李魁武，曾志銀，寧變芳，喻華薩，高小科

(西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽(yáng) 712099)

由物理學(xué)知，力對(duì)物體的作用效果由力的大小、方向和作用點(diǎn)來(lái)決定，但此結(jié)論對(duì)靜態(tài)力是正確的，對(duì)動(dòng)態(tài)力(隨時(shí)間變化的力)來(lái)說(shuō)并不完全確切。對(duì)動(dòng)態(tài)力的作用效果，除與力的大小、方向和作用點(diǎn)三要素有關(guān)外，還與力隨時(shí)間變化的形狀及力的作用時(shí)間有關(guān)。力的作用時(shí)間相對(duì)系統(tǒng)固有周期比值的大小，決定了力對(duì)系統(tǒng)的作用呈靜態(tài)特性還是呈動(dòng)態(tài)特性[1]。本文對(duì)這個(gè)問(wèn)題不作討論，僅討論在力的大小、方向和作用點(diǎn)一定的情況下，力隨時(shí)間變化的形狀對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。熟悉并掌握力型對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響的這個(gè)特點(diǎn)，可以從火炮總體角度設(shè)計(jì)載荷形狀使其結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)滿足振動(dòng)響應(yīng)的要求，這對(duì)于火炮武器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析和載荷設(shè)計(jì)都具有重要意義。

1 振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的解析表達(dá)式

設(shè)有彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在外力f(t)作用下作線性振動(dòng)，對(duì)其靜平衡位置，振動(dòng)微分方程可寫(xiě)成：

(1)

或

(2)

(3)

或

(4)

式中:2n=c/m，c為阻尼系數(shù)。作變量置換

x=ze-nt

(5)

則(4)式可化為:

(6)

若設(shè)μ2=ω2-n2>0，則(3)式可化為(1)式形式。不失結(jié)論的一般性，本文以方程(1)形式為例進(jìn)行本文問(wèn)題的討論。

(7)

利用三角級(jí)數(shù)和角公式，(7)式可寫(xiě)成:

(8)

式中:

(9)

對(duì)(8)式對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)和二次導(dǎo)后得:

(10)

(11)

2 “力型”對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的影響分析

設(shè)外力函數(shù)f(t)在其作用區(qū)間為連續(xù)代數(shù)函數(shù)，且存在各階導(dǎo)數(shù)，則利用分部積分法對(duì)(9)式積分，則求得[4]：

(12)

cosωt+

(13)

(14)

(15)

(16)

3 實(shí)例分析

設(shè)作用于振動(dòng)系統(tǒng)的外力f(t)如圖1(a)、(b)所示的兩個(gè)不同“力型”。兩個(gè)力型的最大值fm和作用時(shí)間τ相等，只是上升時(shí)間t1不同,即力的形狀不同。

由于圖1所示力型f(t)在t1點(diǎn)存在間斷點(diǎn)，對(duì)函數(shù)f(t)不能直接應(yīng)用(14)式至(16)式求響應(yīng)，需分段應(yīng)用(14)式至(16)式求響應(yīng)?，F(xiàn)把f(t)以t1為界分成區(qū)間為[0,t1]的連續(xù)函數(shù)f1(t)和區(qū)間為[t1,τ]的連續(xù)函數(shù)f2(t)，求得t=τ時(shí)的結(jié)果為:

注意到分段函數(shù)f1(t)、f2(t)與整體函數(shù)f(t)的一階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:

最后得圖1力型f(t)的響應(yīng)表達(dá)式為:

(17)

(18)

(19)

現(xiàn)設(shè)m=43 816 kg，k=394 033 46.5 N/m，計(jì)算得ω=30 rad/s，fm=429 696 N，τ=0.05 s，對(duì)力型Ⅰ:t1=0.015 s，對(duì)力型Ⅱ:t1=0.035 s。表1給出了根據(jù)式(8)至式(11)進(jìn)行的數(shù)值積分結(jié)果和根據(jù)式(17)至式(19)的公式計(jì)算結(jié)果。看出對(duì)于同一種振動(dòng)系統(tǒng)兩種載荷盡管最大值及作用總時(shí)間完全相同，但由于載荷形狀不同，即載荷最大值上升時(shí)間不同(或“力型”不同)，造成兩種力型對(duì)同一振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)也不同[5]。因此，在對(duì)火炮結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析時(shí)，應(yīng)充分注意動(dòng)態(tài)載荷響應(yīng)的這一特點(diǎn)。

表1 不同力型計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本實(shí)例只是形象的說(shuō)明力型對(duì)響應(yīng)的影響，因?yàn)閷?shí)例僅涉及一階導(dǎo)數(shù)的影響，更高階導(dǎo)數(shù)并未涉及。但它證明了由式(14)至式(16)表示的力型對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的影響分析結(jié)論是正確的。

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