曹 靜，袁達譜，孫 文

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

一個新的類Lorenz系統(tǒng)的脈沖控制與同步

曹 靜，袁達譜，孫 文

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

基于脈沖微分方程的理論，對一個新的類Lorenz系統(tǒng)進行脈沖控制與同步研究。分別給出該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定到平衡點和同步的充分條件，數(shù)值仿真結(jié)果證實了這種控制與同步方法的有效性。與其他方法相比，該方法所設(shè)計的控制器簡單易于實現(xiàn)，且具有收斂速度快、控制代價小的優(yōu)點。

類Lorenz系統(tǒng)；脈沖控制；同步

文獻[1]構(gòu)造了一個新的類Lorenz系統(tǒng)：

(1)

圖1 a=5,b=4,c=2時的混沌吸引子

當(dāng)a=5,b=4,c=2時，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，它的混沌吸引子如圖1所示。新的類Lorenz系統(tǒng)聯(lián)系了3個重要的混沌系統(tǒng)，對其研究具有重要的理論與應(yīng)用價值。下面，筆者將利用脈沖控制方法[2-6]研究一個新的類Lorenz系統(tǒng)的控制與同步。

1 類Lorenz系統(tǒng)的脈沖控制

將系統(tǒng)(1)寫成：

x=Ax+Φ(x(t))

(2)

其中:

則系統(tǒng)(1)的脈沖控制系統(tǒng)可以表示為：

(3)

為方便起見，記λQ=λmax(Q+QT)是(Q+QT)的最大特征值，θi=λmax[(I+Bi)TP(I+Bi)]表示(I+Ψi)TP(I+Ψi)的最大特征值，其中,Bi為脈沖控制矩陣。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=xTPx，在t∈(ti-1,ti](i=1,2,3,…)時，其沿式(3)的軌跡的導(dǎo)數(shù)為：

其中:

(5)

因此，對于t∈(ti,ti+1](i=1,2,3,…)，由式(5)和式(6),可以遞推出：

該系統(tǒng)穩(wěn)定于其他平衡點的情形類似于穩(wěn)定于原點的情形。

2 新的類Lorenz系統(tǒng)的脈沖同步

設(shè)系統(tǒng)(2)為驅(qū)動系統(tǒng)，則脈沖控制響應(yīng)系統(tǒng)為：

(7)

由系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(7)得到誤差系統(tǒng)滿足：

(8)

式中，e=y-x是同步誤差，而Φ(y)-Φ(x)=M(x,y)e，即：

定理2令W=A+M，如果存在一個常數(shù)γ>1，使得ln(γθi)+λWτi≤0(i=1,2,3,…)成立，則脈沖控制響應(yīng)系統(tǒng)(7)和驅(qū)動系統(tǒng)(2)是全局漸近同步的。

證明取Lyapunov函數(shù)V(t)=eTe。在t∈(ti-1,ti](i=1,2,3,…)時，其沿式(3)的軌跡的導(dǎo)數(shù)為：

(9)

當(dāng)t=ti(i=1,2,3,…)時：

因此，對于t∈(ti,ti+1](i=1,2,3,…)，由式(9)和式(10)，可以遞推出：

因此，響應(yīng)系統(tǒng)(7)和驅(qū)動系統(tǒng)(2)是全局漸近同步的。

3 數(shù)值模擬

為了進一步說明和驗證筆者提出的方法的有效性，下面筆者對新的類Lorenz系統(tǒng)的脈沖控制與同步進行數(shù)值模擬，均采用四階龍格-庫塔方法解微分方程，步長為0.001，以a=5,b=3,c=2為例。

圖2 利用脈沖控制把軌線控制到不穩(wěn)定的平衡點

圖3 脈沖控制下的狀態(tài)變量

當(dāng)采用線性反饋控制器來實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步，此時響應(yīng)系統(tǒng)為：

(11)

式中,u1=e1,u3=3e2,u3=2e3。從圖4和圖5可以看出,響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)的誤差收斂到0的速度,采用脈沖控制方法的收斂速度比采取線性反饋控制方法的速度要快得多。

圖4 同步總誤差 圖5 線性反饋誤差

4 結(jié) 語

利用脈沖控制方法研究了系統(tǒng)(1)的混沌控制與同步，給出了實現(xiàn)混沌控制與同步的充分條件。所設(shè)計的控制器簡單，易于實現(xiàn)，與其他控制方法相比收斂速度快,控制代價小,仿真結(jié)果也進一步驗證了所提出方法的有效性。由于脈沖控制與同步系統(tǒng)不可避免的具有時滯延后性，對系統(tǒng)的控制與同步會產(chǎn)生一定的影響，所以時滯混沌脈沖控制系統(tǒng)是進一步的研究方向。

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[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.004

O231.5

A

1673-1409(2012)12-N009-04