史存琴

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

酉矩陣CS分解定理的推廣

史存琴

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

根據(jù)強(qiáng)酉矩陣、行酉矩陣、列酉矩陣的定義，參考酉矩陣的CS分解定理，給出了強(qiáng)酉矩陣、行酉矩陣、列酉矩陣的CS分解定理，并用兩矩陣商的奇異值分解討論了等式約束不定最小二乘問(wèn)題的一種新的算法。

酉矩陣;強(qiáng)酉矩陣;行酉矩陣;列酉矩陣; CS分解;等式約束不定最小二乘問(wèn)題

從以上的定義中可知,當(dāng)一個(gè)矩陣為強(qiáng)酉矩陣時(shí),它一定同時(shí)為行酉和列酉矩陣,但當(dāng)一個(gè)矩陣同時(shí)為行酉和列酉矩陣時(shí),它并不一定是強(qiáng)酉矩陣,如：

盡管AAH與AHA均為對(duì)角陣,但AAH≠AHA。

2 酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

定理2(矩陣商的奇異值分解(Q-SVD)[1]) 給定矩陣A∈Cm×n,B∈Cp×n,CH=(AH,BH),k=rank(C),則存在酉矩陣U∈Um,V∈Up,W∈Uk和Q∈Un，使得：

UHAQ=ΣA(WHΣC,0)VHBQ=ΣB(WHΣC,0)

式中，ΣC=diag(σ1(C),σ2(C),…,σk(C)),σ1(C),…,σk(C)為C的非零奇異值，ΣA,ΣB形如:

3 推 廣

3.1強(qiáng)酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0),C=diag(C1,0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

3.2行酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

3.3列酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

4 求解等式約束不定最小二乘問(wèn)題的新算法

對(duì)等式約束不定最小二乘問(wèn)題：

rank(B)=sxT(ATJA)x>0x∈null(B)

(1)

UHAQ=ΣAWHΣCVHBQ=ΣBWHΣC

(2)

AQ=UΣAWHΣC=(U1,U2,U3)ΣAWHΣC=(U1,U2SA)WHΣC

b-Ax=b-AQQHx=b-(U1,U2SA)WHΣCQHx=b-U2SAys-U1yn-s=f-U1yn-s

因此等式約束不定最小二乘問(wèn)題就等價(jià)于不定最小二乘問(wèn)題：

(3)

借助于兩矩陣商的奇異值分解(Q-SVD)的求解等式約束不定最小二乘問(wèn)題(ILSE)的新算法(Q-SVD-Cholesky方法)步驟如下：

步1 計(jì)算矩陣A,B的商的奇異值分解(2)。

步4 令f=b-U2SAys，用一次向后替代和一次向前替代解線性系統(tǒng)RTRyn-s=U1Jf。

[1]魏木生.廣義最小二乘問(wèn)題的理論與計(jì)算[M].北京:科學(xué)出版社，2006.

[2]秦應(yīng)兵.強(qiáng)亞正交矩陣及其性質(zhì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)， 2007，23(2):171-173.

[3]徐樹(shù)方.矩陣計(jì)算的理論與方法[M].北京:北京大學(xué)出版社，1995：21-27.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.002

O175.2

A

1673-1409(2012)12-N003-03