張 宇，黃偉志，陳凱歌

(天津工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，天津 300387)

隨著Harris等人從理論上證明超分辨率恢復(fù)的可行性以來，圍繞圖像超分辨率重建的研究就一直沒有間斷過.起初，超分辨率的研究是沿著傅里葉光學(xué)理論而進(jìn)行的，隨著超分辨率應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，研究方法也不斷豐富起來.從單幅圖像到單幅圖像的超分辨率重建發(fā)展到多幅圖像到單幅圖像的超分辨率重建，進(jìn)而發(fā)展到現(xiàn)在的序列圖像到序列圖像的超分辨率重建，這一發(fā)展就是從單一遙感圖像獲得更高分辨率的觀測再發(fā)展到從多幅遙感圖像獲得更高分辨率的觀測.

1 概述

1.1 最大似然(ML)方法

根據(jù)最大似然估計(jì)法，對未知高分辨率圖像X的估計(jì)，可以通過最大化條件概率密度函數(shù)P{Y/X}得到[1].假設(shè)測量加性噪聲是零均值高斯隨機(jī)過程，其互相關(guān)矩陣為W-1.經(jīng)過幾次代數(shù)變形，ML估計(jì)變成了加權(quán)最小平方估計(jì):

(1)

將式(1)關(guān)于x求導(dǎo)并令其為0，給出經(jīng)典的偽逆結(jié)果:

(2)

(3)

(4)

在式(1)引進(jìn)局部自適應(yīng)正則化技術(shù)，以利用圖像的平滑性.則式(1)變?yōu)?/p>

(5)

式中，S為高斯算子，V為權(quán)重矩陣(根據(jù)每個(gè)像素點(diǎn)的平滑性先驗(yàn)信息懲罰非平滑)，β為正則化系數(shù).β取值過大，會使算法結(jié)果收斂發(fā)生抖動;取值過小，則收斂較慢，良好的β取值會在控制圖像保真度的同時(shí)保持算法的較快收斂.同樣,關(guān)于x求導(dǎo)并令其為0，得到的解為式(2)，只是式(3)中R增加一個(gè)新項(xiàng)，即

(6)

1.2 最大后驗(yàn)概率(MAP)方法

根據(jù)MAP估計(jì)器，加性噪聲、觀測圖像和理想圖像均假設(shè)為統(tǒng)計(jì)信號.未知高分辨率圖像X的MAP估計(jì)可通過最大化理想圖像的條件概率密度函數(shù)P{X/Y}得到.由Bayes定理，相當(dāng)于最大化函數(shù)P{X/Y}·P{X}，因此，當(dāng)X為等概率分布時(shí)，MAP估計(jì)等于ML估計(jì)[2].

若設(shè)觀測的加性噪聲為零均值高斯隨機(jī)過程，其互相關(guān)矩陣為W；X也是零均值高斯隨機(jī)過程，其互相關(guān)矩陣為Q，則MAP估計(jì)器變成了MMSE估計(jì)器.同樣,經(jīng)過幾次代數(shù)推導(dǎo)，MAP估計(jì)給出

式(7)關(guān)于x求導(dǎo)并令其為0，得：

(8)

1.3 凸集投影(POCS)方法

POCS方案需要在一個(gè)完備的矢量空間上定義閉的凸集約束集.超分辨率圖像的估計(jì)作為一個(gè)點(diǎn)定義在這些約束集的交上，且通過把一個(gè)任意的初始估計(jì)不斷投影到這些約束集上而得到.或者說POCS方法使用集合理論，把需要重建的圖像的各種先驗(yàn)信息定義為約束凸集，理想圖像估計(jì)作為一個(gè)點(diǎn)被包含在這些凸集合的交集內(nèi).

GK={X|‖DKCKFKX-YK‖2≤1}, 1≤K≤N.

(9)

這樣就定義了N個(gè)凸集—橢圓體.假設(shè)噪聲為加性白噪聲，則WK=σK-2I.另外，基于∞距離的約束形式有

Gk(m，n)={X|[DkCkFkX-Yk](m-n)-Yk(m，n)≤δk(m，n)},

1≤K≤N；?(m，n)∈θk,

(10)

也可以定義約束平滑集合:

(11)

(12)

其中,θ0是理想圖像的支撐域,也可附加非線性約束如能量、相位、支撐域或其他的約束.一個(gè)常用的約束是施加幅度的約束:

GA={x(mn，n)|A1≤x(m，n)≤A2}, ?(m，n)∈θ0,

(13)

式(13)中,A1和A2分別是圖像灰度的下界和上界.假設(shè)總共定義了μ個(gè)凸集，考慮到理想圖像落在每個(gè)集合內(nèi)，POCS方法就是通過把圖像當(dāng)前估計(jì)投影到這些集合上，使得最后的解落在圖像解空間與約束凸集的交集內(nèi)，投影迭代如下:

Xk+1=PuPu-1…P2P1{Xk} ,

(14)

其中，Pj代表已知點(diǎn)在第j個(gè)凸集上的投影.引入松弛算子，T≈(1-λ)I+λP；0<λ<2算法收斂可以加速(但不利于保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié))，然后根據(jù)迭代次數(shù)，或比較前后兩次迭代的結(jié)果是否落在既定的小范圍內(nèi)，終止迭代[4].

1.4 MAP/POCS混合方法

由上可知，MAP和ML兩種方法的結(jié)果基本相同，其缺點(diǎn)是很難將非二次先驗(yàn)信息包含到算法中來，所以定義一個(gè)新的凸集優(yōu)化函數(shù)如下:

mine2={[Y-HX]TW[Y-HX]+β[SX]V[SK]}, {X

(15)

表的可能形式

2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果比對

實(shí)驗(yàn)中，選取大小為128×128的Lena標(biāo)準(zhǔn)圖像[6].首先,把標(biāo)準(zhǔn)圖像降采樣成低分辨率的64×64的圖像,然后分別用凸集投影(POCS)方法和最大后驗(yàn)概率(MAP)方法把低分辨率圖像擴(kuò)大成128×128的高分辨率圖像[7].

2.1 MAP方法的具體實(shí)施步驟

(1)對目標(biāo)函數(shù)的梯度進(jìn)行計(jì)算，gi=▽φ(xc).

(2)利用P=I-HcT(HcHcT)Hc=I-q2HcHcT式定義的投影操作算子，將梯度投影pi=-pgi映射到約束空間.

(4)對迭代結(jié)果進(jìn)行更新，xck+1=xck+τipi.

2.2 POCS方法的具體實(shí)施步驟

(1)當(dāng)n=0時(shí)，高分辨率圖像的初始解f(0)為參考圖像的線性插值，n為迭代次數(shù).

(2)重復(fù)步驟(1)至步驟(7)，直到f(n)的收斂.

① FORn=1,NDO BEGIN(N為最大迭代次數(shù))；

② FORi=1,PDO BEGIN(P為低分辨率圖像的數(shù)量)；

③ 根據(jù)f(n+1)=p1p2p3…pkf(n)，對高分辨率圖像進(jìn)行更新；

④i=i+1；

⑤ ENDFOR；

⑦n=n+1；

⑧ ENDFOR.

由圖1可以看出圖像重建的結(jié)果,圖1(c)是MAP法重建結(jié)果，圖1(d)是POCS法重建結(jié)果.

圖1 Lena圖像重建仿真

表2 MAP方法和POCS方法重建結(jié)果的評價(jià)

為量化比較MAP與POCS兩種方法，將重建結(jié)果的客觀評價(jià)指標(biāo)均方誤差與峰值信噪比的值記錄于表2.由于均方誤差值越小越好、峰值信噪比值越大越好，故表2中的數(shù)據(jù)論證得出POCS方法優(yōu)于MAP方法.

3 結(jié)論

本研究對圖像超分辨率重建的理論和方法進(jìn)行了介紹，在圖像超分辨率重建算法及重建結(jié)果的評價(jià)及圖像超分辨率重建技術(shù)的應(yīng)用等方面進(jìn)行了分析.并對最大后驗(yàn)概率(MAP)和凸集投影(POCS)兩種方法進(jìn)行了討論，總結(jié)了其基本思想與算法流程.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，兩種方法均能在圖像超分辨率重建中取得比較明顯的超分辨率重建效果而且POCS方法較優(yōu)于MAP方法.

參考文獻(xiàn)：

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[2] Wadaka S,Sato T.Super-resolution in imaging system[J].Journal of the Optical Society of America,1975，65(3)：354-355.

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[4] 陳華，金偉其，王霞，等.基于小波包分析的三維寬場顯微圖像復(fù)原方法[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，26(1)：72-75.

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[6] Hunt B R.Super-resolution of image[J].Imaging Systems and Technology，1995(6)：297-304.

[7] 邢仁杰，葉清秀.計(jì)算機(jī)圖像處理[M].杭州： 浙江大學(xué)出版社，1994:34-57.