吳偉琦

(1．廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系, 中國 南寧 530001；2．桂林師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系,中國 桂林 541001；3．百色學(xué)院科研處，中國 百色 533000)

在計(jì)算機(jī)視頻監(jiān)示器和電視機(jī)視頻顯示中的色彩是通過紅(R)、綠(G)、藍(lán)(B)3種基色來具體體現(xiàn)的，每種基色各有0～255共256種色階，3種基色的色階的每種組合代表一種顏色，改變視頻監(jiān)視器中某個(gè)顏色寄存器的值,在監(jiān)視器中即可產(chǎn)生出相應(yīng)的可顯示顏色.

隨著視頻顯示技術(shù)的不斷發(fā)展,視頻顯示器上所能顯示的顏色也將會(huì)越來越多,基色的種數(shù)也將不局限于3種,各種基色的色階的取值范圍也將不局限在0～255之間.

文獻(xiàn)[1]討論了三基色的色彩的有序平滑顯示算法,且只研究了每種基色取值范圍都是0～255的情形，文獻(xiàn)[2]討論了三基色的基色色階的取值范圍不同時(shí)的有序平滑顯示算法．本文利用圖論的方法從理論上討論基色種數(shù)為4種且每種基色的色階取值范圍不同的情形下的有序平滑顯示算法.

1 基本概念

類似于文獻(xiàn)[1]給出下列基本概念：

定義1稱C(g1,g2,g3,g4)為色彩函數(shù)，其中g(shù)1,g2,g3,g4為色彩的4種基色的色階,C(g1,g2,g3,g4)是由4種基色G1,G2,G3,G4的取值組合成的色彩值. 稱C(g1,g2,g3,g4)組成的集合為色彩集,記作

C={C(g1,g2,g3,g4)|0≤gj≤rj,(gj,rj是正整數(shù),j=1,2,3,4)}.

定義2對(duì)于色彩集C中的任意兩個(gè)不同的元素Cx=Cx(g1x,g2x,g3x,g4x)和Cy=Cy(g1y,g2y,g3y,g4y),定義函數(shù)關(guān)系：Φ(Cx,Cy)=|g1x-g1y|+|g2x-g2y|+|g3x-g3y|+|g4x-g4y|,若Φ(Cx,Cy)=1,則稱色彩值Cx和Cy是1-相鄰的, 此時(shí)稱Φ為色彩值1-相鄰規(guī)則.

對(duì)于色彩集C,根據(jù)色彩值1-相鄰規(guī)則,可以構(gòu)造一個(gè)色彩值1-相鄰點(diǎn)對(duì)集：

D(C)={(Cx,Cy)|Cx,Cy∈C,且Cx≠Cy,Φ(Cx,Cy)=1}.

定義3對(duì)于任意的Cx,Cy∈D(C),構(gòu)造一條邊連結(jié)Cx,Cy兩點(diǎn),記為e(Cx,Cy),稱e(Cx,Cy)為色彩值1-相鄰規(guī)則Φ下的色彩相鄰邊.

顯然,所有色彩相鄰邊e(Cx,Cy)可構(gòu)成一集合,記為E,即E={e(Cx,Cy)|Cx,Cy∈D(C)且Cx≠Cy}.

由以上三定義,可得到一種特殊的圖的定義.

定義4由色彩集C,色彩相鄰邊集E以及色彩值1-相鄰規(guī)則Φ構(gòu)成的三元有序數(shù)組G=(C,E,Φ)稱為基于G1,G2,G3,G4的四基色的色彩圖,簡稱色彩圖.

顯然，以上定義的色彩圖與圖論中圖的概念是完全一致的，相應(yīng)的色彩顯示問題就轉(zhuǎn)換成了圖論上著名的Hamilton圈存在性問題，也即在色彩圖上是否存在Hamilton圈. 于是，對(duì)于以上定義的色彩圖,若在其上存在Hamilton圈，則存在一個(gè)全部色彩的計(jì)算機(jī)平滑循環(huán)顯示算法.

本文以G1,G2,G3,G4為坐標(biāo)軸構(gòu)造四維空間坐標(biāo)系,設(shè)g1,g2,g3,g4的取值范圍分別為: 0≤gj≤rj,(j=1,2,3,4),由此構(gòu)造一個(gè)四維立方體,對(duì)該立方體施以長為1的劃分,則可形成一個(gè)四維立體圖G,由于色彩函數(shù)值C(g1,g2,g3,g4)與四基色G1,G2,G3,G4的取值是一一對(duì)應(yīng)的,于是可將四維立方體上的點(diǎn)(g1,g2,g3,g4),(0≤gj≤rj,j=1,2,3,4),與色彩值C(g1,g2,g3,g4)相對(duì)應(yīng),顯然,四維立方體圖G與色彩圖是同構(gòu)的,從而討論色彩圖的Hamilton圈的存在性,只需討論四維立方體圖G的Hamilton圈的存在性.

2 主要結(jié)果及證明

引理1[3]一個(gè)簡單無向圖為偶圖的充要條件是不含奇圈.

引理2[3]若G是Hamilton圖,則對(duì)V(G)的每個(gè)非空真子集S,均有ω(G-S)≤|S|. 其中ω(G-S)是圖(G-S)的連通分支數(shù).

定理1設(shè)四維立方體圖G=(C,E,Φ)中的頂點(diǎn)(g1,g2,g3,g4)各分量的取值范圍為: (0≤gj≤rj,j=1,2,3,4),則G存在Hamilton圈的充要條件是r1,r2,r3,r4中至少有一個(gè)為奇數(shù).

證必要性的證明，因?yàn)樗木S立方體圖G=(C,E,Φ)的頂點(diǎn)數(shù)等于(r1+1)(r2+1) (r3+1)(r4+1). 如果所有rj(j=1,2,3,4)為偶數(shù),則(r1+1)(r2+1) (r3+1)(r4+1) 為奇數(shù).又由于四維立方體圖G=(C,E,Φ)不存在奇圈,所以由引理3.1知它是偶圖,設(shè)此偶圖的二分類為{S1,S2},因|S1|+|S2|=(r1+1)(r2+1) (r3+1)(r4+1) 為奇數(shù),于是不妨設(shè)|S1|>|S2|,由偶圖的性質(zhì)知G-S2=S1是G的獨(dú)立集,所以ω(G-S2)=|S1|>|S2|,根據(jù)引理3.2,四維立方體圖G=(C,E,Φ)不是Hamilton圖.

充分性的證明,若ri(i=1,2,3,4)中至少有一個(gè)為奇數(shù),不妨設(shè)r3是奇數(shù),此時(shí)只需在四維立方體圖G中找出一個(gè)Hamilton圈即可.現(xiàn)將G的頂點(diǎn)列成表1.

表1 四維立方體圖G的頂點(diǎn)

續(xù)表

續(xù)表

圖1 G中的一個(gè)Hamilton圈示意圖

顯然,表中任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)在圖G中也是相鄰的.因?yàn)閞3是奇數(shù),所以表1排列的頂點(diǎn)共有偶數(shù)行,于是易找出四維立方體圖G的Hamilton圈,例如,如圖1所示的連接方式就構(gòu)成四維立方體圖G中的一個(gè)Hamilton圈.

推論1[1]三維“格子籠”圖G=(V,E),其中

V={(r,g,b)|0≤r,g,b≤n且r,g,b和n是整數(shù),n≥1}

E={((rx,gx,bx),(ry,gy,by))||rx-ry|+|gx-gy|+|bx-by|=1}

則圖G存在Hamilton圈的充要條件是n為奇數(shù).

推論2[2]設(shè)三維“格子籠”圖G=(V,E)，其中

V={(r,g,b)|0≤r≤n1,0≤g≤n2,0≤b≤n3且r,g,b和ni是整數(shù),ni>1(i=1,2,3)},

E={((rx,gx,bx),(ry,gy,by))||rx-ry|+|gx-gy|+|bx-by|=1}.

則圖G存在Hamilton圈的充要條件是ni(i=1,2,3)中至少有一個(gè)為奇數(shù).

3 結(jié)束語

顯示技術(shù)從最初的單基色顯示、雙基色顯示到現(xiàn)今普遍使用的三基色顯示，且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而不斷提高．目前對(duì)多基色顯示技術(shù)也在廣泛討論和研究，像四基色，六基色的LED顯示已開始應(yīng)用了，本文討論的四基色平滑顯示算法為多基色技術(shù)提供了一個(gè)平滑顯示的理論依據(jù)．

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