗試件完成了對其曲面重構(gòu)和誤差分析及誤差可視化的工作，對生產(chǎn)加工有重要的意義。并且文中所述的方法能比較容易的運用在其他型面的構(gòu)造中，具有較強的可移植性。

［1］GB-T17421.1-1998機床檢驗通則第1部分［S］.

［2］NAS979.Uniform cutting test-NAS series，metal cutting equipment［S］.NAS，USA，1969.

［3］Z.Y.Song，Y.W.Cui.Sshape detection test piece and a detection method for detection the precision of the numerical control milling machine［P］.US，0004777，2010.

［4］鐘爾杰，黃庭祝.數(shù)值分析［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［5］張德豐，趙書梅，劉國希.MATLAB圖形與動畫設(shè)計［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2009.

［6］Won-Ki Jeong，Kolja Kahler，Jorg Haber，Hans-Peter Seidel.Automatic Generation of Subdivision Surface Head Models from Point Cloud Data［J］.International Graphics Interface 2002 Confence:181-188.

［7］沈向東.精密加工表面粗糙度測量數(shù)據(jù)分析評價方法的研究［J］.硅谷 SILICON VALLEY，2009(5）:114-115.

［8］Nina Amenta，Marshall Bern，Manolis Kamvysselis.A New Voronoi-Based Surface Reconstruction Algorithm ［J］.SIGGRAPH”98 Proceedings of the 25th annual conference on Computer graphics and interactive techniques:415-421.