楊 慧

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

一類時滯三維離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性和分支

楊 慧

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

討論了一類帶時滯的離散三維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.利用數(shù)學(xué)分析技巧，對線性化系統(tǒng)的特征根進(jìn)行分析，獲得了平衡點的局部穩(wěn)定性及分支點，并利用規(guī)范型和中心流形理論得出了決定分支方向和穩(wěn)定性的公式.

離散系統(tǒng)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；穩(wěn)定性；分支

1 引 言

在文［1］中作者建立了如下的模型：

本文考慮更一般的系統(tǒng)

其中xi是第i個神經(jīng)元的活動狀態(tài)，正常數(shù)τ和b分別表示兩個神經(jīng)元之間的時滯和連接權(quán)值，fij→是C1類信號傳輸函數(shù)且fij（0）＝0，f′ij（0）＝1，i，j＝1，2，3.

在系統(tǒng)（2）中，令xi（τt）＝ui（t），i＝1，2，3，得

將系統(tǒng)（3）離散化，得

2 分支的存在性

顯然（0，0，0）點是系統(tǒng)（4）的平衡點，在此平衡點線性化系統(tǒng)（4），得

記φj（j＝0，1，2）為v（t）的3個零點，則可得φ0＝0，φ1＝arccos，φ2＝π，且u（φ0）＝1-β，u（φ2）＝1＋β.由文［2］的結(jié)論可得

定理3 （i）當(dāng)且僅當(dāng)（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1-β，-α≠u（φ1）｝時，系統(tǒng)（4）在平凡解處存在Pitchfork分支；

（ii）當(dāng)且僅當(dāng)（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1＋β，-α≠u（φ1）｝，系統(tǒng)（4）在平凡解處存在Flip分支；

（iii）當(dāng)-α＝u（φ1），2α≠u（φ0），u（φ2）時，系統(tǒng)（4）在平凡解處存在Neimark-Sacher分支.

定理1 當(dāng)（α，β）∈X1∩（X2∪X3）時，系統(tǒng)（4）的平凡解是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證可驗證當(dāng)（α，β）∈X1∩（X2∪X3）時，｜λ｜＜1.

定理2 下列（i）-（iii）中的任一情形成立，系統(tǒng)（4）的平凡解是不穩(wěn)定的.

則μ＝-α，2α?xí)r，P（λ）中對應(yīng)的λ值為特征方程（6）的解.定義Σ曲線如下：

3 分支的方向和穩(wěn)定性

本節(jié)主要采用文［5］中介紹的規(guī)范型理論和中心流形理論方法，來研究系統(tǒng)（4）分支的方向和穩(wěn)定性.進(jìn)一步作如下假設(shè)：

（H1）fij＝f∈C3），f（0）＝0，f?（0）≠0，i，j＝1，2，3.

首先考慮Neimark-Sacher分支，作如下的假設(shè)：

（H2）β2＜4α，-α＝u（φ1），2α≠u（φ0），u（φ2），記此時β＝β＊.

采用同文［2］中相同的記號u0＝u（φ1），λ0＝.設(shè)U是U（n）的第j個分量，F(xiàn)：6→6，

其中Fj（Un）是F（Un）的第j個分量，則系統(tǒng)（4）可重新改寫成

設(shè)A＝D F（0），B＝D2F（0），C＝D3F（0），易知det（λI d-A）＝λ3Δ（λ）.

由以上討論，有以下的結(jié)論.

定理4 在條件（H1）和（H2）下，系統(tǒng)（4）在β＝β＊處存在Neimark-Sacher分支，分支的方向和穩(wěn)定性由sgn｛f?（0）｝來決定.進(jìn)一步有：若f?（0）＞0（或＜0），則Neimark-Sacher分支是上臨界（或下臨界）的，也即當(dāng)-α＞u（φ1）（或＜u（φ1））時，系統(tǒng)（4）出現(xiàn)閉的漸進(jìn)穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的不變曲線分支.

證當(dāng)-α＝u（φ1）時，有α＝1，則

接下來考慮Pitchfork分支的方向和穩(wěn)定性，為此做如下假設(shè)：

（H3）（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1-β，-α≠u（φ1），記此時β＝β＋＝1-2α.由定理3（i）知，當(dāng)β＝β＋時，Δ（λ）有一根λ＝1，則此時A在單位圓周上也有一根λ＝1在上一段的討論中.用1代替λ0，可得相應(yīng)的p，q的表達(dá)式.

對任意向量U∈R R6能唯一地表示成U＝z q（β）（對某個z∈R R），顯然z＝〈p（β），U〉，則系統(tǒng)（9）被重新改寫成

定理5 在條件（H1）和（H3）下，系統(tǒng)（4）在β＝β＋附近存在Pitchfork分支，分支的方向和穩(wěn)定性由sgn｛f?（0）｝來決定.進(jìn)一步有：若f?（0）＜0（或f?（0）＞0），系統(tǒng)（4）在2α＞1-β（或2α＜1-β）時有兩非平凡解存在；當(dāng)2α穿過1-β時，這兩非平凡解在原點重合；當(dāng)2α＜1-β（或2α＞1-β）時，系統(tǒng)（4）只剩下平凡解一個解，而且當(dāng)-α＞u（φ1）時，這兩非平凡解是穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的.

證由于β∈（0，1），所以（14）式右邊的符號由f?（0）來決定，而

最后，利用類似上面的討論方法可得Flip分支的方向和穩(wěn)定性，作假設(shè)如下：

（H4）（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1＋β，-α≠u（φ1）｝，記此時β＝β-＝2α-1，則系統(tǒng)（4）在β＝β-處的三階規(guī)范型是

其中λ′（β-）＜0，g3（β-）＝6αf?（0）.

定理6 在條件（H1）和（H4）下，系統(tǒng)（4）在β＝β-附近存在Flip分支，分支的方向和穩(wěn)定性由sgn｛f?（0）｝來決定.進(jìn)一步有：若f?（0）＜0（或f?（0）＞0），系統(tǒng)（4）的Flip分支是上臨界（或下臨界）的，也即當(dāng)2α＞1＋β（或2α＜1＋β）時系統(tǒng)（4）存在2—周期解，且當(dāng)-α＞u（φ1）時該解是穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的.

［1］ Lin Y，Lemmert R，Volkmann P.Bifurcation of periodic solution in a three-unit neural network with delay［J］.Acta.Math.Appl.Sin.，2001，17（2）：375-382.

［2］ Guo S，Huang L.Stability and bifurcation in a discrete system of two neurons with delays Nonlinear Anal［J］.Real World Appl.，2008，9（4）：1323-1335.

［3］ Yuan Z，Hu D，Huang L.Stability and bifurcation analysis on a discrete-time neural network［J］.Comput.Math.Appl.，2005，177：89-100.

［4］ Sharyer L，Campbell S A.Stability bifurcation and multistability in a system of two coupled neurons with multiple time delays［J］.SIAM J.Appl.Math.，2000，61：673-700.

［5］ Kuznetsov Y A.Elements of applied bifurcation theory［M］.2ed.，New York：Springer，1998：193-239.

［6］ 楊慧，莫道宏，王良龍.一個離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的分支［J］.合肥學(xué)院學(xué)報，2009，19（4）：16-19.

Stability and Bifurcation Analysis on a Three-unit Discrete-time Neural Network

YANG Hui
（School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230039，China）

We consider a discrete neural network model.By using the skill of mathematical analysis，we analysis the characteristic roots of corresponding linearization system and obtain local stability of the equilibrium point and bifurcation point.The calculating formula of direction and stability of the bifurcation are obtained by using the normal form theory and the center manifold theorem.

discrete system；neural network；stability；bifurcation

O175.12

A

1672-1454（2012）03-0037-05

2009-10-27；

2010-05-19

國家自然科學(xué)基金（10771001）；安徽省自然科學(xué)基金（070416225）；安徽省高校人才基金（05025104）；安徽省教育廳自然科學(xué)基金重點項目（KJ2009A49）；安徽省高校自然科學(xué)基金重點項目和安徽大學(xué)研究生部科技創(chuàng)新與重點課程建設(shè)項目資助