張兆凱，唐 苗，曹東海，謝勁松

( 1．北京自動化控制設(shè)備研究所，北京100074; 2．海軍駐航天科工三院軍事代表室，北京100074)

0 引 言

伺服系統(tǒng)承載負(fù)載力矩時輸出有時會有較大偏差，當(dāng)負(fù)載擾動劇烈時，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)等惡劣后果，該問題可歸結(jié)為系統(tǒng)伺服剛度不足。本文從工程應(yīng)用中的實際問題出發(fā)，引述了伺服剛度的概念，建立了電動伺服系統(tǒng)的模型，分析了負(fù)載作用下影響伺服系統(tǒng)跟蹤誤差和穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，闡述了提高系統(tǒng)伺服剛度的理論本質(zhì)，提出了采用陷波器進(jìn)行串聯(lián)校正處理，消除系統(tǒng)諧振、提高系統(tǒng)增益來提高伺服系統(tǒng)剛度的控制方法。仿真結(jié)果表明，陷波器能夠有效抑制系統(tǒng)諧振，從而能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)增益，從而提高系統(tǒng)剛度。

1 電動伺服系統(tǒng)工程應(yīng)用中的剛度問題總結(jié)

在電動伺服系統(tǒng)工程應(yīng)用中，存在系統(tǒng)加負(fù)載后穩(wěn)態(tài)誤差增大，不能滿足跟蹤精度要求，如圖1 所示，此時我們希望通過增大系統(tǒng)增益來降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，但是增大系統(tǒng)增益后系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩，也不能滿足工程應(yīng)用要求，如圖2 所示。這類問題發(fā)生時，通常產(chǎn)品已經(jīng)生產(chǎn)完畢，通過有限的調(diào)試參數(shù)難以解決，系統(tǒng)控制品質(zhì)大受影響，不能滿足工程需求。

圖1 負(fù)載作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大示意圖

圖2 提高增益時系統(tǒng)自激振蕩響應(yīng)示意圖

從動力學(xué)角度分析，可以將這種問題歸結(jié)為伺服系統(tǒng)的伺服剛度不足。

2 伺服系統(tǒng)剛度概念

伺服剛度是指整個伺服系統(tǒng)表現(xiàn)出來的抵抗外部擾動力矩產(chǎn)生位移偏差的能力。對比上述問題，我們希望在外加負(fù)載作用下，系統(tǒng)穩(wěn)定并且輸出與期望值越小越好，即要求系統(tǒng)伺服剛度高。設(shè)外加負(fù)載力矩為Fs，由負(fù)載力矩引起的輸出軸轉(zhuǎn)角位置偏差為Δθ，則伺服系統(tǒng)的剛度Kservo定義:

式中: 當(dāng)Fs為靜力矩，即恒定的外加負(fù)載時，Kservo稱為靜剛度; 當(dāng)Fs為交變力矩時，Kservo稱為動剛度。

按照式( 1) 定義，F(xiàn)s越大，Δθ 越小，則Kservo越大。Δθ 是系統(tǒng)空載和負(fù)載作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的差值，從控制理論角度看，如果在相同的負(fù)載作用下，伺服系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差越小，則其Δθ 通常也會減小，則系統(tǒng)伺服剛度就高。

因此可以將提高系統(tǒng)伺服剛度的理論本質(zhì)歸結(jié)為: 提高伺服剛度，即是抑制系統(tǒng)振蕩等不穩(wěn)定因素，提高系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，減小系統(tǒng)在外加負(fù)載Fs作用下的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。

對于可簡化為二階系統(tǒng)的伺服系統(tǒng)來說，減小系統(tǒng)跟蹤誤差，需要提高系統(tǒng)增益; 然而提高系統(tǒng)增益，有時帶來系統(tǒng)振蕩等后果。因此，無法單純依靠提高系統(tǒng)增益的方式提高系統(tǒng)伺服剛度。需要從系統(tǒng)模型入手，詳細(xì)分析負(fù)載作用下系統(tǒng)響應(yīng)特性，確定問題的關(guān)鍵因素，找到一個既能減小跟蹤誤差，又可以抑制系統(tǒng)振蕩，提高穩(wěn)定裕度的方法。

3 電動伺服系統(tǒng)模型建立

假設(shè)電動伺服系統(tǒng)位置反饋傳感器安裝在輸出軸末端，即所有的環(huán)節(jié)都含在控制閉環(huán)內(nèi)，電動伺服系統(tǒng)框圖模型如圖3 所示。

圖3 電動伺服系統(tǒng)框圖模型

圖中，Uci為輸入信號，TL為外加負(fù)載力矩，δ 為輸出偏轉(zhuǎn)角，APR 為控制器，Kpwm為功率放大倍數(shù)，La為電機(jī)電樞電感，Ra為電機(jī)電樞電阻，CT為電機(jī)力矩系數(shù)，Ce為電機(jī)反電動勢系數(shù)，Kpf為位置反饋系數(shù)，Ja為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量，i 為減速比，KL為傳動機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)，JL為負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量。

由圖3 看出，系統(tǒng)模型為一個二質(zhì)量體扭轉(zhuǎn)模型，也可作為一個雙輸入單輸出系統(tǒng)，分析系統(tǒng)剛度，即分析外界負(fù)載力矩TL變化造成的輸出偏轉(zhuǎn)角δ 的變化，系統(tǒng)剛度越高，輸出偏轉(zhuǎn)角δ 受外界負(fù)載力矩TL的影響越小。

4 系統(tǒng)響應(yīng)特性分析

4.1 常值負(fù)載作用下系統(tǒng)響應(yīng)對比分析

以某型電動伺服系統(tǒng)為例，代入模型參數(shù)，進(jìn)行常值負(fù)載作用下系統(tǒng)時域響應(yīng)仿真。圖4 給出了10 N·m 外部負(fù)載力矩狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)KL分別為109N·m/( °) 、107N·m/( °) 、3 × 104N·m/( °) 時系統(tǒng)階躍響應(yīng)仿真圖。從圖中看到，KL為3× 104N·m/( °) 時，系統(tǒng)已經(jīng)振蕩失穩(wěn); KL為109N·m/( °) 、107N·m/( °) 時，系統(tǒng)宏觀響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)時間均相同。

圖4 恒定負(fù)載，結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)K L 變化時階躍響應(yīng)宏觀對比圖

圖5 給出了KL為109N·m/( °) 、107N·m/( °) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時響應(yīng)曲線放大示意圖。從圖中看出，KL為109N·m/( °) 時，反饋振蕩幅值約0．000 4 V，頻率約24 600 Hz，KL為107N·m/( °) 時，反饋振蕩幅值約0．000 7 V，頻率約2 450 Hz，但是振蕩曲線中心幅值基本相同。

圖5 圖4 中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)局部放大圖

在模型中固定KL為107N·m/( °) ，負(fù)載力矩值為10 N·m、30 N·m、50 N·m 時系統(tǒng)階躍響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)時響應(yīng)曲線放大圖如圖6 和圖7 所示。

圖6 結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)K L 恒定，負(fù)載值變化時階躍響應(yīng)對比圖

從圖6 和圖7 中看到，KL為107N·m/( °) 時，系統(tǒng)宏觀上能夠穩(wěn)定跟蹤輸入階躍信號，但是隨著負(fù)載力矩增大，穩(wěn)態(tài)誤差加大，但響應(yīng)中疊加的高頻振蕩幅值和頻率沒有改變。

圖7 圖6 中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)局部放大圖

由以上仿真可以看出，在伺服系統(tǒng)參數(shù)一定、響應(yīng)穩(wěn)定的狀態(tài)下，伺服系統(tǒng)跟蹤誤差只隨負(fù)載力矩大小改變，系統(tǒng)響應(yīng)中疊加的高頻振蕩成份由傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔性決定，結(jié)構(gòu)柔性不影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。傳動機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)柔性小時，伺服系統(tǒng)可以穩(wěn)定跟蹤輸入階躍信號，隨著負(fù)載力矩增大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大; 在相同負(fù)載力矩作用下，當(dāng)結(jié)構(gòu)柔性增大時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差不會因柔性增大而減小，根據(jù)伺服剛度定義，可以認(rèn)為系統(tǒng)靜伺服剛度不受影響; 但是伺服系統(tǒng)宏觀出現(xiàn)自激振蕩的風(fēng)險加大，穩(wěn)定裕度降低; 當(dāng)結(jié)構(gòu)柔性增大到一定程度，系統(tǒng)宏觀響應(yīng)上會出現(xiàn)自激振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定跟蹤輸入信號，從伺服剛度定義看，此時系統(tǒng)靜伺服剛度為零。

4.2 交變負(fù)載作用下系統(tǒng)響應(yīng)對比分析

在模型中施加幅值為30 N·m，頻率為200 Hz的交變負(fù)載力矩，設(shè)置KL分別為109N·m/( °) 、107N·m/( °) 、105N·m/( °) ，仿真所得系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)時曲線局部放大如圖8 所示。從圖中看到，KL分別為109N·m/( °) 、107N·m/( °) 時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)時幅值波動頻率與力矩交變頻率相同，響應(yīng)中疊加高頻振蕩，響應(yīng)幅值波動約為0．001 5 V; 當(dāng)KL為105N·m/( °) 時，系統(tǒng)處于諧振狀態(tài)，振蕩幅值約0. 01 V。

圖8 交變負(fù)載，結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)K L 變化時系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)局部放大對比圖

在模型中設(shè)KL為107N·m/( °) ，施加200 Hz，幅值分別為10 N·m、30 N·m、50 N·m 交變負(fù)載，系統(tǒng)響應(yīng)如圖9a 所示; 施加2 450 Hz，幅值分別為10 N·m、30 N·m、50 N·m 交變負(fù)載，系統(tǒng)響應(yīng)如圖9b 所示。

圖9 結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)K L 固定，交變負(fù)載變化系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)局部放大對比圖

從以上仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)在不發(fā)生諧振的狀態(tài)下，系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)時幅值波動只隨負(fù)載幅值增大而增大，系統(tǒng)響應(yīng)中疊加的高頻振蕩成份由傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔性決定，結(jié)構(gòu)柔性不影響因負(fù)載力矩造成的響應(yīng)波動幅值; 這與施加常值負(fù)載時穩(wěn)態(tài)誤差隨負(fù)載增大而增大結(jié)論是一致的，此時可以認(rèn)為系統(tǒng)動伺服剛度不受結(jié)構(gòu)柔性影響。當(dāng)系統(tǒng)諧振時，系統(tǒng)響應(yīng)振蕩幅值均大于穩(wěn)定狀態(tài)下因負(fù)載力矩引起的波動值，并且諧振狀態(tài)下，施加負(fù)載力矩幅值越大，振蕩幅值也越大，系統(tǒng)諧振為不穩(wěn)定狀態(tài)，因此可以認(rèn)為此時系統(tǒng)動伺服剛度為零。

4.3 小結(jié)

綜上，不論施加常值負(fù)載還是交變負(fù)載，在系統(tǒng)響應(yīng)不發(fā)生諧振的狀態(tài)下，負(fù)載大小決定了系統(tǒng)跟蹤誤差，負(fù)載越大，跟蹤誤差越大; 當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生自激振蕩或諧振時，系統(tǒng)振蕩幅值遠(yuǎn)大于穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)因負(fù)載引起的跟蹤誤差。在系統(tǒng)穩(wěn)定響應(yīng)的狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)柔性不影響系統(tǒng)的伺服剛度，但是系統(tǒng)一旦振蕩不穩(wěn)定，按照定義，系統(tǒng)伺服剛度就是零; 而決定系統(tǒng)是否發(fā)生諧振或自激振蕩的一個關(guān)鍵因素是傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔性，結(jié)構(gòu)柔性越大，系統(tǒng)振蕩風(fēng)險越大。

4.4 頻域分析

為了進(jìn)一步明確系統(tǒng)內(nèi)部影響其穩(wěn)定裕度，造成響應(yīng)振蕩的關(guān)鍵因素，對系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。圖10 給出了KL為無窮大和KL為有限值的Bode 圖對比。圖11 給出了變化結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)KL大小時系統(tǒng)Bode 圖的變化規(guī)律。

從圖10 中看到，KL為有限值時，由于結(jié)構(gòu)柔性的影響，使得系統(tǒng)高頻段存在諧振峰，諧振點處相角滯后在180°左右，這意味著系統(tǒng)響應(yīng)中存在有自激振蕩情況，振蕩頻率約為諧振峰頻率點頻率。在正常情況下，我們在系統(tǒng)響應(yīng)中看不到諧振現(xiàn)象是因為諧振幅值很小，在宏觀上觀察不到。從圖11 中看到，隨著KL減小，即結(jié)構(gòu)柔性系數(shù)增大時，諧振頻率點左移，幅值響應(yīng)也逐漸增大，系統(tǒng)響應(yīng)宏觀上出現(xiàn)諧振的風(fēng)險加大。這與上述時域分析結(jié)果一致。同時因為諧振峰的存在，如果為了減小系統(tǒng)跟蹤誤差而提高增益，則系統(tǒng)很容易發(fā)生振蕩而不穩(wěn)定。因此無法通過提高增益的方式來達(dá)到提高系統(tǒng)伺服剛度的目的。

5 使用陷波器提高系統(tǒng)剛度

從上述分析來看，無法提高系統(tǒng)增益來提高伺服剛度是因為系統(tǒng)中存在傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔性因素引起的諧振峰。雖然，可以通過重新改進(jìn)傳動機(jī)構(gòu)等方式減小傳動機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔性，但是有時對工程應(yīng)用來說代價太高。從控制理論角度看，控制系統(tǒng)是一個開放的系統(tǒng)，我們也可以通過補(bǔ)償、校正等手段削弱系統(tǒng)的諧振，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，從而進(jìn)一步提高系統(tǒng)增益，提高系統(tǒng)剛度。

在以上模型中，針對諧振點頻率，在控制器APR 中設(shè)計串聯(lián)陷波器如下:

所設(shè)計的陷波器增益為2，中心頻率點與系統(tǒng)諧振頻率點對應(yīng)，增加陷波器后，系統(tǒng)Bode 圖如圖12 所示。50 N·m 負(fù)載作用下，系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖13 所示。從圖中看到，陷波器有效抑制了系統(tǒng)諧振峰，使系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定跟蹤輸入，并且陷波器增益為2，使原系統(tǒng)增益擴(kuò)大了1 倍，系統(tǒng)跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，系統(tǒng)伺服剛度得到有效提高。

6 結(jié) 語

電動伺服系統(tǒng)工程應(yīng)用中希望伺服剛度高，從控制理論分析，問題本質(zhì)就是在負(fù)載作用下保持系統(tǒng)穩(wěn)定，減小跟蹤誤差。本文提出了采用陷波器抑制傳動機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)柔性帶來的系統(tǒng)諧振峰，提高系統(tǒng)增益來提高系統(tǒng)伺服剛度的方法，仿真結(jié)果分析表明，陷波器能夠有效抑制系統(tǒng)諧振，提高系統(tǒng)增益，減小跟蹤誤差，即有效提高了系統(tǒng)伺服剛度。

［1］ 張盛楠．電動伺服系統(tǒng)非線性建模、仿真與測試技術(shù)［D］．北京自動化控制設(shè)備研究所，2012．

［2］ 寇寶泉．交流伺服電機(jī)及其控制［M］．北京: 機(jī)械工業(yè)出版社，2008．

［3］ 郭慶鼎．現(xiàn)代永磁電動機(jī)交流伺服系統(tǒng)［M］．北京: 中國電力出版社，2006．

［4］ 劉剛．永磁無刷直流電機(jī)控制技術(shù)與應(yīng)用［M］．北京: 機(jī)械工業(yè)出版社，2008．